Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

← U4 · Polinomios y fracciones algebraicas

Matemáticas 3.º ESO · Expresiones algebraicas y polinomios: repaso

Ampliación: paréntesis, números consecutivos, pares e impares

Objetivo: Al terminar, sabrás traducir enunciados con paréntesis y varias operaciones y expresar números consecutivos, pares e impares, usándolos para demostrar propiedades sencillas.

Explicación

Expresiones con paréntesis

Cuando una operación afecta al resultado de otra, ese resultado va entre paréntesis. Compara:

Enunciado	Expresión
El doble de un número, más 7	$2x + 7$
El doble de la suma de un número y 7	$2(x + 7)$
La diferencia entre el cuadrado de un número y 1	$x^2 - 1$
El cuadrado de la diferencia entre un número y 1	$(x - 1)^2$
La mitad de la suma de un número y 6	$\dfrac{x + 6}{2}$

Truco: la última operación que nombra el enunciado («el doble de…», «el cuadrado de…») es la que se hace al final y abarca todo lo demás.

También ayuda pensarlo como un programa de cálculo, con los pasos en orden: «suma 4 y multiplica por 3» es $3(x + 4)$ , porque primero se suma; «multiplica por 3 y suma 4» es $3x + 4$ . Si pruebas con $x = 5$ , el primero da 27 y el segundo 19: no son lo mismo.

Números consecutivos, pares e impares

Si $x$ es un número entero:

Consecutivos: $x$ , $x + 1$ , $x + 2$ … El anterior es $x - 1$ .
Par: $2x$ (cualquier múltiplo de 2). Impar: $2x + 1$ (o $2x - 1$ ).
Pares consecutivos: $2x$ , $2x + 2$ , $2x + 4$ … Impares consecutivos: $2x + 1$ , $2x + 3$ , $2x + 5$ …
Múltiplo de 3: $3x$ ; en general, un múltiplo de $k$ es $k \cdot x$ .

Con estas expresiones se pueden demostrar propiedades que valen para todos los números, no solo para algunos ejemplos.

Puntos clave

«El doble de la suma» → $2(x + \ldots)$ ; «la suma del doble» → $2x + \ldots$
Consecutivos: $x$ , $x + 1$ , $x + 2$ . Anterior: $x - 1$ .
Par: $2x$ . Impar: $2x + 1$ . Dos pares (o dos impares) consecutivos se diferencian en 2.
Una expresión del tipo $k \cdot (\ldots)$ con $k$ entero indica un múltiplo de $k$ .
En un programa de cálculo, lo que se hace primero va entre paréntesis si después se multiplica, se divide o se eleva al cuadrado.

Errores frecuentes

ErrorEscribir dos pares consecutivos como $2x$ y $2x + 1$ .
Cómo corregirlo $2x + 1$ es impar. El par siguiente a $2x$ es $2x + 2$ .
ErrorEscribir $x^2 - 1$ para «el cuadrado de la diferencia entre un número y 1».
Cómo corregirloPrimero la diferencia, $x - 1$ , y luego su cuadrado: $(x - 1)^2$ .
ErrorEscribir tres impares consecutivos como $x$ , $x + 1$ , $x + 2$ .
Cómo corregirloEso son consecutivos cualesquiera. Para impares, usa $2x + 1$ , $2x + 3$ , $2x + 5$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La suma de tres consecutivos razonamiento
a) Escribe la suma de tres números consecutivos y redúcela. b) Demuestra que esa suma es siempre múltiplo de 3. c) Si el del medio es 41, ¿cuánto vale la suma?

Resolución
a) Los números son $x$ , $x + 1$ y $x + 2$ : $\;x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3$ .

b) $3x + 3 = 3(x + 1)$ : es 3 por un número entero, luego es múltiplo de 3. Además, $x + 1$ es el número del medio: la suma de tres consecutivos es el triple del central.

c) $3 \cdot 41 = 123$ . Comprobación: $40 + 41 + 42 = 123$ ✔.
Ejemplo 2. Pares e impares numérico (con comprobación)
a) Escribe la expresión de un número impar y comprueba que da impares para $x = 0, 1, 2, 3$ . b) Escribe la suma de dos impares consecutivos. ¿De qué número es siempre múltiplo?

