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Matemáticas 3.º ESO · Factorización: factor común, identidades y trinomios

Factorizar con factor común e identidades notables

Objetivo: Al terminar, sabrás descomponer un polinomio en producto de factores sacando factor común y reconociendo las identidades notables: cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia y suma por diferencia.

Explicación

¿Qué es factorizar?

Factorizar un polinomio es escribirlo como un producto de polinomios de menor grado, igual que factorizamos números: $12 = 2^2 \cdot 3$ . Por ejemplo: $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$ Antes de usar Ruffini, conviene probar dos técnicas rápidas.

1. Sacar factor común

Si todos los términos tienen un factor común, lo sacamos fuera de un paréntesis (propiedad distributiva al revés): $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$ El factor común es el m.c.d. de los coeficientes por la menor potencia de $x$ que aparece. Por ejemplo: $6x^3 - 9x^2 + 3x = 3x(2x^2 - 3x + 1)$ Para saber qué queda en el paréntesis, divide cada término entre $3x$ . Si un término es igual al factor común, deja un $1$ .

2. Identidades notables al revés

Forma desarrollada	Forma factorizada
$a^2 + 2ab + b^2$	$(a + b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2$	$(a - b)^2$
$a^2 - b^2$	$(a + b)(a - b)$

¿Cómo se reconocen?

Binomio con dos cuadrados restando → suma por diferencia: $4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x + 5)(2x - 5)$ .
Trinomio con dos cuadrados perfectos ( $a^2$ y $b^2$ ) y el otro término igual a $\pm 2ab$ → cuadrado de una suma o de una diferencia. En $x^2 + 6x + 9$ : $a = x$ , $b = 3$ y $2 \cdot x \cdot 3 = 6x$ ✔, así que $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ .

Una suma de cuadrados, como $x^2 + 9$ , no se puede factorizar con identidades notables.

Orden de trabajo

Saca factor común, si lo hay.
Mira si el paréntesis es una identidad notable.
Comprueba multiplicando.

Por ejemplo: $2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x + 2)(x - 2)$ .

Puntos clave

Factorizar es escribir un polinomio como producto de polinomios de menor grado.
Factor común: m.c.d. de los coeficientes y menor potencia de $x$ .
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ ; $\ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ ; $\ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ .
Primero se saca factor común y después se busca una identidad en el paréntesis.
Siempre se puede comprobar multiplicando.

Errores frecuentes

ErrorOlvidar el 1 al sacar factor común: $3x^2 + 3x = 3x \cdot x$ .
Cómo corregirloDivide cada término entre el factor común: $3x : 3x = 1$ . Queda $3x^2 + 3x = 3x(x + 1)$ .
ErrorEscribir $x^2 + 9 = (x + 3)^2$ .
Cómo corregirloDesarrolla para comprobar: $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$ . Falta el doble producto: $x^2 + 9$ no es una identidad notable.
ErrorDar por buena cualquier expresión con dos cuadrados: $x^2 + 5x + 4 = (x + 2)^2$ .
Cómo corregirloComprueba el doble producto: $2 \cdot x \cdot 2 = 4x \neq 5x$ . No es un cuadrado perfecto (se factoriza con otra técnica).
ErrorDejar la factorización a medias: $2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4)$ .
Cómo corregirloMira siempre si el paréntesis se puede seguir factorizando: $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Factor común y después identidad numérico
Factoriza: a) $x^3 - 9x$ ; b) $2x^2 + 12x + 18$ ; c) $4x^3 - 4x^2 + x$ .

Resolución
a) Factor común $x$ : $x^3 - 9x = x(x^2 - 9)$ . El paréntesis es una diferencia de cuadrados, $x^2 - 3^2$ : $x^3 - 9x = x(x + 3)(x - 3)$

b) Factor común $2$ : $2(x^2 + 6x + 9)$ . En el paréntesis, $x^2 = (x)^2$ , $9 = 3^2$ y $2 \cdot x \cdot 3 = 6x$ ✔: $2x^2 + 12x + 18 = 2(x + 3)^2$

c) Factor común $x$ : $x(4x^2 - 4x + 1)$ . En el paréntesis, $4x^2 = (2x)^2$ , $1 = 1^2$ y $2 \cdot 2x \cdot 1 = 4x$ , con signo menos: $4x^3 - 4x^2 + x = x(2x - 1)^2$
Ejemplo 2. ¿Es una identidad notable? razonamiento (reconocer la forma)
Decide cuáles de estos polinomios son el desarrollo de una identidad notable y, en ese caso, factorízalos: a) $x^2 + 16x + 64$ ; b) $x^2 + 13x + 36$ ; c) $9x^2 - 12x + 4$ ; d) $x^2 + 4$ .

