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Matemáticas 3.º ESO · Expresiones algebraicas y polinomios: repaso

Ampliación: valor numérico con fracciones, potencias y fórmulas

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular valores numéricos con fracciones, potencias y varias letras, y aplicar fórmulas de áreas, volúmenes y física.

Explicación

Valor numérico con fracciones, potencias y varias letras

Se sigue el mismo método: sustituir cada letra por su valor, entre paréntesis, y operar con la jerarquía (paréntesis, potencias, multiplicaciones y divisiones, sumas y restas).

Varias letras: cada letra se sustituye por su valor. Para $x = -2$ , $y = 5$ : $\;x^2y - 3xy = (-2)^2 \cdot 5 - 3 \cdot (-2) \cdot 5 = 20 + 30 = 50$ .
Fracciones: la potencia afecta al numerador y al denominador: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$ . Por ejemplo, para $x = \dfrac{1}{2}$ : $\;x^2 - x = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}$ .

Fórmulas

Una fórmula es una expresión algebraica que relaciona magnitudes. Calcular con ella es hallar un valor numérico:

Fórmula	Significado
$A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}$	Área del trapecio (bases $B$ y $b$ , altura $h$ )
$V = \pi r^2 h$	Volumen del cilindro
$V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$	Volumen del cono
$d = v \cdot t$	Distancia recorrida a velocidad constante
$F = 1{,}8\,C + 32$	Temperatura en grados Fahrenheit a partir de grados Celsius

Antes de sustituir, comprueba que las unidades son coherentes (por ejemplo, km/h con horas). Si el resultado lleva $\pi$ , da el valor exacto o una aproximación indicando el redondeo.

Tablas de valores

Cuando hay que calcular el valor numérico para varios valores de la letra, se organiza en una tabla de valores. Así se ve cómo cambia la expresión y se pueden representar los pares (valor de la letra, valor de la expresión) como puntos en unos ejes. Por ejemplo, para $3x - 2$ :

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$3x - 2$	$-5$	$-2$	$1$	$4$

Puntos clave

Sustituye cada letra por su valor entre paréntesis.
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ y $(-a)^2 = a^2$ .
Una fórmula es una expresión algebraica: usarla es calcular un valor numérico.
Unidades coherentes antes de sustituir; resultados con $\pi$ : exactos o aproximados con su redondeo.
Para varios valores de la letra, organiza los resultados en una tabla de valores; los pares se pueden representar como puntos.

Errores frecuentes

ErrorCalcular $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2$ como $\dfrac{4}{3}$ o $\dfrac{2}{9}$ .
Cómo corregirloSe elevan numerador y denominador: $\dfrac{2^2}{3^2} = \dfrac{4}{9}$ .
ErrorEn el área del trapecio, hacer $B + b \cdot h$ sin paréntesis.
Cómo corregirloPrimero se suman las bases, $(B + b)$ , luego se multiplica por $h$ y se divide entre 2.
ErrorMultiplicar km/h por minutos.
Cómo corregirloPasa los minutos a horas (divide entre 60) o la velocidad a km/min.
ErrorCalcular $(-2a)^3$ para $a = -1$ como $-2 \cdot (-1)^3 = 2$ .
Cómo corregirloEl exponente afecta a todo el paréntesis: $(-2a)^3 = (-2 \cdot (-1))^3 = 2^3 = 8$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dos letras y una fracción numérico
Calcula el valor numérico de $2a^2b - 3ab$ para $a = -1$ , $b = \dfrac{1}{2}$ .

Resolución
$2 \cdot (-1)^2 \cdot \frac{1}{2} - 3 \cdot (-1) \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$
Ejemplo 2. La fachada de una caseta fórmula geométrica
La fachada de una caseta de jardín tiene forma de trapecio: la base mayor mide 4,2 m, la menor 2,6 m y la altura 1,5 m. ¿Cuánta superficie hay que pintar?

Resolución
$A = \frac{(B + b) \cdot h}{2} = \frac{(4{,}2 + 2{,}6) \cdot 1{,}5}{2} = \frac{6{,}8 \cdot 1{,}5}{2} = \frac{10{,}2}{2} = 5{,}1\ \text{m}^2$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula: a) $3x^2 - x$ para $x = \dfrac{2}{3}$ b) $x^3 - 2x$ para $x = -2$ c) $(a - b)^2$ para $a = 3$ , $b = -2$

Ver solución
a) $\dfrac{2}{3}$ b) $-4$ c) $25$
a) $3 \cdot \dfrac{4}{9} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}$ . b) $(-2)^3 - 2 \cdot (-2) = -8 + 4 = -4$ . c) $(3 - (-2))^2 = 5^2 = 25$ .
2. Fácil
Para pasar de grados Celsius a Fahrenheit se usa $F = 1{,}8\,C + 32$ . Calcula en °F: a) una tarde de agosto en Madrid a 38 °C; b) una madrugada de enero a −4 °C.

Ver solución
a) 100,4 °F b) 24,8 °F
a) $1{,}8 \cdot 38 + 32 = 68{,}4 + 32 = 100{,}4$ °F. b) $1{,}8 \cdot (-4) + 32 = -7{,}2 + 32 = 24{,}8$ °F.
3. Media
Una lata de refresco tiene forma aproximadamente cilíndrica, con radio 3,3 cm y altura 11,5 cm. Calcula su volumen con $V = \pi r^2 h$ (redondea a unidades).

Ver solución
$V \approx 393$ cm³
$V = \pi \cdot 3{,}3^2 \cdot 11{,}5 = \pi \cdot 10{,}89 \cdot 11{,}5 = 125{,}235\,\pi \approx 393$ cm³.

Para practicar más

1. Media
Calcula: a) $5xy - 2x^2y$ para $x = -2$ , $y = 3$ b) $\dfrac{x + y}{x - y}$ para $x = \dfrac{1}{2}$ , $y = -\dfrac{1}{4}$

Ver solución
a) $-54$ b) $\dfrac{1}{3}$
a) $5 \cdot (-2) \cdot 3 - 2 \cdot 4 \cdot 3 = -30 - 24 = -54$ . b) $x + y = \dfrac{1}{4}$ , $x - y = \dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{1/4}{3/4} = \dfrac{1}{3}$ .
2. Fácil
Un patinador recorre Madrid Río a 12 km/h constantes durante 25 minutos. ¿Qué distancia recorre? Usa $d = v \cdot t$ .

Ver solución
5 km
$t = 25$ min $= \dfrac{25}{60}$ h $= \dfrac{5}{12}$ h. $d = 12 \cdot \dfrac{5}{12} = 5$ km.
3. Media
Un cucurucho de helado tiene forma de cono de 6 cm de radio y 10 cm de altura. Calcula su volumen con $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$ : da el valor exacto y una aproximación redondeada a unidades.

Ver solución
$120\pi$ cm³ $\approx 377$ cm³
$V = \dfrac{\pi \cdot 6^2 \cdot 10}{3} = \dfrac{360\pi}{3} = 120\pi \approx 376{,}99 \approx 377$ cm³.