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Matemáticas 3.º ESO · Fracciones algebraicas. Simplificación

Fracciones algebraicas: simplificación

Objetivo: Al terminar, sabrás qué es una fracción algebraica, para qué valores de la variable no existe y cómo simplificarla cuando el numerador y el denominador son monomios o tienen un factor común evidente.

Explicación

¿Qué es una fracción algebraica?

Una fracción algebraica es un cociente de dos polinomios, $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ , en el que el denominador no es el polinomio cero. Por ejemplo: $\dfrac{x + 1}{x - 3} \qquad \dfrac{5}{x^2} \qquad \dfrac{2x}{x^2 + 1} \qquad \dfrac{3a}{a^2b}$

Valor numérico. Se sustituye la variable y se opera: para $\dfrac{x + 1}{x - 3}$ y $x = 5$ , el valor es $\dfrac{6}{2} = 3$ .

¿Cuándo no existe? No se puede dividir entre 0, así que la fracción no existe para los valores que anulan el denominador. $\dfrac{x + 1}{x - 3}$ no existe para $x = 3$ .

Simplificar fracciones algebraicas

Igual que con los números, $\dfrac{12}{18} = \dfrac{2 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \dfrac{2}{3}$ una fracción algebraica se simplifica dividiendo numerador y denominador por un mismo factor. Pasos:

Factoriza el numerador y el denominador (con monomios, descompón; con polinomios, saca factor común o usa una identidad notable).
Divide numerador y denominador por los factores comunes.

Con monomios: se simplifican los coeficientes (dividiendo por su m.c.d.) y las potencias de cada letra (restando exponentes): $\dfrac{4x^3y}{6xy^2} = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot x \cdot x^2 \cdot y}{2 \cdot 3 \cdot x \cdot y \cdot y} = \dfrac{2x^2}{3y}$

Con un factor común: $\dfrac{3x + 6}{x + 2} = \dfrac{3(x + 2)}{x + 2} = 3$

¡Solo se simplifican factores, nunca sumandos! En $\dfrac{x + 5}{5}$ el 5 de arriba es un sumando: no se puede tachar. $\dfrac{x + 5}{5} \neq x$ (prueba con $x = 1$ : $\dfrac{6}{5} \neq 1$ ).

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si al simplificar se llega a la misma o, como con los números, si se cumple el producto cruzado: $\dfrac{P}{Q} = \dfrac{R}{S} \iff P \cdot S = Q \cdot R$ La fracción simplificada y la original son equivalentes para los valores en los que existen las dos ( $\dfrac{3x + 6}{x + 2}$ no existe para $x = -2$ , aunque $3$ sí).

Puntos clave

Una fracción algebraica es un cociente de polinomios $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ .
No existe para los valores que anulan el denominador.
Para simplificar: factorizar numerador y denominador y dividir por los factores comunes.
Con monomios: m.c.d. de los coeficientes y resta de exponentes de cada letra.
Solo se simplifican factores (multiplicando), nunca sumandos.
$\dfrac{P}{Q} = \dfrac{R}{S}$ si $P \cdot S = Q \cdot R$ .

Errores frecuentes

ErrorTachar sumandos: $\dfrac{x + 8}{8} = x$ o $\dfrac{2x + 6}{2} = x + 6$ .
Cómo corregirloSolo se puede dividir por algo que multiplica a todo el numerador. Factoriza primero: $\dfrac{2x + 6}{2} = \dfrac{2(x + 3)}{2} = x + 3$ . En $\dfrac{x + 8}{8}$ no hay factor común: no se simplifica.
ErrorAl simplificar todo el numerador, escribir 0 en lugar de 1: $\dfrac{x}{x^2} = \dfrac{0}{x}$ .
Cómo corregirloAl dividir un factor entre sí mismo queda 1: $\dfrac{x}{x^2} = \dfrac{1}{x}$ .
ErrorRestar los exponentes al revés y dejar la letra en el sitio equivocado: $\dfrac{9x}{3x^4} = 3x^3$ .
Cómo corregirloLa potencia que queda va donde estaba el exponente mayor: $\dfrac{9x}{3x^4} = \dfrac{3}{x^3}$ .
ErrorDecir que una fracción no existe cuando se anula el numerador.
Cómo corregirloSi se anula el numerador, la fracción vale 0 (si el denominador no es 0). Solo es un problema que se anule el denominador.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Fracciones con monomios numérico (monomios)
Simplifica: a) $\dfrac{6x^2y}{9xy^3}$ ; b) $\dfrac{15a^3b^2}{10a^4b}$ .