Resolución
a) $x^2 = (x)^2$ , $64 = 8^2$ , $2 \cdot x \cdot 8 = 16x$ ✔ → $(x + 8)^2$ . b) $36 = 6^2$ , pero $2 \cdot x \cdot 6 = 12x \neq 13x$ → no es una identidad notable. c) $9x^2 = (3x)^2$ , $4 = 2^2$ , $2 \cdot 3x \cdot 2 = 12x$ y el signo es menos ✔ → $(3x - 2)^2$ . d) Es una suma de cuadrados → no se factoriza con identidades notables.
Ejemplo 3. Un jardín y un panel situación real (geométrico)
a) Un jardín cuadrado tiene un área de $(x^2 + 14x + 49)$ m². ¿Cuánto mide su lado? ¿Y su perímetro? Calcula ambos si $x = 10$ . b) Un panel rectangular tiene un área de $(16x^2 - 49)$ m². Expresa sus lados como polinomios de grado 1.

Resolución
a) $x^2 + 14x + 49 = (x + 7)^2$ ( $2 \cdot x \cdot 7 = 14x$ ✔). El área de un cuadrado es lado al cuadrado, así que el lado mide $(x + 7)$ m y el perímetro, $4(x + 7) = (4x + 28)$ m. Si $x = 10$ : lado $= 17$ m y perímetro $= 68$ m. (Comprobación: $10^2 + 14 \cdot 10 + 49 = 289 = 17^2$ ✔.)

b) $16x^2 - 49 = (4x)^2 - 7^2 = (4x + 7)(4x - 7)$ . Los lados miden $(4x + 7)$ m y $(4x - 7)$ m.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Saca factor común: a) $4x^2 + 8x$ b) $6x^3 - 15x^2$ c) $10x^4 - 5x^3 + 20x^2$ d) $7x^2 - 7x$

Ver solución
a) 4x(x + 2). b) 3x²(2x − 5). c) 5x²(2x² − x + 4). d) 7x(x − 1).
a) m.c.d. $(4, 8) = 4$ y menor potencia $x$ : $4x(x + 2)$ . b) m.c.d. $(6, 15) = 3$ y $x^2$ : $3x^2(2x - 5)$ . c) m.c.d. $(10, 5, 20) = 5$ y $x^2$ : $5x^2(2x^2 - x + 4)$ . d) $7x(x - 1)$ .
2. Fácil
Factoriza usando identidades notables: a) $x^2 + 18x + 81$ b) $x^2 - 2x + 1$ c) $x^2 - 49$ d) $9x^2 - 1$ e) $4x^2 + 28x + 49$

Ver solución
a) (x + 9)². b) (x − 1)². c) (x + 7)(x − 7). d) (3x + 1)(3x − 1). e) (2x + 7)².
a) $81 = 9^2$ y $2 \cdot x \cdot 9 = 18x$ → $(x + 9)^2$ . b) $2 \cdot x \cdot 1 = 2x$ , con menos → $(x - 1)^2$ . c) $x^2 - 7^2 = (x + 7)(x - 7)$ . d) $(3x)^2 - 1^2 = (3x + 1)(3x - 1)$ . e) $(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 7 + 7^2 = (2x + 7)^2$ .
3. Media
Factoriza todo lo posible: a) $3x^2 - 12$ b) $x^3 - 10x^2 + 25x$ c) $2x^3 - 50x$ d) $5x^2 + 30x + 45$

Ver solución
a) 3(x + 2)(x − 2). b) x(x − 5)². c) 2x(x + 5)(x − 5). d) 5(x + 3)².
a) $3(x^2 - 4) = 3(x + 2)(x - 2)$ . b) $x(x^2 - 10x + 25) = x(x - 5)^2$ . c) $2x(x^2 - 25) = 2x(x + 5)(x - 5)$ . d) $5(x^2 + 6x + 9) = 5(x + 3)^2$ .
4. Media
Completa para que sean identidades notables: a) $x^2 + \square + 36 = (x + \square)^2$ b) $16x^2 - \square = (4x + 3)(4x - 3)$ c) $\square - 12x + 9 = (\square - 3)^2$

