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Matemáticas 3.º ESO · Raíces de un polinomio

Búsqueda de raíces enteras de un polinomio

Objetivo: Al terminar, sabrás buscar las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros probando con la regla de Ruffini los divisores de su término independiente, y reconocer cuándo un polinomio no tiene raíces enteras.

Explicación

¿Qué números pueden ser raíces enteras?

Fíjate en este producto: $(x - 2)(x + 3)(x - 1) = x^3 - 7x + 6$ Sus raíces son $2$ , $-3$ y $1$ , y el término independiente, $6$ , es el producto $(-2) \cdot 3 \cdot (-1)$ . Por eso cada raíz es un divisor de $6$ . En general:

Si un polinomio con coeficientes enteros tiene una raíz entera, esa raíz es un divisor del término independiente.

Así que no hay que probar números al azar: solo los divisores (positivos y negativos) del término independiente. Por ejemplo, si el término independiente es $6$ , las posibles raíces enteras son $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6$ .

Método para buscar las raíces enteras

Escribe los divisores del término independiente, con los dos signos.
Pruébalos con Ruffini (o con el valor numérico), empezando por los más sencillos: $1, -1, 2, -2\dots$
Cuando encuentres una raíz, sigue probando con el cociente, que tiene un grado menos y es más fácil.
Para cuando el cociente sea de grado 1 (su raíz sale igualándolo a 0) o cuando ya no quede ningún divisor que dé resto 0.

Un polinomio de grado $n$ tiene, como mucho, $n$ raíces.

Casos especiales

Término independiente 0. Entonces $x = 0$ es raíz: saca factor común $x$ y busca las demás raíces en el paréntesis. Por ejemplo, $x^3 - 4x = x(x^2 - 4)$ tiene las raíces $0$ , $2$ y $-2$ .
Ningún divisor da resto 0. El polinomio no tiene raíces enteras. Puede tener raíces que sean fracciones o números irracionales, o no tener ninguna raíz.

Puntos clave

Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores de su término independiente.
Hay que probar los divisores positivos y negativos: $\pm 1, \pm 2, \dots$
Tras encontrar una raíz, se sigue probando con el cociente de la división.
Un polinomio de grado $n$ tiene como máximo $n$ raíces.
Si el término independiente es 0, $x = 0$ es raíz: se saca factor común $x$ .
Si ningún divisor da resto 0, el polinomio no tiene raíces enteras.

Errores frecuentes

ErrorProbar solo los divisores positivos.
Cómo corregirloLas raíces pueden ser negativas: con término independiente 6 hay que probar $1, -1, 2, -2, 3, -3, 6$ y $-6$ .
ErrorVolver a dividir el polinomio inicial después de encontrar una raíz.
Cómo corregirloSigue siempre con el cociente que acabas de obtener: tiene un grado menos y su término independiente es más pequeño.
ErrorBuscar los divisores de un coeficiente que no es el término independiente.
Cómo corregirloEl término independiente es el que no lleva $x$ . En $x^3 + 4x^2 - 7x - 10$ es $-10$ , y sus divisores son $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$ .
ErrorCon término independiente 0, decir que «no hay divisores» y abandonar.
Cómo corregirloSi el término independiente es 0, $x = 0$ es raíz. Saca factor común $x$ y busca las demás raíces en el polinomio que queda dentro del paréntesis.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Todas las raíces enteras de un polinomio de grado 3 numérico (método completo con Ruffini)
Halla las raíces enteras de $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ .

Resolución
1. Posibles raíces: divisores de $6$ : $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6$ .

2. Probamos con Ruffini, y cada vez que encontramos una raíz seguimos con el cociente:

$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -2 & -5 & 6 \\ 1 & & 1 & -1 & -6 \\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \\ -2 & & -2 & 6 & \\ \hline & 1 & -3 & 0 & \\ 3 & & 3 & & \\ \hline & 1 & 0 & & \end{array}$
- Con $1$ : resto 0 → $1$ es raíz. Cociente: $x^2 - x - 6$ .
- Con $-2$ (en el cociente): resto 0 → $-2$ es raíz. Cociente: $x - 3$ .
- El último cociente, $x - 3$ , se anula en $x = 3$ .
Raíces enteras: $1$ , $-2$ y $3$ . Como el grado es 3, no puede tener más.
Ejemplo 2. Un polinomio con una sola raíz entera numérico (descartar candidatos)
Halla las raíces enteras de $P(x) = x^3 - x^2 - x - 2$ .

