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Matemáticas 3.º ESO · Expresiones algebraicas y polinomios: repaso

Recuerda: elementos y valor numérico de una expresión algebraica

Objetivo: Al terminar, sabrás reconocer coeficiente, parte literal y grado de un monomio y calcular el valor numérico de expresiones sencillas sustituyendo la letra por números enteros con la jerarquía de operaciones.

Recuerda

Expresiones algebraicas

En el lenguaje algebraico usamos letras para representar números que no conocemos o que pueden cambiar. Una expresión algebraica combina números y letras con operaciones: $3x + 2$ , $\;2a - b$ , $\;b \cdot a$ …

Entre un número y una letra (o entre dos letras) el punto de multiplicar no se escribe: $3x$ significa $3 \cdot x$ y $ab$ significa $a \cdot b$ .

La expresión algebraica más sencilla es el monomio: un número multiplicado por letras con exponente natural.

En el monomio $-4x^3$ :

coeficiente: $-4$ (el número);
parte literal: $x^3$ (las letras con sus exponentes);
grado: 3 (la suma de los exponentes de las letras).

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal: $5x^2$ y $-x^2$ son semejantes; $5x^2$ y $5x$ , no.

Un polinomio es una suma de monomios no semejantes, por ejemplo $P(x) = 2x^3 - x + 6$ . Su grado es el mayor de los grados de sus términos (aquí, 3) y el término independiente es el que no lleva letra (aquí, 6).

Valor numérico

El valor numérico de una expresión para $x = a$ es el número que se obtiene al sustituir $x$ por $a$ y operar con la jerarquía: paréntesis, potencias, multiplicaciones y divisiones, sumas y restas. Si la expresión se llama $P(x)$ , su valor numérico para $x = a$ se escribe $P(a)$ .

Se hace en tres pasos:

Escribe la expresión con los puntos de multiplicar: $3x + 2 = 3 \cdot x + 2$ .
Cambia cada letra por su número, entre paréntesis: para $x = 4$ , $3 \cdot (4) + 2$ .
Opera con la jerarquía: $12 + 2 = 14$ .

Si hay varias letras, a cada una le toca su número: $2a - b$ para $a = 6$ y $b = 3$ vale $2 \cdot (6) - (3) = 9$ .

Sustituye siempre con paréntesis, sobre todo si el número es negativo: $P(x) = 2x^3 - x + 6 \;\Rightarrow\; P(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - (-1) + 6 = -2 + 1 + 6 = 5$

Puntos clave

Entre número y letra no se escribe el punto de multiplicar: $3x = 3 \cdot x$ .
Monomio: coeficiente · parte literal. Grado = suma de los exponentes de las letras.
Monomios semejantes: misma parte literal.
Grado de un polinomio: el mayor grado de sus términos. Término independiente: el que no tiene letra.
Valor numérico: sustituir la letra (entre paréntesis) y operar con la jerarquía de operaciones.

Errores frecuentes

ErrorPara $x = 4$ , escribir que $3x$ vale $34$ .
Cómo corregirlo $3x$ es $3 \cdot x$ : escribe el punto al sustituir, $3 \cdot (4) = 12$ .
ErrorCalcular $-x^2$ para $x = -3$ y obtener $9$ .
Cómo corregirloLa potencia va antes que el signo menos de delante: $-x^2 = -(-3)^2 = -9$ .
ErrorSustituir sin paréntesis: para $x = -2$ , escribir $3x = 3 - 2$ .
Cómo corregirlo $3x$ es $3 \cdot x$ : $3 \cdot (-2) = -6$ . Escribe siempre el número sustituido entre paréntesis.
ErrorDecir que $3x^2$ y $3x$ son semejantes porque tienen el mismo coeficiente.
Cómo corregirloLo que tiene que coincidir es la parte literal, con el mismo exponente: $3x^2$ y $-x^2$ sí son semejantes.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Valor numérico de un polinomio numérico
Dado $P(x) = 2x^2 - 5x + 1$ , calcula $P(3)$ y $P(-2)$ .

Resolución
$P(3) = 2 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 + 1 = 2 \cdot 9 - 15 + 1 = 18 - 15 + 1 = 4$

$P(-2) = 2 \cdot (-2)^2 - 5 \cdot (-2) + 1 = 2 \cdot 4 + 10 + 1 = 19$

Fíjate: $(-2)^2 = 4$ es positivo, y $-5 \cdot (-2) = +10$ .