Ver solución
a) 12x; 6. b) 9. c) 4x²; 2x.
a) $36 = 6^2$ y el doble producto es $2 \cdot x \cdot 6 = 12x$ : $x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2$ . b) $(4x + 3)(4x - 3) = 16x^2 - 9$ . c) El doble producto $2 \cdot a \cdot 3 = 12x$ da $a = 2x$ : $4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$ .
5. Difícil
Calcula sin calculadora, factorizando como suma por diferencia: a) $101^2 - 99^2$ b) $55^2 - 45^2$

Ver solución
a) 400. b) 1000.
a) $101^2 - 99^2 = (101 + 99)(101 - 99) = 200 \cdot 2 = 400$ . b) $55^2 - 45^2 = (55 + 45)(55 - 45) = 100 \cdot 10 = 1000$ .

Para practicar más

1. Fácil
Saca factor común: a) $9x^3 + 3x$ b) $12x^4 - 18x^3 + 30x^2$ c) $-2x^2 - 8x$

Ver solución
a) 3x(3x² + 1). b) 6x²(2x² − 3x + 5). c) −2x(x + 4).
a) $3x(3x^2 + 1)$ . b) m.c.d. $(12, 18, 30) = 6$ y $x^2$ : $6x^2(2x^2 - 3x + 5)$ . c) Sacando $-2x$ : $-2x(x + 4)$ (también vale $2x(-x - 4)$ ).
2. Fácil
Factoriza con identidades notables: a) $x^2 + 22x + 121$ b) $x^2 - 81$ c) $25x^2 - 10x + 1$ d) $16 - x^2$

Ver solución
a) (x + 11)². b) (x + 9)(x − 9). c) (5x − 1)². d) (4 + x)(4 − x).
a) $121 = 11^2$ y $2 \cdot x \cdot 11 = 22x$ → $(x + 11)^2$ . b) $x^2 - 9^2 = (x + 9)(x - 9)$ . c) $(5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 = (5x - 1)^2$ . d) $4^2 - x^2 = (4 + x)(4 - x)$ .
3. Media
Factoriza todo lo posible: a) $x^3 + 6x^2 + 9x$ b) $4x^3 - 36x$ c) $3x^4 - 3x^2$ d) $2x^3 - 16x^2 + 32x$

Ver solución
a) x(x + 3)². b) 4x(x + 3)(x − 3). c) 3x²(x + 1)(x − 1). d) 2x(x − 4)².
a) $x(x^2 + 6x + 9) = x(x + 3)^2$ . b) $4x(x^2 - 9) = 4x(x + 3)(x - 3)$ . c) $3x^2(x^2 - 1) = 3x^2(x + 1)(x - 1)$ . d) $2x(x^2 - 8x + 16) = 2x(x - 4)^2$ .
4. Media
Un panel de anuncios rectangular de la estación de Atocha tiene un área de $(9x^2 - 4)$ m², y uno de sus lados mide $(3x + 2)$ m. a) ¿Cuánto mide el otro lado? b) Calcula las dos medidas y el área si $x = 2$ .

Ver solución
a) (3x − 2) m. b) 8 m y 4 m; 32 m².
a) $9x^2 - 4 = (3x)^2 - 2^2 = (3x + 2)(3x - 2)$ . El otro lado mide $(3x - 2)$ m. b) Con $x = 2$ : $3 \cdot 2 + 2 = 8$ m y $3 \cdot 2 - 2 = 4$ m. Área: $8 \cdot 4 = 32$ m² (y $9 \cdot 2^2 - 4 = 32$ ✔).
5. Difícil
Demuestra, factorizando, que para cualquier número entero $n$ la expresión $(n + 3)^2 - (n - 3)^2$ es múltiplo de 12.

Ver solución
(n + 3)² − (n − 3)² = 12n.
Es una diferencia de cuadrados, $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ , con $A = n + 3$ y $B = n - 3$ : $(n + 3)^2 - (n - 3)^2 = \big[(n + 3) + (n - 3)\big]\big[(n + 3) - (n - 3)\big] = 2n \cdot 6 = 12n$ $12n$ es múltiplo de 12 para cualquier entero $n$ .