Factorizar trinomios de segundo grado

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorOlvidar el coeficiente $a$: escribir $2x^2 - 10x + 12 = (x - 2)(x - 3)$.

  Cómo corregirloMultiplica para comprobar: $(x - 2)(x - 3) = x^2 - 5x + 6$, que es la mitad. Lo correcto es $2(x - 2)(x - 3)$.

• ErrorEquivocarse de signo en los factores: raíces $3$ y $-5$ → $(x + 3)(x - 5)$.

  Cómo corregirloCada factor es $x$ menos la raíz: $(x - 3)(x - (-5)) = (x - 3)(x + 5)$.

• ErrorEscribir $-b$ mal cuando $b$ es negativo: en $x^2 - 5x + 6$, poner $-b = -5$.

  Cómo corregirloSi $b = -5$, entonces $-b = 5$. Escribe primero $a$, $b$ y $c$ con su signo y sustituye con paréntesis.

• ErrorIntentar factorizar un trinomio con $b^2 - 4ac < 0$ inventando factores.

  Cómo corregirloSi dentro de la raíz sale un número negativo, no hay raíces reales: el trinomio es irreducible y se deja como está.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Trinomios con a = 1 numérico (fórmula)

   Factoriza: a) $x^2 - 5x + 6$; b) $x^2 + 4x - 21$.

   Resolución

   a) $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$: $$x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \dfrac{5 \pm 1}{2} \;\Rightarrow\; x_1 = 3,\ x_2 = 2$$ $$x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)$$ (Con el truco: $(-2) \cdot (-3) = 6$ y $(-2) + (-3) = -5$.)

   b) $a = 1$, $b = 4$, $c = -21$: $$x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2} = \dfrac{-4 \pm 10}{2} \;\Rightarrow\; x_1 = 3,\ x_2 = -7$$ $$x^2 + 4x - 21 = (x - 3)(x + 7)$$ Comprobación: $(x - 3)(x + 7) = x^2 + 7x - 3x - 21 = x^2 + 4x - 21$ ✔

2. Ejemplo 2. Coeficiente principal distinto de 1 numérico (raíz fraccionaria)

   Factoriza $2x^2 + x - 3$.

   Resolución

   $a = 2$, $b = 1$, $c = -3$: $$x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \dfrac{-1 \pm 5}{4} \;\Rightarrow\; x_1 = 1,\ x_2 = -\dfrac{6}{4} = -\dfrac{3}{2}$$ Factorización, con el 2 delante: $$2x^2 + x - 3 = 2(x - 1)\left(x + \dfrac{3}{2}\right) = (x - 1)(2x + 3)$$ Comprobación: $(x - 1)(2x + 3) = 2x^2 + 3x - 2x - 3 = 2x^2 + x - 3$ ✔

3. Ejemplo 3. Dos raíces, una o ninguna gráfico

   La gráfica muestra $y = x^2 - 4x + 3$, $y = x^2 - 4x + 4$ e $y = x^2 - 4x + 5$. a) ¿Cuántas veces corta o toca cada una el eje X? b) Factoriza los tres trinomios, si se puede.

   Resolución

   a) La primera corta el eje X en $x = 1$ y $x = 3$; la segunda solo lo toca en $x = 2$; la tercera no lo toca.

   b) Con la fórmula, mirando $b^2 - 4ac$:

   • $x^2 - 4x + 3$: $16 - 12 = 4 > 0$ → raíces $\dfrac{4 \pm 2}{2}$: $3$ y $1$ → $(x - 1)(x - 3)$.
   • $x^2 - 4x + 4$: $16 - 16 = 0$ → raíz doble $x = 2$ → $(x - 2)^2$.
   • $x^2 - 4x + 5$: $16 - 20 = -4 < 0$ → sin raíces → irreducible.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Factoriza: a) $x^2 - 7x + 10$ b) $x^2 + x - 12$ c) $x^2 + 8x + 15$

   Ver solución

   a) (x − 2)(x − 5). b) (x + 4)(x − 3). c) (x + 3)(x + 5).

   a) $x = \dfrac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \dfrac{7 \pm 3}{2}$: $5$ y $2$ → $(x - 2)(x - 5)$. b) $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \dfrac{-1 \pm 7}{2}$: $3$ y $-4$ → $(x + 4)(x - 3)$. c) $x = \dfrac{-8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \dfrac{-8 \pm 2}{2}$: $-3$ y $-5$ → $(x + 3)(x + 5)$.

