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Matemáticas 3.º ESO · Expresiones algebraicas y polinomios: repaso

Ampliación: ¿son equivalentes? Tablas de valores y contraejemplos

Objetivo: Al terminar, sabrás usar tablas de valores para comparar expresiones, detectar si dos expresiones pueden ser equivalentes y refutar falsas equivalencias con un contraejemplo.

Explicación

¿Son equivalentes dos expresiones?

Dos expresiones algebraicas son equivalentes si dan el mismo valor numérico para cualquier valor de las letras. Por ejemplo, $2(x + 3)$ y $2x + 6$ son equivalentes.

Para refutar (demostrar que no son equivalentes) basta un contraejemplo: un valor para el que den resultados distintos.
Una tabla de valores en la que siempre coinciden hace sospechar que son equivalentes, pero no lo demuestra (podrían separarse en otro valor). Para estar seguros hay que transformar una en otra con las reglas del álgebra.
Que dos expresiones coincidan para algún valor no las hace equivalentes: $x^2$ y $2x$ valen lo mismo para $x = 2$ , pero no para $x = 3$ .

Falsas equivalencias muy frecuentes

Parece que…	Pero…	Contraejemplo
$(a + b)^2 = a^2 + b^2$	No	$a = 1$ , $b = 1$ : $4 \neq 2$
$(2x)^2 = 2x^2$	No: $(2x)^2 = 4x^2$	$x = 1$ : $4 \neq 2$
$\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = \dfrac{2x}{5}$	No: es $\dfrac{5x}{6}$	$x = 6$ : $5 \neq 2{,}4$
$x^3 = 3x$	No	$x = 2$ : $8 \neq 6$

Comparar expresiones con una tabla o una gráfica

Para saber cuál de varias expresiones es mayor, haz una tabla con varios valores (también negativos y fraccionarios) o dibuja sus gráficas: el orden puede cambiar según el valor de $x$ .

Puntos clave

Equivalentes = mismo valor para todos los valores de la letra.
Un solo contraejemplo basta para demostrar que no son equivalentes.
Una tabla en la que coinciden no demuestra la equivalencia; hay que transformar una expresión en la otra.
$(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ y $(2x)^2 = 4x^2$ .

Errores frecuentes

ErrorProbar con $x = 0$ o $x = 1$ y concluir que dos expresiones son equivalentes.
Cómo corregirloCon 0 y 1 muchas expresiones coinciden por casualidad ( $x^2$ y $x$ , por ejemplo). Prueba también con 2, −1 o $\frac{1}{2}$ , y para asegurarlo, opera.
ErrorPensar que si dos expresiones coinciden en un valor, son equivalentes.
Cómo corregirloDeben coincidir en todos. Coincidir en un valor solo significa que ese valor es solución de la igualdad.
ErrorSuponer que $x^2$ es siempre mayor que $x$ .
Cómo corregirloPara $x = \dfrac{1}{2}$ : $x^2 = \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2}$ . Entre 0 y 1, el cuadrado es menor.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Es (a + b)² = a² + b²? contraejemplo
Muchos alumnos escriben $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ . a) Demuestra con un contraejemplo que es falso. b) ¿Hay valores para los que sí coinciden?

Resolución
a) Para $a = 2$ , $b = 3$ : $(2 + 3)^2 = 25$ , pero $2^2 + 3^2 = 13$ . Como $25 \neq 13$ , no son equivalentes.

b) Sí: si $a = 0$ o $b = 0$ . Por ejemplo, $a = 0$ , $b = 5$ : $(0 + 5)^2 = 25 = 0^2 + 5^2$ . Pero coincidir para algunos valores no basta.
Ejemplo 2. ¿Cuál es mayor: x², 2x o x + 2? gráfico y tabla
Compara las expresiones $x^2$ , $2x$ y $x + 2$ para valores de $x$ entre $-2$ y $4$ . ¿Cuál es mayor en cada caso?

Resolución
$x$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$

$x^2$ 4 1 0 1 4 9 16

$2x$ −4 −2 0 2 4 6 8

$x + 2$ 0 1 2 3 4 5 6

En la gráfica se ve que:
- Para $x = -2$ la mayor es $x^2$ ; para $x = 0$ y $x = 1$ , la mayor es $x + 2$ ; a partir de $x = 3$ , la mayor es $x^2$ .
- Las tres valen 4 en $x = 2$ : las tres gráficas se cortan en el punto $(2, 4)$ .
- $2x$ y $x + 2$ son rectas; $x^2$ es una curva (una parábola).
Ninguna es siempre la mayor: depende del valor de $x$ .