Resolución
Posibles raíces: divisores de $-2$ : $\pm 1,\ \pm 2$ .

Con el valor numérico descartamos rápido algunos:
- $P(1) = 1 - 1 - 1 - 2 = -3 \neq 0$
- $P(-1) = -1 - 1 + 1 - 2 = -3 \neq 0$
Probamos $2$ con Ruffini: $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -1 & -1 & -2 \\ 2 & & 2 & 2 & 2 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}$ Resto 0 → $2$ es raíz. Cociente: $C(x) = x^2 + x + 1$ .

Buscamos raíces enteras del cociente (divisores de $1$ : $\pm 1$ ): $C(1) = 3$ y $C(-1) = 1$ . Ninguno es 0.

Solo tiene una raíz entera: $x = 2$ , y $P(x) = (x - 2)(x^2 + x + 1)$ .
Ejemplo 3. Las medidas de una caja situación real
Una tienda de embalajes de Vallecas fabrica cajas con forma de ortoedro cuyas aristas miden $x$ , $x + 2$ y $x + 3$ decímetros. Un cliente pide una caja de 40 dm³. a) Comprueba que $x$ debe ser raíz de $P(x) = x^3 + 5x^2 + 6x - 40$ . b) Busca una raíz entera positiva y da las medidas de la caja.

Resolución
a) Volumen $= x(x + 2)(x + 3) = x^3 + 5x^2 + 6x$ . Debe valer 40: $x^3 + 5x^2 + 6x = 40 \;\Rightarrow\; x^3 + 5x^2 + 6x - 40 = 0$ Es decir, $P(x) = 0$ : $x$ es raíz de $P(x)$ .

b) Una longitud es positiva, así que solo probamos los divisores positivos de 40: $1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40$ .
- $P(1) = 1 + 5 + 6 - 40 = -28 \neq 0$ .
- Con $2$ : $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 5 & 6 & -40 \\ 2 & & 2 & 14 & 40 \\ \hline & 1 & 7 & 20 & 0 \end{array}$ Resto 0 → $x = 2$ . El cociente $x^2 + 7x + 20$ solo tiene sumandos positivos cuando $x > 0$ , así que no tiene raíces positivas.
Medidas: $2$ dm, $4$ dm y $5$ dm. Comprobación: $2 \cdot 4 \cdot 5 = 40$ dm³. ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Escribe las posibles raíces enteras de cada polinomio: a) $x^3 + 4x^2 - 7x - 10$ b) $x^4 - 9$ c) $2x^3 + x - 12$

Ver solución
a) ±1, ±2, ±5, ±10. b) ±1, ±3, ±9. c) ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.
Son los divisores del término independiente, con los dos signos: a) Divisores de $-10$ : $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 5,\ \pm 10$ . b) Divisores de $-9$ : $\pm 1,\ \pm 3,\ \pm 9$ . c) Divisores de $-12$ : $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 4,\ \pm 6,\ \pm 12$ .
2. Media
Halla las raíces enteras de $P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$ .

Ver solución
1, −2 y −3.
Posibles raíces: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ . $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 4 & 1 & -6 \\ 1 & & 1 & 5 & 6 \\ \hline & 1 & 5 & 6 & 0 \\ -2 & & -2 & -6 & \\ \hline & 1 & 3 & 0 & \\ -3 & & -3 & & \\ \hline & 1 & 0 & & \end{array}$ Raíces enteras: $1$ , $-2$ y $-3$ .
3. Media
Halla las raíces enteras de $P(x) = x^3 + x^2 - 12x$ .

Ver solución
0, 3 y −4.
El término independiente es 0: sacamos factor común $x$ . $P(x) = x(x^2 + x - 12)$ $x = 0$ es raíz. En $x^2 + x - 12$ probamos los divisores de $-12$ : $\begin{array}{r|rrr} & 1 & 1 & -12 \\ 3 & & 3 & 12 \\ \hline & 1 & 4 & 0 \\ -4 & & -4 & \\ \hline & 1 & 0 & \end{array}$ Raíces enteras: $0$ , $3$ y $-4$ .
4. Difícil
Demuestra que $P(x) = x^3 + 2x + 4$ no tiene raíces enteras.