2. 2. Media

   Factoriza: a) $2x^2 - 10x + 12$ b) $3x^2 + 7x - 6$ c) $4x^2 - 4x - 3$

   Ver solución

   a) 2(x − 2)(x − 3). b) (3x − 2)(x + 3). c) (2x − 3)(2x + 1).

   a) Factor común 2: $2(x^2 - 5x + 6)$; raíces $2$ y $3$ → $2(x - 2)(x - 3)$. b) $x = \dfrac{-7 \pm \sqrt{49 + 72}}{6} = \dfrac{-7 \pm 11}{6}$: $\dfrac{2}{3}$ y $-3$ → $3\left(x - \dfrac{2}{3}\right)(x + 3) = (3x - 2)(x + 3)$. c) $x = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8} = \dfrac{4 \pm 8}{8}$: $\dfrac{3}{2}$ y $-\dfrac{1}{2}$ → $4\left(x - \dfrac{3}{2}\right)\left(x + \dfrac{1}{2}\right) = (2x - 3)(2x + 1)$.

3. 3. Media

   Factoriza los trinomios que se puedan e indica cuáles son irreducibles: a) $x^2 + x + 1$ b) $x^2 - 16x + 64$ c) $2x^2 + 3x + 4$ d) $x^2 - 3x - 4$

   Ver solución

   a) Irreducible. b) (x − 8)². c) Irreducible. d) (x − 4)(x + 1).

   a) $b^2 - 4ac = 1 - 4 = -3 < 0$ → irreducible. b) $256 - 256 = 0$ → raíz doble $x = 8$ → $(x - 8)^2$. c) $9 - 32 = -23 < 0$ → irreducible. d) $9 + 16 = 25$ → $x = \dfrac{3 \pm 5}{2}$: $4$ y $-1$ → $(x - 4)(x + 1)$.

4. 4. Media

   Escribe, en forma factorizada y desarrollada, un trinomio de segundo grado que cumpla: a) Sus raíces son $4$ y $-1$, y $a = 1$. b) Sus raíces son $2$ y $5$, y $a = 3$. c) Tiene la raíz doble $-3$, y $a = 1$.

   Ver solución

   a) (x − 4)(x + 1) = x² − 3x − 4. b) 3(x − 2)(x − 5) = 3x² − 21x + 30. c) (x + 3)² = x² + 6x + 9.

   Usamos $a(x - x_1)(x - x_2)$: a) $(x - 4)(x + 1) = x^2 - 3x - 4$. b) $3(x - 2)(x - 5) = 3(x^2 - 7x + 10) = 3x^2 - 21x + 30$. c) $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$.

5. 5. Difícil

   Una pista rectangular del polideportivo de un barrio de Madrid tiene un área de $(x^2 + 7x + 12)$ m², y sus lados son polinomios de la forma $x + p$ con $p$ entero. a) Expresa la medida de cada lado. b) ¿Cuánto miden los lados y cuál es el área si $x = 20$?

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   a) (x + 3) m y (x + 4) m. b) 23 m y 24 m; 552 m².

   a) Raíces de $x^2 + 7x + 12$: $x = \dfrac{-7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2} = \dfrac{-7 \pm 1}{2}$: $-3$ y $-4$. Entonces $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$: los lados miden $(x + 3)$ m y $(x + 4)$ m. b) $x = 20$: $23$ m y $24$ m. Área: $23 \cdot 24 = 552$ m² (y $20^2 + 7 \cdot 20 + 12 = 552$ ✔).

