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Matemáticas 3.º ESO · Factorización con la regla de Ruffini

Factorización de polinomios con la regla de Ruffini

Objetivo: Al terminar, sabrás descomponer en factores de grado 1 un polinomio de grado 3 con raíces enteras, aplicando la regla de Ruffini varias veces seguidas (o la fórmula de segundo grado para el último factor) y escribiendo el coeficiente principal delante.

Explicación

La idea

Si $a$ es raíz de $P(x)$ , entonces $P(x) = (x - a) \cdot C(x)$ . Si después encontramos una raíz del cociente $C(x)$ , podemos volver a separar un factor… y así hasta que todos los factores sean de grado 1 (o no se puedan descomponer más). Eso es factorizar del todo el polinomio.

Pasos para factorizar un polinomio

Factor común. Si el término independiente es 0, saca factor común $x$ (o la potencia de $x$ que se pueda).
Posibles raíces. Escribe los divisores del término independiente, con los dos signos.
Ruffini encadenado. Prueba los divisores con Ruffini; cuando uno dé resto 0, sigue probando con el cociente, debajo, en la misma tabla.
Último factor de grado 2. Cuando el cociente sea de segundo grado, puedes seguir con Ruffini o hallar sus raíces con la fórmula (o reconocer una identidad notable).
Escribe la factorización. Si las raíces son $x_1$ , $x_2$ y $x_3$ y el coeficiente principal es $a$ : $P(x) = a\,(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$ El coeficiente $a$ es el número que queda al final de la tabla de Ruffini.
Comprueba multiplicando (o, al menos, mira que el producto de los términos independientes de los factores da el término independiente de $P(x)$ ).

Cómo se escribe Ruffini encadenado

Para $x^3 - x^2 - 10x - 8$ (posibles raíces: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$ ):

$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -1 & -10 & -8 \\ -1 & & -1 & 2 & 8 \\ \hline & 1 & -2 & -8 & 0 \\ -2 & & -2 & 8 & \\ \hline & 1 & -4 & 0 & \\ 4 & & 4 & & \\ \hline & 1 & 0 & & \end{array}$

Las raíces son los números de la izquierda (los que dan resto 0): $-1$ , $-2$ y $4$ . El último número de abajo, $1$ , es el coeficiente principal. Por tanto: $x^3 - x^2 - 10x - 8 = (x + 1)(x + 2)(x - 4)$

Factores que no se descomponen

A veces el último factor de grado 2 no tiene raíces (lo de dentro de la raíz de la fórmula es negativo). Entonces se deja como está, porque es irreducible: por ejemplo, $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ .

Puntos clave

Factorizar del todo es escribir el polinomio como producto de factores que no se pueden descomponer más.
Primero se saca factor común; después se buscan raíces entre los divisores del término independiente.
Con Ruffini se sigue siempre con el cociente, en la misma tabla.
El último factor de grado 2 se puede factorizar con la fórmula de segundo grado.
$P(x) = a\,(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$ : el coeficiente principal $a$ va delante.
Se comprueba multiplicando los factores.

Errores frecuentes

ErrorOlvidar el coeficiente principal: $2x^3 - 14x - 12 = (x + 1)(x + 2)(x - 3)$ .
Cómo corregirloMira el último número de la tabla de Ruffini (aquí, 2) y ponlo delante: $2(x + 1)(x + 2)(x - 3)$ . Comprueba el término independiente: $2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot (-3) = -12$ ✔.
ErrorEscribir los factores con el signo de la raíz: raíces $1$ , $-2$ , $3$ → $(x + 1)(x - 2)(x + 3)$ .
Cómo corregirloCada factor es $x$ menos la raíz: $(x - 1)(x + 2)(x - 3)$ .
ErrorDar como respuesta las raíces en lugar de la factorización.
Cómo corregirloLas raíces son números ( $1$ , $2$ , $3$ ); la factorización es un producto de polinomios: $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$ . Si te piden factorizar, escribe el producto.
ErrorNo sacar factor común cuando falta el término independiente y buscar divisores de 0.
Cómo corregirloSi el término independiente es 0, saca primero factor común $x$ : $x^4 - 7x^2 + 6x = x(x^3 - 7x + 6)$ , y aplica Ruffini al paréntesis.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Tres raíces enteras numérico (Ruffini encadenado)
Factoriza $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ y comprueba el resultado.