Ver solución
Ningún divisor de 4 la anula: P(±1), P(±2), P(±4) ≠ 0.
Posibles raíces: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ . $P(1) = 7$ ; $P(-1) = 1$ ; $P(2) = 16$ ; $P(-2) = -8$ ; $P(4) = 76$ ; $P(-4) = -68$ . Ninguno es 0: no tiene raíces enteras.

Para practicar más

1. Fácil
Escribe las posibles raíces enteras de: a) $x^3 - 2x + 8$ b) $x^4 + x^2 - 15$

Ver solución
a) ±1, ±2, ±4, ±8. b) ±1, ±3, ±5, ±15.
a) Divisores de $8$ : $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4,\ \pm 8$ . b) Divisores de $-15$ : $\pm 1,\ \pm 3,\ \pm 5,\ \pm 15$ .
2. Media
Halla las raíces enteras de $P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$ .

Ver solución
2, −2 y 3.
Posibles raíces: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$ . $P(1) = 6$ y $P(-1) = 12$ , no son raíces. $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -3 & -4 & 12 \\ 2 & & 2 & -2 & -12 \\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \\ -2 & & -2 & 6 & \\ \hline & 1 & -3 & 0 & \\ 3 & & 3 & & \\ \hline & 1 & 0 & & \end{array}$ Raíces enteras: $2$ , $-2$ y $3$ .
3. Media
Halla las raíces enteras de $P(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$ .

Ver solución
0, 2 y 5.
Factor común: $P(x) = x(x^2 - 7x + 10)$ , así que $x = 0$ es raíz. En el paréntesis, divisores de 10: $\begin{array}{r|rrr} & 1 & -7 & 10 \\ 2 & & 2 & -10 \\ \hline & 1 & -5 & 0 \\ 5 & & 5 & \\ \hline & 1 & 0 & \end{array}$ Raíces enteras: $0$ , $2$ y $5$ .
4. Media
Halla las raíces enteras de $P(x) = x^3 - x^2 + x - 6$ . ¿Cuántas tiene?

Ver solución
Solo una: x = 2.
Posibles raíces: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ . $P(1) = -5$ , $P(-1) = -9$ . $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -1 & 1 & -6 \\ 2 & & 2 & 2 & 6 \\ \hline & 1 & 1 & 3 & 0 \end{array}$ $2$ es raíz; cociente $x^2 + x + 3$ . Sus posibles raíces enteras son $\pm 1, \pm 3$ : valen $5$ , $3$ , $15$ y $9$ ; ninguna es 0. Tiene una sola raíz entera: $x = 2$ .
5. Difícil
El producto de tres números enteros consecutivos es 210. Llamando $x$ al menor: a) Comprueba que $x$ es raíz de $P(x) = x^3 + 3x^2 + 2x - 210$ . b) Halla los tres números buscando una raíz entera de $P(x)$ .

Ver solución
a) x(x + 1)(x + 2) = 210. b) 5, 6 y 7.
a) $x(x + 1)(x + 2) = x^3 + 3x^2 + 2x$ . Igualando a 210: $x^3 + 3x^2 + 2x - 210 = 0$ , es decir, $P(x) = 0$ .

b) Como $1 \cdot 2 \cdot 3$ , $2 \cdot 3 \cdot 4$ y $3 \cdot 4 \cdot 5$ son mucho menores que 210, probamos divisores de 210 algo mayores, por ejemplo $5$ : $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 3 & 2 & -210 \\ 5 & & 5 & 40 & 210 \\ \hline & 1 & 8 & 42 & 0 \end{array}$ Resto 0: $x = 5$ . Los números son 5, 6 y 7 ( $5 \cdot 6 \cdot 7 = 210$ ✔).
6. Difícil
Halla las raíces enteras de $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$ .

Ver solución
1, −1, −2 y 3.
Posibles raíces: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ . $\begin{array}{r|rrrrr} & 1 & -1 & -7 & 1 & 6 \\ 1 & & 1 & 0 & -7 & -6 \\ \hline & 1 & 0 & -7 & -6 & 0 \\ -1 & & -1 & 1 & 6 & \\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 & \\ -2 & & -2 & 6 & & \\ \hline & 1 & -3 & 0 & & \\ 3 & & 3 & & & \\ \hline & 1 & 0 & & & \end{array}$ Raíces enteras: $1$ , $-1$ , $-2$ y $3$ . Al ser de grado 4, no puede tener más.