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Factoriza: a) $x^2 - 8x + 12$ b) $x^2 + 3x - 10$ c) $x^2 - x - 20$

   Ver solución

   a) (x − 2)(x − 6). b) (x + 5)(x − 2). c) (x − 5)(x + 4).

   a) $x = \dfrac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \dfrac{8 \pm 4}{2}$: $6$ y $2$ → $(x - 2)(x - 6)$. b) $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \dfrac{-3 \pm 7}{2}$: $2$ y $-5$ → $(x + 5)(x - 2)$. c) $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} = \dfrac{1 \pm 9}{2}$: $5$ y $-4$ → $(x - 5)(x + 4)$.

2. 2. Media

   Factoriza: a) $5x^2 - 5x - 30$ b) $2x^2 - 7x + 3$ c) $6x^2 + x - 1$

   Ver solución

   a) 5(x − 3)(x + 2). b) (x − 3)(2x − 1). c) (3x − 1)(2x + 1).

   a) Factor común 5: $5(x^2 - x - 6)$; $x = \dfrac{1 \pm 5}{2}$: $3$ y $-2$ → $5(x - 3)(x + 2)$. b) $x = \dfrac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \dfrac{7 \pm 5}{4}$: $3$ y $\dfrac{1}{2}$ → $2(x - 3)\left(x - \dfrac{1}{2}\right) = (x - 3)(2x - 1)$. c) $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{12} = \dfrac{-1 \pm 5}{12}$: $\dfrac{1}{3}$ y $-\dfrac{1}{2}$ → $6\left(x - \dfrac{1}{3}\right)\left(x + \dfrac{1}{2}\right) = (3x - 1)(2x + 1)$.

3. 3. Media

   Factoriza si se puede; si no, indica que es irreducible: a) $x^2 + 4x + 7$ b) $9x^2 + 6x + 1$ c) $x^2 + 5x$ d) $x^2 - 2x + 3$

   Ver solución

   a) Irreducible. b) (3x + 1)². c) x(x + 5). d) Irreducible.

   a) $16 - 28 = -12 < 0$ → irreducible. b) $36 - 36 = 0$ → raíz doble $-\dfrac{1}{3}$ → $9\left(x + \dfrac{1}{3}\right)^2 = (3x + 1)^2$ (también es el cuadrado de una suma). c) Sin término independiente: basta sacar factor común, $x(x + 5)$. d) $4 - 12 = -8 < 0$ → irreducible.

4. 4. Media

   La gráfica corresponde a $y = x^2 + 2x - 8$. a) Lee en la gráfica las raíces del trinomio. b) Escribe su factorización y compruébala multiplicando.

   Ver solución

   a) −4 y 2. b) (x + 4)(x − 2).

   a) La gráfica corta el eje X en $x = -4$ y $x = 2$. b) $x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)$. Comprobación: $(x + 4)(x - 2) = x^2 - 2x + 4x - 8 = x^2 + 2x - 8$ ✔

5. 5. Difícil

   El área de un rectángulo es $(2x^2 + 7x + 3)$ cm². a) Factoriza el área para obtener la medida de sus lados. b) Si el perímetro mide 26 cm, halla $x$ y las medidas del rectángulo.

   Ver solución

   a) (2x + 1) cm y (x + 3) cm. b) x = 3; 7 cm y 6 cm.

   a) $x = \dfrac{-7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \dfrac{-7 \pm 5}{4}$: $-\dfrac{1}{2}$ y $-3$. Entonces $$2x^2 + 7x + 3 = 2\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x + 3) = (2x + 1)(x + 3)$$ Los lados miden $(2x + 1)$ cm y $(x + 3)$ cm. b) Perímetro: $2\big[(2x + 1) + (x + 3)\big] = 6x + 8 = 26 \Rightarrow x = 3$. Lados: $7$ cm y $6$ cm (área $42$ cm²; y $2 \cdot 9 + 21 + 3 = 42$ ✔).