Resolución
Posibles raíces: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ . $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 1 & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \\ 2 & & 2 & -6 & \\ \hline & 1 & -3 & 0 & \\ 3 & & 3 & & \\ \hline & 1 & 0 & & \end{array}$ Raíces: $1$ , $2$ y $3$ ; coeficiente principal: $1$ . $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$ Comprobación: $(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$ ; $\ (x^2 - 3x + 2)(x - 3) = x^3 - 3x^2 - 3x^2 + 9x + 2x - 6 = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ ✔
Ejemplo 2. Coeficiente principal 2 y fórmula para cerrar numérico (Ruffini + ecuación de segundo grado)
Factoriza $P(x) = 2x^3 - 14x - 12$ .

Resolución
Coeficientes (¡falta el término en $x^2$ !): $2,\ 0,\ -14,\ -12$ . Posibles raíces: divisores de $-12$ . $P(1) = 2 - 14 - 12 = -24$ , no es raíz. Probamos $-1$ : $\begin{array}{r|rrrr} & 2 & 0 & -14 & -12 \\ -1 & & -2 & 2 & 12 \\ \hline & 2 & -2 & -12 & 0 \end{array}$ Resto 0: $P(x) = (x + 1)(2x^2 - 2x - 12)$ .

El cociente es de grado 2. Sacamos factor común 2 y usamos la fórmula en $x^2 - x - 6$ : $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \dfrac{1 \pm 5}{2} \;\Rightarrow\; x = 3,\ x = -2$ $P(x) = 2(x + 1)(x + 2)(x - 3)$ Comprobación del término independiente: $2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot (-3) = -12$ ✔
Ejemplo 3. Las medidas de una caja de mudanza situación real (geométrico)
Una empresa de mudanzas de Alcalá de Henares usa cajas con forma de ortoedro cuyo volumen, en cm³, es $V(x) = x^3 + 9x^2 + 26x + 24$ , y cuyas aristas son polinomios de la forma $x + p$ , con $p$ entero positivo. a) Factoriza $V(x)$ para obtener las medidas de las aristas. b) ¿Qué medidas y qué volumen tiene la caja si $x = 10$ cm?

Resolución
a) Todos los coeficientes son positivos, así que con $x$ positivo $V(x)$ nunca vale 0: las raíces tienen que ser negativas. Probamos divisores negativos de 24 ( $V(-1) = 6$ , no): $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 9 & 26 & 24 \\ -2 & & -2 & -14 & -24 \\ \hline & 1 & 7 & 12 & 0 \\ -3 & & -3 & -12 & \\ \hline & 1 & 4 & 0 & \\ -4 & & -4 & & \\ \hline & 1 & 0 & & \end{array}$ $V(x) = (x + 2)(x + 3)(x + 4)$ Las aristas miden $(x + 2)$ cm, $(x + 3)$ cm y $(x + 4)$ cm.

b) Con $x = 10$ : $12$ cm, $13$ cm y $14$ cm. Volumen: $12 \cdot 13 \cdot 14 = 2184$ cm³. Comprobación: $V(10) = 1000 + 900 + 260 + 24 = 2184$ ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Factoriza $x^3 - 2x^2 - x + 2$ .

Ver solución
(x − 1)(x + 1)(x − 2).
Posibles raíces: $\pm 1, \pm 2$ . $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -2 & -1 & 2 \\ 1 & & 1 & -1 & -2 \\ \hline & 1 & -1 & -2 & 0 \\ -1 & & -1 & 2 & \\ \hline & 1 & -2 & 0 & \\ 2 & & 2 & & \\ \hline & 1 & 0 & & \end{array}$ $x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x - 1)(x + 1)(x - 2)$
2. Fácil
Factoriza $x^3 - 3x^2 - 10x + 24$ .