Ejemplo 2. Patinetes eléctricos de alquiler tabla de valores (situación real)

Una empresa de patinetes eléctricos de Madrid cobra 1 € por desbloquear el patinete y 0,20 € por cada minuto de uso. a) Escribe el coste $C$ de un viaje de $t$ minutos. b) Completa la tabla para 5, 10, 15 y 20 minutos.

Resolución

a) $C = 1 + 0{,}2t$ euros.

b) Sustituimos cada valor de $t$ :

$t$ (min)	5	10	15	20
$C$ (€)	$1 + 0{,}2 \cdot 5 = 2$	$1 + 0{,}2 \cdot 10 = 3$	$1 + 0{,}2 \cdot 15 = 4$	$1 + 0{,}2 \cdot 20 = 5$

Cada 5 minutos más, el viaje cuesta 1 € más.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
a) Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de: $-7x^2$ , $\;x^5$ , $\;4ab^2$ . b) ¿Cuáles de estos monomios son semejantes a $3x^2$ ? $\;-x^2$ , $\;3x$ , $\;\dfrac{1}{2}x^2$ , $\;3x^3$ .

Ver solución
a) $-7$ , $x^2$ , grado 2; $1$ , $x^5$ , grado 5; $4$ , $ab^2$ , grado 3. b) $-x^2$ y $\dfrac{1}{2}x^2$ .
a) En $x^5$ el coeficiente es 1 (no se escribe). En $4ab^2$ el grado es $1 + 2 = 3$ . b) Son semejantes los que tienen parte literal $x^2$ : $-x^2$ y $\dfrac{1}{2}x^2$ .
2. Fácil
Calcula el valor numérico: a) $3x - 5$ para $x = -2$ . b) $x^2 - 4x$ para $x = -3$ . c) $-x^2 + 2x$ para $x = -1$ .

Ver solución
a) $-11$ b) $21$ c) $-3$
a) $3 \cdot (-2) - 5 = -6 - 5 = -11$ . b) $(-3)^2 - 4 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21$ . c) $-(-1)^2 + 2 \cdot (-1) = -1 - 2 = -3$ .
3. Media
¿Cuál de estas expresiones vale 10 cuando $x = 3$ ? $\;2x + 3$ , $\;x^2 + 1$ , $\;4x - 3$ , $\;5x - 4$ .

Ver solución
$x^2 + 1$
$2 \cdot 3 + 3 = 9$ ; $3^2 + 1 = 10$ ; $4 \cdot 3 - 3 = 9$ ; $5 \cdot 3 - 4 = 11$ . Solo $x^2 + 1$ vale 10.

Para practicar más

1. Fácil
Dado $P(x) = 4x^3 - x^2 + 7$ : a) indica su grado, su término independiente y el coeficiente del término de mayor grado; b) calcula $P(-1)$ y $P(2)$ .

Ver solución
a) Grado 3; término independiente 7; coeficiente 4. b) $P(-1) = 2$ ; $P(2) = 35$
b) $P(-1) = 4 \cdot (-1)^3 - (-1)^2 + 7 = -4 - 1 + 7 = 2$ . $P(2) = 4 \cdot 8 - 4 + 7 = 35$ .
2. Fácil
Completa la tabla de valores de $x^2 - 3$ :

$x$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$

$x^2 - 3$

¿Qué observas en los resultados para $x$ y $-x$ ?

Ver solución
$1, -2, -3, -2, 1$ . Para $x$ y $-x$ sale lo mismo.
$(-2)^2 - 3 = 1$ ; $(-1)^2 - 3 = -2$ ; $0 - 3 = -3$ ; $1 - 3 = -2$ ; $4 - 3 = 1$ . Como un número y su opuesto tienen el mismo cuadrado, los valores se repiten.
3. Media
Se quiere poner un borde de baldosas alrededor de un patio cuadrado. Si en cada lado del borde caben $n$ baldosas, el número total de baldosas del borde es $4n - 4$ (las de las esquinas no se cuentan dos veces). ¿Cuántas baldosas hacen falta para $n = 5$ , $n = 10$ y $n = 25$ ?

Ver solución
16, 36 y 96 baldosas
$4 \cdot 5 - 4 = 16$ ; $4 \cdot 10 - 4 = 36$ ; $4 \cdot 25 - 4 = 96$ . Comprobación para $n = 5$ : 5 arriba, 5 abajo y 3 en cada lado vertical: $5 + 5 + 3 + 3 = 16$ ✔.