Resolución
a) Impar: $2x + 1$ . Para $x = 0, 1, 2, 3$ da $1, 3, 5, 7$ ✔.

b) $(2x + 1) + (2x + 3) = 4x + 4 = 4(x + 1)$ : siempre es múltiplo de 4. Por ejemplo, $7 + 9 = 16$ y $11 + 13 = 24$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Escribe en lenguaje algebraico: a) El doble de la suma de un número y 7. b) La suma del doble de un número y 7. c) El cuadrado de la diferencia entre un número y 1. d) La diferencia entre el cuadrado de un número y 1. e) La mitad de la suma de un número y 6.

Ver solución
a) $2(x + 7)$ b) $2x + 7$ c) $(x - 1)^2$ d) $x^2 - 1$ e) $\dfrac{x + 6}{2}$
En a), c) y e) la última operación nombrada («el doble de», «el cuadrado de», «la mitad de») afecta a toda la suma o diferencia: paréntesis o raya de fracción que lo abarque todo.
2. Media
Escribe y reduce: a) la suma de cuatro números consecutivos; b) la suma de tres números pares consecutivos; c) la suma de dos números impares consecutivos.

Ver solución
a) $4x + 6$ b) $6x + 6$ c) $4x + 4$
a) $x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 4x + 6$ . b) $2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 6x + 6$ . c) $(2x + 1) + (2x + 3) = 4x + 4$ .
3. Media
Escribe con palabras: a) $3(x - 2)$ b) $x^2 + (x + 1)^2$ c) $2x + (2x + 2)$ d) $\dfrac{x + 4}{2}$

Ver solución
a) El triple de la diferencia entre un número y 2. b) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos. c) La suma de dos números pares consecutivos. d) La mitad de la suma de un número y 4.
Hay otras redacciones válidas; lo importante es que el orden de las operaciones quede claro (por ejemplo, en a) no vale «el triple de un número menos 2», que sería $3x - 2$ ).

Para practicar más

1. Fácil
Escribe en lenguaje algebraico: a) El triple de un número menos su mitad (redúcelo). b) El cuadrado de la suma de un número y 3. c) La suma de un número y su consecutivo, multiplicada por 5.

Ver solución
a) $3x - \dfrac{x}{2} = \dfrac{5x}{2}$ b) $(x + 3)^2$ c) $5(2x + 1)$
a) $3x - \dfrac{x}{2} = \dfrac{6x}{2} - \dfrac{x}{2} = \dfrac{5x}{2}$ . b) Primero la suma, luego el cuadrado. c) $x + (x + 1) = 2x + 1$ ; por 5: $5(2x + 1)$ .
2. Media
a) Escribe el producto de un número entero por su siguiente. b) Si $2x$ es un número par, ¿cómo se escriben el impar anterior y el impar siguiente? c) Escribe la suma de cinco números consecutivos si el del medio es $x$ , y redúcela.

Ver solución
a) $x(x + 1)$ b) $2x - 1$ y $2x + 1$ c) $5x$
c) Los números son $x - 2$ , $x - 1$ , $x$ , $x + 1$ , $x + 2$ ; al sumar, los números sueltos se anulan: $5x$ . Por ejemplo, $8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 50 = 5 \cdot 10$ .
3. Difícil
Demuestra que la suma de tres números impares consecutivos es siempre un número impar. Compruébalo con $7 + 9 + 11$ .

Ver solución
$6x + 9 = 2(3x + 4) + 1$ , que es impar; $7 + 9 + 11 = 27$ .
$(2x + 1) + (2x + 3) + (2x + 5) = 6x + 9 = 6x + 8 + 1 = 2(3x + 4) + 1$ : un par más 1, impar. Con $x = 3$ : $6 \cdot 3 + 9 = 27 = 7 + 9 + 11$ ✔.