Ver solución
(x − 2)(x + 3)(x − 4).
Posibles raíces: divisores de 24. $P(1) = 12$ y $P(-1) = 30$ , no son raíces. $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -3 & -10 & 24 \\ 2 & & 2 & -2 & -24 \\ \hline & 1 & -1 & -12 & 0 \\ -3 & & -3 & 12 & \\ \hline & 1 & -4 & 0 & \\ 4 & & 4 & & \\ \hline & 1 & 0 & & \end{array}$ $x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = (x - 2)(x + 3)(x - 4)$
3. Media
Factoriza $x^3 - x^2 - 25x + 25$ usando Ruffini una vez y una identidad notable para el factor de grado 2.

Ver solución
(x − 1)(x + 5)(x − 5).
$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -1 & -25 & 25 \\ 1 & & 1 & 0 & -25 \\ \hline & 1 & 0 & -25 & 0 \end{array}$ Cociente: $x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)$ (suma por diferencia). $x^3 - x^2 - 25x + 25 = (x - 1)(x + 5)(x - 5)$
4. Media
Factoriza $x^4 - 6x^3 + 3x^2 + 10x$ .

Ver solución
$x(x + 1)(x - 2)(x - 5)$
Factor común: $x(x^3 - 6x^2 + 3x + 10)$ . En el paréntesis (posibles raíces: divisores de 10; $1$ da resto $8$ ): $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -6 & 3 & 10 \\ -1 & & -1 & 7 & -10 \\ \hline & 1 & -7 & 10 & 0 \\ 2 & & 2 & -10 & \\ \hline & 1 & -5 & 0 & \\ 5 & & 5 & & \\ \hline & 1 & 0 & & \end{array}$ $x^4 - 6x^3 + 3x^2 + 10x = x(x + 1)(x - 2)(x - 5)$
5. Media
La gráfica es la de $y = P(x)$ , con $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ . a) Lee en la gráfica una raíz entera y compruébala con Ruffini. b) Factoriza $P(x)$ por completo.

Ver solución
a) Por ejemplo, −1 (también −3 y 2). b) (x + 3)(x + 1)(x − 2).
a) La gráfica corta el eje X en $-3$ , $-1$ y $2$ . Probamos $-1$ : $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 2 & -5 & -6 \\ -1 & & -1 & -1 & 6 \\ \hline & 1 & 1 & -6 & 0 \end{array}$ b) Cociente: $x^2 + x - 6$ ; con la fórmula, $x = \dfrac{-1 \pm 5}{2}$ : $2$ y $-3$ . $P(x) = (x + 3)(x + 1)(x - 2)$
6. Difícil
Factoriza $2x^3 - 4x^2 - 18x + 36$ .

Ver solución
$2(x - 2)(x + 3)(x - 3)$
Posibles raíces: divisores de 36. $P(1) = 16$ , no es raíz. Probamos $2$ : $\begin{array}{r|rrrr} & 2 & -4 & -18 & 36 \\ 2 & & 4 & 0 & -36 \\ \hline & 2 & 0 & -18 & 0 \end{array}$ Cociente: $2x^2 - 18 = 2(x^2 - 9) = 2(x + 3)(x - 3)$ . $2x^3 - 4x^2 - 18x + 36 = 2(x - 2)(x + 3)(x - 3)$ (También se puede sacar primero factor común 2: $2(x^3 - 2x^2 - 9x + 18)$ .)