Resolución
a) Coeficientes: m.c.d. $(6, 9) = 3$ → $\dfrac{2}{3}$ . Letra $x$ : $\dfrac{x^2}{x} = x$ (arriba). Letra $y$ : $\dfrac{y}{y^3} = \dfrac{1}{y^2}$ (abajo). $\dfrac{6x^2y}{9xy^3} = \dfrac{2x}{3y^2}$

b) Coeficientes: m.c.d. $(15, 10) = 5$ → $\dfrac{3}{2}$ . $\dfrac{a^3}{a^4} = \dfrac{1}{a}$ ; $\dfrac{b^2}{b} = b$ . $\dfrac{15a^3b^2}{10a^4b} = \dfrac{3b}{2a}$
Ejemplo 2. Sacar factor común y simplificar numérico (factor común)
Simplifica: a) $\dfrac{3x + 6}{x + 2}$ ; b) $\dfrac{x^2 - 4x}{5x}$ ; c) $\dfrac{4x - 8}{6x - 12}$ .

Resolución
a) $\dfrac{3x + 6}{x + 2} = \dfrac{3(x + 2)}{x + 2} = 3$ (para $x \neq -2$ ).

b) $\dfrac{x^2 - 4x}{5x} = \dfrac{x(x - 4)}{5x} = \dfrac{x - 4}{5}$ (para $x \neq 0$ ).

c) $\dfrac{4x - 8}{6x - 12} = \dfrac{4(x - 2)}{6(x - 2)} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ (para $x \neq 2$ ).
Ejemplo 3. ¿Cuánto paga cada uno? situación real
A una excursión a la sierra de Guadarrama van los $x$ alumnos de una clase y 3 profesores. El autobús y las actividades cuestan en total $(25x + 75)$ euros, que se reparten a partes iguales entre todos. a) Escribe la fracción algebraica que da lo que paga cada persona y simplifícala. b) Si van 27 alumnos, ¿cuánto cuesta la excursión en total?

Resolución
a) Hay $x + 3$ personas. Cada una paga $\dfrac{25x + 75}{x + 3} = \dfrac{25(x + 3)}{x + 3} = 25 \text{ euros}$ Cada persona paga 25 €, vaya quien vaya.

b) Con $x = 27$ : $25 \cdot 27 + 75 = 750$ €. Comprobación: $30$ personas $\cdot\ 25$ € $= 750$ € ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
a) Indica para qué valores de $x$ no existe cada fracción: $\dfrac{5}{x - 4}$ ; $\ \dfrac{x + 2}{x}$ ; $\ \dfrac{x}{x^2 - 9}$ ; $\ \dfrac{1}{x^2 + 1}$ . b) Calcula el valor numérico de $\dfrac{x + 2}{x}$ para $x = 2$ y para $x = -2$ .
Ver solución
a) x = 4; x = 0; x = 3 y x = −3; existe siempre. b) 2 y 0.
a) Igualamos el denominador a 0:
- $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$ .
- $x = 0$ .
- $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = 3$ o $x = -3$ .
- $x^2 + 1$ nunca vale 0 (siempre es al menos 1): la fracción existe para todo $x$ .
b) $x = 2$ : $\dfrac{4}{2} = 2$ . $\quad x = -2$ : $\dfrac{0}{-2} = 0$ (sí existe: lo que se anula es el numerador).
2. Fácil
Simplifica: a) $\dfrac{8x^3}{12x}$ b) $\dfrac{10x^2y}{15xy^2}$ c) $\dfrac{14a^2b^3}{21a^3b}$ d) $\dfrac{9x}{3x^4}$

Ver solución
a) 2x²/3. b) 2x/(3y). c) 2b²/(3a). d) 3/x³.
a) $\dfrac{8x^3}{12x} = \dfrac{2x^2}{3}$ b) $\dfrac{10x^2y}{15xy^2} = \dfrac{2x}{3y}$ c) $\dfrac{14a^2b^3}{21a^3b} = \dfrac{2b^2}{3a}$ d) $\dfrac{9x}{3x^4} = \dfrac{3}{x^3}$
3. Media
Simplifica sacando factor común: a) $\dfrac{5x + 10}{x + 2}$ b) $\dfrac{x^2 + 7x}{3x}$ c) $\dfrac{6x - 18}{9x - 27}$ d) $\dfrac{x^2 - 2x}{x^3}$

Ver solución
a) 5. b) (x + 7)/3. c) 2/3. d) (x − 2)/x².
a) $\dfrac{5(x + 2)}{x + 2} = 5$ b) $\dfrac{x(x + 7)}{3x} = \dfrac{x + 7}{3}$ c) $\dfrac{6(x - 3)}{9(x - 3)} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ d) $\dfrac{x(x - 2)}{x^3} = \dfrac{x - 2}{x^2}$
4. Media
Tres compañeros han simplificado estas fracciones. Di quién lo ha hecho bien y corrige los errores:
- Ana: $\dfrac{x + 8}{8} = x$
- Luis: $\dfrac{2x + 6}{2} = x + 6$
- Marta: $\dfrac{x^2 + x}{x} = x + 1$
Ver solución
Solo Marta. Ana: no se simplifica. Luis: x + 3.
- Ana: mal. El 8 del numerador es un sumando, no un factor: $\dfrac{x + 8}{8}$ no se puede simplificar. (Con $x = 8$ : $\dfrac{16}{8} = 2 \neq 8$ .)
- Luis: mal. Hay que dividir todo el numerador entre 2: $\dfrac{2(x + 3)}{2} = x + 3$ .
- Marta: bien. $\dfrac{x(x + 1)}{x} = x + 1$ .
5. Media
Comprueba si son equivalentes: a) $\dfrac{2}{x}$ y $\dfrac{2x + 2}{x^2 + x}$ b) $\dfrac{3x}{x + 3}$ y $3$

