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Matemáticas 3.º ESO · Expresiones algebraicas y polinomios: repaso

Ampliación: traducir e interpretar expresiones en contextos geométricos y de precios

Objetivo: Al terminar, sabrás traducir enunciados encadenados y de contexto geométrico (áreas, volúmenes) y de precios con descuentos, e interpretar qué representa una expresión dada.

Explicación

Enunciados encadenados

En los problemas reales las expresiones se construyen paso a paso: primero las cantidades sencillas y luego las que dependen de ellas.

Áreas y volúmenes. Para una figura compuesta, descomponla en figuras conocidas y suma (o resta) sus áreas. Por ejemplo, un rectángulo de $x$ por $x + 4$ al que se le quita un cuadrado de lado 2 tiene área $x(x + 4) - 2^2 = x^2 + 4x - 4$ .

Precios con descuentos y subidas. Un descuento del 20 % deja el precio en el 80 %: $0{,}8x$ . Una subida del 10 % lo lleva al 110 %: $1{,}1x$ . Si se aplican varios, se multiplican los factores: un 20 % y después otro 10 % de descuento dan $0{,}9 \cdot 0{,}8x = 0{,}72x$ , es decir, un 28 % (no un 30 %).

Interpretar una expresión

También hay que saber hacer el camino inverso: dado un contexto, ¿qué significa cada parte de una expresión? Por ejemplo, si un rectángulo tiene base $x$ y altura $x + 3$ :

$2x + 2(x + 3)$ es su perímetro;
$x(x + 3)$ es su área;
$x + (x + 3)$ es la suma de la base y la altura (medio perímetro).

Ojo con $x^2$ y $2x$ : $x^2$ es el área de un cuadrado de lado $x$ ; $2x$ es el doble de $x$ . Solo coinciden para $x = 0$ y $x = 2$ .

Comprueba tu expresión con un número

Antes de dar por buena una expresión, prueba con un valor sencillo de la letra y mira si el resultado tiene sentido en el contexto. Por ejemplo, si una camiseta de $x$ € se rebaja un 15 % y escribes $x - 15$ , prueba con $x = 40$ : el 15 % de 40 € es 6 €, así que debería costar 34 €, pero tu expresión da 25 €. La correcta es $x - 0{,}15x = 0{,}85x$ , y $0{,}85 \cdot 40 = 34$ ✔.

Si te sale un precio negativo, una longitud absurda o un resultado distinto del que obtienes razonando con números, revisa la expresión.

Puntos clave

Construye las expresiones paso a paso: primero las medidas, luego áreas o precios.
Figura compuesta: suma o resta áreas de figuras conocidas.
Descuento del $p$ %: multiplicar por $1 - \frac{p}{100}$ ; subida del $p$ %: por $1 + \frac{p}{100}$ . Varios cambios: se multiplican.
Interpretar una expresión es decir qué representa cada término en el contexto.
Comprueba cada expresión con un valor sencillo de la letra: el resultado debe tener sentido en el contexto.

Errores frecuentes

ErrorSumar los porcentajes de dos descuentos seguidos (20 % + 10 % = 30 %).
Cómo corregirloEl segundo descuento se aplica sobre el precio ya rebajado: $0{,}9 \cdot 0{,}8 = 0{,}72$ , un 28 % en total.
ErrorConfundir $x^2$ con $2x$ al expresar el área de un cuadrado.
Cómo corregirloÁrea del cuadrado = lado · lado = $x \cdot x = x^2$ . Comprueba con un número: si el lado mide 5, el área es 25, no 10.
ErrorPensar que al quitar una esquina cuadrada a un rectángulo el perímetro disminuye.
Cómo corregirloLos dos lados que se pierden se sustituyen por otros dos de la misma longitud: el perímetro no cambia (el área sí).
ErrorTraducir «un 15 % menos» como $x - 15$ .
Cómo corregirloEl 15 % depende del precio: es $0{,}15x$ . El precio rebajado es $x - 0{,}15x = 0{,}85x$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una terraza en forma de L geométrico
Una terraza tiene forma de L: es un rectángulo de $x$ m de ancho y $(x + 4)$ m de largo al que le falta, en una esquina, un cuadrado de 2 m de lado. a) Escribe su área. b) Escribe su perímetro. c) Calcula ambos si $x = 6$ m.