Para practicar más

1. Fácil
Factoriza $x^3 - 4x^2 - 11x + 30$ .

Ver solución
(x − 2)(x + 3)(x − 5).
Posibles raíces: divisores de 30. $P(1) = 16$ , $P(-1) = 36$ . $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -4 & -11 & 30 \\ 2 & & 2 & -4 & -30 \\ \hline & 1 & -2 & -15 & 0 \\ -3 & & -3 & 15 & \\ \hline & 1 & -5 & 0 & \\ 5 & & 5 & & \\ \hline & 1 & 0 & & \end{array}$ $x^3 - 4x^2 - 11x + 30 = (x - 2)(x + 3)(x - 5)$
2. Fácil
Factoriza $x^3 + x^2 - 9x - 9$ .

Ver solución
(x + 1)(x − 3)(x + 3).
Posibles raíces: $\pm 1, \pm 3, \pm 9$ . $P(1) = -16$ . $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 1 & -9 & -9 \\ -1 & & -1 & 0 & 9 \\ \hline & 1 & 0 & -9 & 0 \\ 3 & & 3 & 9 & \\ \hline & 1 & 3 & 0 & \\ -3 & & -3 & & \\ \hline & 1 & 0 & & \end{array}$ $x^3 + x^2 - 9x - 9 = (x + 1)(x - 3)(x + 3)$ (Después de la primera división, el cociente $x^2 - 9$ también se factoriza como suma por diferencia.)
3. Media
Factoriza $2x^3 + 4x^2 - 2x - 4$ .

Ver solución
$2(x - 1)(x + 1)(x + 2)$
$\begin{array}{r|rrrr} & 2 & 4 & -2 & -4 \\ 1 & & 2 & 6 & 4 \\ \hline & 2 & 6 & 4 & 0 \\ -1 & & -2 & -4 & \\ \hline & 2 & 4 & 0 & \\ -2 & & -4 & & \\ \hline & 2 & 0 & & \end{array}$ El último número, 2, es el coeficiente principal: $2x^3 + 4x^2 - 2x - 4 = 2(x - 1)(x + 1)(x + 2)$ (También se puede sacar antes factor común 2.)
4. Media
Factoriza $x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x$ .

Ver solución
$x(x - 1)(x + 2)(x - 4)$
Factor común: $x(x^3 - 3x^2 - 6x + 8)$ . En el paréntesis: $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -3 & -6 & 8 \\ 1 & & 1 & -2 & -8 \\ \hline & 1 & -2 & -8 & 0 \\ -2 & & -2 & 8 & \\ \hline & 1 & -4 & 0 & \\ 4 & & 4 & & \\ \hline & 1 & 0 & & \end{array}$ $x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x = x(x - 1)(x + 2)(x - 4)$
5. Difícil
Una tienda online de Madrid calcula que su beneficio diario con un producto, en cientos de euros, depende del precio de venta $x$ (en euros) según $B(x) = -x^3 + 12x^2 - 41x + 42$ . a) Factoriza $B(x)$ . b) ¿Para qué precios el beneficio es 0? c) Calcula $B(5)$ . ¿Gana o pierde dinero con un precio de 5 €?

Ver solución
a) $B(x) = -(x - 2)(x - 3)(x - 7)$ . b) 2 €, 3 € y 7 €. c) $B(5) = 12$ : gana 1200 €.
a) Posibles raíces: divisores de 42. Con Ruffini: $\begin{array}{r|rrrr} & -1 & 12 & -41 & 42 \\ 2 & & -2 & 20 & -42 \\ \hline & -1 & 10 & -21 & 0 \\ 3 & & -3 & 21 & \\ \hline & -1 & 7 & 0 & \\ 7 & & -7 & & \\ \hline & -1 & 0 & & \end{array}$ El coeficiente principal es $-1$ : $B(x) = -(x - 2)(x - 3)(x - 7)$ b) El beneficio es 0 en las raíces: precios de 2 €, 3 € y 7 €. c) $B(5) = -125 + 300 - 205 + 42 = 12$ → gana $12$ cientos de euros, es decir, 1200 € al día. (Con la factorización: $-(3)(2)(-2) = 12$ ✔.)