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Matemáticas 3.º ESO · Expresiones algebraicas y polinomios: repaso

Ampliación: dos cantidades con una sola incógnita (edades, dinero, repartos)

Objetivo: Al terminar, sabrás expresar en función de una sola incógnita varias cantidades relacionadas: edades en distintos momentos, dinero de varias personas y repartos.

Explicación

Una incógnita para dos (o más) cantidades

Muchas veces un problema habla de varias cantidades relacionadas. Se llama $x$ a una de ellas (normalmente la más pequeña o aquella de la que dependen las demás) y las otras se escriben en función de $x$ .

Dinero. Si Ana tiene $x$ € y Luis tiene 5 € más que el doble que Ana, Luis tiene $2x + 5$ €. Entre los dos: $x + (2x + 5) = 3x + 5$ €.

Repartos. Si se reparten 60 cromos entre dos personas y una recibe $x$ , la otra recibe $60 - x$ .

Edades. Si alguien tiene hoy $x$ años:

	Hace 4 años	Hoy	Dentro de 10 años
Edad	$x - 4$	$x$	$x + 10$

Si otra persona tiene el triple, $3x$ , dentro de 10 años tendrá $3x + 10$ (no $3(x + 10)$ : los 10 años pasan para todos por igual). La diferencia de edad entre dos personas no cambia con el tiempo.

Consejo: organiza los datos en una tabla antes de escribir las expresiones.

Puntos clave

Elige $x$ para una cantidad y escribe las demás en función de $x$ .
Reparto de un total $T$ : si uno recibe $x$ , el otro recibe $T - x$ .
Edad dentro de $n$ años: se suma $n$ a la edad de hoy; hace $n$ años: se resta.
La diferencia de edad entre dos personas es siempre la misma.

Errores frecuentes

ErrorPara «la madre tiene el triple que su hija ( $x$ ); edad de la madre dentro de 10 años» escribir $3(x + 10)$ .
Cómo corregirloPrimero la edad de la madre hoy, $3x$ , y luego se le suman 10 años: $3x + 10$ .
ErrorUsar dos letras distintas ( $x$ e $y$ ) para cantidades que están relacionadas.
Cómo corregirloSi una cantidad depende de la otra, exprésala con la misma letra: Luis tiene $2x + 5$ , no $y$ .
ErrorEn un reparto, escribir $x$ y $x - 60$ .
Cómo corregirloLo que le queda al otro es el total menos lo del primero: $60 - x$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Elena y su madre edades (tabla)
Elena tiene $x$ años y su madre tiene el triple. Escribe: a) la edad de la madre dentro de 10 años; b) la edad de Elena hace 4 años; c) la suma de las edades de las dos dentro de 5 años. d) Comprueba que, si Elena tiene 10 años, dentro de 10 años la madre tendrá el doble que ella.

Resolución

Hoy Hace 4 años Dentro de 5 años Dentro de 10 años

Elena $x$ $x - 4$ $x + 5$ $x + 10$

Madre $3x$ $3x - 4$ $3x + 5$ $3x + 10$

a) $3x + 10$ . b) $x - 4$ . c) $(x + 5) + (3x + 5) = 4x + 10$ .

d) Con $x = 10$ : la madre tendrá $3 \cdot 10 + 10 = 40$ y Elena $10 + 10 = 20$ ; $40 = 2 \cdot 20$ ✔.
Ejemplo 2. Un regalo entre tres amigos dinero (situación real)
Ana, Luis y Carmen compran un regalo. Ana pone $x$ €, Luis pone 5 € más que el doble que Ana y Carmen pone 3 € menos que Luis. a) Expresa lo que pone cada uno y el total. b) ¿Cuánto cuesta el regalo si Ana pone 8 €?

Resolución
a) Ana: $x$ . Luis: $2x + 5$ . Carmen: $(2x + 5) - 3 = 2x + 2$ . Total: $x + (2x + 5) + (2x + 2) = 5x + 7$ €.

b) $5 \cdot 8 + 7 = 47$ €. Comprobación: Ana 8, Luis 21, Carmen 18; $8 + 21 + 18 = 47$ ✔.

	Hoy	Hace 4 años	Dentro de 5 años	Dentro de 10 años
Elena	$x$	$x - 4$	$x + 5$	$x + 10$
Madre	$3x$	$3x - 4$	$3x + 5$	$3x + 10$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Dos hermanos se reparten 60 cromos. El mayor se queda con $x$ cromos. a) ¿Cuántos se queda el pequeño? b) Escribe y reduce la diferencia entre lo que tiene el mayor y lo que tiene el pequeño.

Ver solución
a) $60 - x$ b) $2x - 60$
b) $x - (60 - x) = x - 60 + x = 2x - 60$ . Por ejemplo, si el mayor tiene 35, el pequeño tiene 25 y la diferencia es $2 \cdot 35 - 60 = 10$ ✔.
2. Media
Jorge tiene $x$ años y su abuelo tiene 50 años más. Escribe: a) la edad del abuelo dentro de 7 años; b) la suma de las edades de los dos hace 3 años; c) ¿cuántos años se llevarán dentro de 20 años?

Ver solución
a) $x + 57$ b) $2x + 44$ c) 50 años
a) Abuelo hoy: $x + 50$ ; dentro de 7 años: $x + 57$ . b) $(x - 3) + (x + 50 - 3) = 2x + 44$ . c) La diferencia de edad no cambia: 50 años.
3. Media
En una hucha hay $x$ monedas de 2 € y el triple de monedas de 50 céntimos. Expresa: a) el número total de monedas; b) el dinero total en euros.

Ver solución
a) $4x$ monedas b) $3{,}5x$ €
a) $x + 3x = 4x$ . b) $2 \cdot x + 0{,}5 \cdot 3x = 2x + 1{,}5x = 3{,}5x$ €. Por ejemplo, con 4 monedas de 2 € y 12 de 50 cent: $8 + 6 = 14 = 3{,}5 \cdot 4$ ✔.

Para practicar más

1. Fácil
Para un concierto en el WiZink Center, una entrada de pista cuesta $x$ € y una de grada cuesta 15 € menos. a) Escribe el precio de 4 entradas de pista y 2 de grada, y redúcelo. b) Calcula ese precio si la de pista cuesta 45 €.

Ver solución
a) $6x - 30$ € b) 240 €
a) $4x + 2(x - 15) = 4x + 2x - 30 = 6x - 30$ . b) $6 \cdot 45 - 30 = 240$ €. Comprobación: $4 \cdot 45 + 2 \cdot 30 = 180 + 60 = 240$ ✔. (Precios inventados.)
2. Media
Una madre tiene 28 años más que su hijo, que tiene $x$ años. Escribe: a) la edad de la madre; b) las edades de los dos hace 5 años; c) la suma de sus edades dentro de 10 años.

Ver solución
a) $x + 28$ b) $x - 5$ y $x + 23$ c) $2x + 48$
b) Hijo: $x - 5$ ; madre: $x + 28 - 5 = x + 23$ . c) $(x + 10) + (x + 38) = 2x + 48$ .
3. Media
Se reparten 120 € entre tres personas: B recibe el doble que A y C recibe el resto. a) Si A recibe $x$ €, expresa lo que reciben B y C. b) Calcula lo que recibe cada una si A recibe 25 €.

Ver solución
a) B: $2x$ ; C: $120 - 3x$ b) A: 25 €, B: 50 €, C: 45 €
a) C recibe lo que queda: $120 - (x + 2x) = 120 - 3x$ . b) $B = 50$ , $C = 120 - 75 = 45$ ; $25 + 50 + 45 = 120$ ✔.