Resolución
a) Área del rectángulo menos área del cuadrado: $A = x(x + 4) - 2 \cdot 2 = x^2 + 4x - 4$ m².

b) Al recortar la esquina se pierden 2 m de un lado y 2 m del otro, pero aparecen dos lados nuevos de 2 m: el perímetro es el del rectángulo, $P = 2x + 2(x + 4) = 4x + 8$ m.

c) Con $x = 6$ : $A = 36 + 24 - 4 = 56$ m² (o $6 \cdot 10 - 4 = 56$ ✔); $P = 4 \cdot 6 + 8 = 32$ m.
Ejemplo 2. Rebajas encadenadas precios (situación real)
Unas zapatillas cuestan $x$ €. En rebajas tienen un 30 % de descuento y, al pagar, te hacen otro 10 % sobre el precio rebajado. a) Escribe el precio final. b) ¿Qué descuento total supone? c) Si las zapatillas costaban 80 €, ¿cuánto pagas?

Resolución
a) Tras el 30 %: $0{,}7x$ . Tras el 10 %: $0{,}9 \cdot 0{,}7x = 0{,}63x$ €.

b) Pagas el 63 % del precio: el descuento total es del 37 %, no del 40 %.

c) $0{,}63 \cdot 80 = 50{,}40$ €.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Un rectángulo tiene base $x$ y altura $x - 2$ . Explica qué representa cada expresión: a) $2x + 2(x - 2)$ b) $x(x - 2)$ c) $x + (x - 2)$ d) $x - (x - 2)$

Ver solución
a) Perímetro. b) Área. c) Base más altura (medio perímetro). d) Cuánto mide la base más que la altura (2).
d) $x - (x - 2) = 2$ : la base mide siempre 2 unidades más que la altura.
2. Media
Laura dice que el área de un cuadrado de lado $x$ es $2x$ . a) Explica su error. b) Busca un valor de $x$ para el que su fórmula dé el resultado correcto por casualidad y otro para el que no.

Ver solución
a) El área es $x^2$ . b) Coinciden para $x = 2$ ( $4 = 4$ ); no coinciden, por ejemplo, para $x = 3$ ( $9 \neq 6$ ).
a) Área = lado · lado = $x^2$ ; $2x$ sería sumar dos lados. b) $2^2 = 4$ y $2 \cdot 2 = 4$ ; en cambio, $3^2 = 9$ y $2 \cdot 3 = 6$ .
3. Media
Una caja de cartón tiene base cuadrada de lado $x$ cm y su altura es 5 cm menor que el lado de la base. Escribe: a) su volumen; b) el área de sus cuatro caras laterales. c) Calcula ambos si $x = 12$ cm.

Ver solución
a) $x^2(x - 5)$ cm³ b) $4x(x - 5)$ cm² c) 1008 cm³ y 336 cm²
a) Área de la base por altura: $x^2 \cdot (x - 5)$ . b) Cuatro rectángulos de $x$ por $x - 5$ : $4x(x - 5)$ . c) $144 \cdot 7 = 1008$ cm³; $4 \cdot 12 \cdot 7 = 336$ cm².

Para practicar más

1. Media
Una ventana tiene forma de rectángulo de base $2x$ m y altura $3x$ m, rematado por arriba con un semicírculo de diámetro $2x$ m. a) Escribe su área. b) Calcúlala para $x = 0{,}5$ m (redondea a centésimas).

Ver solución
a) $6x^2 + \dfrac{\pi x^2}{2}$ m² b) $\approx 1{,}89$ m²
a) Rectángulo: $2x \cdot 3x = 6x^2$ . Semicírculo de radio $x$ : $\dfrac{\pi x^2}{2}$ . b) $6 \cdot 0{,}25 + \dfrac{\pi \cdot 0{,}25}{2} = 1{,}5 + 0{,}39 \approx 1{,}89$ m².
2. Media
Un móvil cuesta $x$ €. Su precio sube un 10 % y, unos meses después, baja un 10 %. a) Escribe el precio final. b) ¿Vuelve al precio inicial? c) Calcula el precio final si el móvil costaba 300 €.

Ver solución
a) $0{,}99x$ € b) No: queda un 1 % más barato. c) 297 €
a) $0{,}9 \cdot 1{,}1x = 0{,}99x$ . b) La bajada del 10 % se calcula sobre un precio mayor. c) $0{,}99 \cdot 300 = 297$ €.
3. Difícil
Para una excursión a Toledo, un instituto calcula el precio por alumno con la expresión $\dfrac{300 + 8n}{n}$ , donde $n$ es el número de alumnos que van. a) Explica qué pueden representar 300, $8n$ y la división entre $n$ . b) ¿Cuánto paga cada alumno si van 25? c) ¿Paga más o menos cada alumno si van más alumnos?

Ver solución
a) 300 €: alquiler del autobús; $8n$ : una entrada de 8 € por alumno; dividir entre $n$ : repartir el total. b) 20 €. c) Menos.
b) $\dfrac{300 + 200}{25} = 20$ €. c) Las entradas cuestan siempre 8 € a cada uno, pero el autobús se reparte entre más: con 50 alumnos, $\dfrac{300 + 400}{50} = 14$ €.