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$x^2$	4	1	0	1	4	9	16
$2x$	−4	−2	0	2	4	6	8
$x + 2$	0	1	2	3	4	5	6

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Indica si cada pareja de expresiones es equivalente. Si no lo es, da un contraejemplo. a) $2(x + 3)$ y $2x + 3$ b) $3x + 2x$ y $5x$ c) $(2x)^2$ y $2x^2$ d) $x \cdot x \cdot x$ y $3x$

Ver solución
a) No ( $x = 0$ : 6 y 3). b) Sí. c) No ( $x = 1$ : 4 y 2). d) No ( $x = 2$ : 8 y 6).
b) Al reducir, $3x + 2x = 5x$ para cualquier $x$ . c) $(2x)^2 = 4x^2$ , no $2x^2$ . d) $x \cdot x \cdot x = x^3$ ; para $x = 2$ , $8 \neq 6$ .
2. Media
Busca por tanteo, con una tabla para $x = 1, 2, \ldots, 6$ , el valor de $x$ para el que $3x + 4$ y $5x - 6$ valen lo mismo.

Ver solución
$x = 5$ (las dos valen 19)

$x$ 1 2 3 4 5 6

$3x + 4$ 7 10 13 16 19 22

$5x - 6$ −1 4 9 14 19 24

Coinciden en $x = 5$ . Antes, $3x + 4$ es mayor; después, lo es $5x - 6$ .
3. Media
Ordena de menor a mayor $x$ , $x^2$ , $x^3$ y $\dfrac{1}{x}$ : a) para $x = 2$ ; b) para $x = \dfrac{1}{2}$ . ¿Qué observas?

Ver solución
a) $\dfrac{1}{x} < x < x^2 < x^3$ b) $x^3 < x^2 < x < \dfrac{1}{x}$ . El orden se invierte.
a) $0{,}5 < 2 < 4 < 8$ . b) $\dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2} < 2$ . Entre 0 y 1, las potencias son cada vez más pequeñas.

$x$	1	2	3	4	5	6
$3x + 4$	7	10	13	16	19	22
$5x - 6$	−1	4	9	14	19	24

Para practicar más

1. Media
Marcos dice que $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = \dfrac{2x}{5}$ . a) Demuestra con un contraejemplo que se equivoca. b) ¿Cuál es la expresión correcta?

Ver solución
a) Para $x = 6$ : $3 + 2 = 5$ , pero $\dfrac{12}{5} = 2{,}4$ . b) $\dfrac{5x}{6}$
b) Con denominador común: $\dfrac{3x}{6} + \dfrac{2x}{6} = \dfrac{5x}{6}$ . Para $x = 6$ da 5 ✔.
2. Media
a) ¿Es $(x - 1)^2 = x^2 - 1$ ? Justifícalo con un valor de $x$ . b) Busca un valor de $x$ para el que las dos expresiones coincidan.

Ver solución
a) No: para $x = 3$ , $4 \neq 8$ . b) $x = 1$ (las dos valen 0).
a) $(3 - 1)^2 = 4$ y $3^2 - 1 = 8$ . b) Probando: $x = 1$ da $0^2 = 0$ y $1 - 1 = 0$ . Es el único valor en que coinciden, así que no son equivalentes.
3. Difícil
Completa una tabla con los valores de $2^n$ y $n^2$ para $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ . ¿Para qué valores coinciden? ¿Cuál es mayor a partir de $n = 5$ ?

Ver solución
Coinciden en $n = 2$ y $n = 4$ . A partir de $n = 5$ , $2^n$ es mayor.

$n$ 1 2 3 4 5 6

$2^n$ 2 4 8 16 32 64

$n^2$ 1 4 9 16 25 36

En $n = 3$ es mayor $n^2$ (9 > 8), pero desde $n = 5$ gana $2^n$ y la diferencia crece muy deprisa.

$n$	1	2	3	4	5	6
$2^n$	2	4	8	16	32	64
$n^2$	1	4	9	16	25	36