Ver solución
a) Sí. b) No.
a) Simplificamos la segunda: $\dfrac{2(x + 1)}{x(x + 1)} = \dfrac{2}{x}$ . Son equivalentes. (Producto cruzado: $2(x^2 + x) = 2x^2 + 2x$ y $x(2x + 2) = 2x^2 + 2x$ ✔.) b) Producto cruzado: $3x \cdot 1 = 3x$ y $(x + 3) \cdot 3 = 3x + 9$ . No coinciden: no son equivalentes. (Con $x = 1$ : $\dfrac{3}{4} \neq 3$ .)
6. Difícil
Escribe y simplifica la fracción «área entre perímetro» de: a) un cuadrado de lado $x$ cm; b) un rectángulo de lados $2x$ cm y $4x$ cm.

Ver solución
a) x/4. b) 2x/3.
a) Área $x^2$ , perímetro $4x$ : $\dfrac{x^2}{4x} = \dfrac{x}{4}$ . b) Área $2x \cdot 4x = 8x^2$ , perímetro $2(2x + 4x) = 12x$ : $\dfrac{8x^2}{12x} = \dfrac{2x}{3}$ .

Para practicar más

1. Fácil
Simplifica: a) $\dfrac{12x^4}{18x^2}$ b) $\dfrac{20ab^2}{25a^2b^2}$ c) $\dfrac{7x^2y^3}{14x^3y}$

Ver solución
a) 2x²/3. b) 4/(5a). c) y²/(2x).
a) $\dfrac{12x^4}{18x^2} = \dfrac{2x^2}{3}$ b) $\dfrac{20ab^2}{25a^2b^2} = \dfrac{4}{5a}$ (las $b^2$ se simplifican del todo). c) $\dfrac{7x^2y^3}{14x^3y} = \dfrac{y^2}{2x}$
2. Fácil
a) ¿Para qué valores de $x$ no existe cada fracción? $\dfrac{x - 1}{x + 6}$ ; $\ \dfrac{3}{2x - 8}$ ; $\ \dfrac{x}{x^2 - 25}$ . b) Calcula el valor numérico de $\dfrac{x - 1}{x + 6}$ para $x = 2$ .

Ver solución
a) x = −6; x = 4; x = 5 y x = −5. b) 1/8.
a) $x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$ . $\quad 2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4$ . $\quad x^2 - 25 = 0 \Rightarrow x = \pm 5$ . b) $\dfrac{2 - 1}{2 + 6} = \dfrac{1}{8}$ .
3. Media
Simplifica: a) $\dfrac{4x + 12}{x + 3}$ b) $\dfrac{x^3 - 5x^2}{2x^2}$ c) $\dfrac{10x - 15}{4x - 6}$ d) $\dfrac{3x^2 + 3x}{6x + 6}$

Ver solución
a) 4. b) (x − 5)/2. c) 5/2. d) x/2.
a) $\dfrac{4(x + 3)}{x + 3} = 4$ b) $\dfrac{x^2(x - 5)}{2x^2} = \dfrac{x - 5}{2}$ c) $\dfrac{5(2x - 3)}{2(2x - 3)} = \dfrac{5}{2}$ d) $\dfrac{3x(x + 1)}{6(x + 1)} = \dfrac{3x}{6} = \dfrac{x}{2}$
4. Media
Un depósito con forma de ortoedro tiene un volumen de $(2x^3 + 6x^2)$ cm³, y su base tiene un área de $2x^2$ cm². a) Escribe la altura como fracción algebraica y simplifícala. b) Calcula la altura y el volumen si $x = 5$ .

Ver solución
a) x + 3. b) 8 cm; 400 cm³.
a) Altura $= \dfrac{\text{volumen}}{\text{área de la base}} = \dfrac{2x^3 + 6x^2}{2x^2} = \dfrac{2x^2(x + 3)}{2x^2} = x + 3$ cm. b) Altura: $5 + 3 = 8$ cm. Volumen: $2 \cdot 125 + 6 \cdot 25 = 400$ cm³ (y área de la base $\cdot$ altura $= 50 \cdot 8 = 400$ ✔).
5. Difícil
Simplifica factorizando el numerador con una identidad notable: a) $\dfrac{x^2 - 4}{3x + 6}$ b) $\dfrac{x^2 + 6x + 9}{2x + 6}$

Ver solución
a) (x − 2)/3. b) (x + 3)/2.
a) $\dfrac{(x + 2)(x - 2)}{3(x + 2)} = \dfrac{x - 2}{3}$ b) $\dfrac{(x + 3)^2}{2(x + 3)} = \dfrac{x + 3}{2}$