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Matemáticas 3.º ESO · Proporcionalidad simple y compuesta

Problemas de proporcionalidad: divisas, escalas, velocidades y recetas

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver problemas de proporcionalidad simple directa e inversa con cambios de divisas, escalas, velocidades y recetas.

Explicación

Problemas de proporcionalidad simple en la vida diaria

En todos estos problemas hay dos magnitudes. Lo primero es decidir si son directamente proporcionales (cociente constante) o inversamente proporcionales (producto constante) y después usar la reducción a la unidad o una regla de tres.

Cambio de divisas

El tipo de cambio dice cuántas unidades de otra moneda dan por 1 €. Euros y moneda extranjera son directamente proporcionales:

De euros a otra moneda: se multiplica por el tipo de cambio.
De otra moneda a euros: se divide entre el tipo de cambio.

(El tipo de cambio varía cada día; en los problemas usamos valores aproximados.)

Escalas

Una escala $1 : n$ significa que 1 cm del plano son $n$ cm de la realidad. Medidas del plano y medidas reales son directamente proporcionales: $\text{medida real} = \text{medida en el plano} \cdot n \qquad \text{medida en el plano} = \frac{\text{medida real}}{n}$ Trabaja en centímetros y pasa al final a metros o kilómetros.

Velocidad y tiempo

Para recorrer la misma distancia, la velocidad y el tiempo son inversamente proporcionales: $v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2$ (el producto es la distancia).

Recetas

Las cantidades de los ingredientes son directamente proporcionales al número de personas (o de raciones). Calcula lo que corresponde a 1 persona y multiplica.

Puntos clave

Divisas: de euros a otra moneda se multiplica por el tipo de cambio; al revés, se divide.
Escala $1:n$ : medida real = medida en el plano $\cdot\, n$ (en las mismas unidades).
Misma distancia: velocidad y tiempo son inversamente proporcionales.
Recetas: reducción a la unidad (cantidad para 1 persona).

Errores frecuentes

ErrorMezclar unidades en las escalas (multiplicar centímetros del plano y dar el resultado en metros sin convertir).
Cómo corregirloMultiplica en centímetros y después divide entre 100 (m) o entre 100 000 (km).
ErrorMultiplicar por el tipo de cambio cuando se pasa de moneda extranjera a euros.
Cómo corregirloPiensa qué moneda «vale más»: si 1 € son 1,08 dólares, un precio en dólares es un número mayor que el mismo precio en euros.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Viaje de estudios a Londres situación real (divisas)
Para un viaje a Londres, Marta cambia 250 € a libras esterlinas. El tipo de cambio es, aproximadamente, 1 € = 0,85 £. a) ¿Cuántas libras recibe? b) En una tienda de recuerdos, una sudadera cuesta 34 £. ¿Cuánto es en euros?

Resolución
Euros y libras son directamente proporcionales.

a) De euros a libras se multiplica: $250 \cdot 0{,}85 = 212{,}50$ £.

b) De libras a euros se divide: $34 : 0{,}85 = 40$ €.

Con regla de tres: $\dfrac{1}{x} = \dfrac{0{,}85}{34} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{34}{0{,}85} = 40$ €.
Ejemplo 2. Un paseo por el plano del barrio numérico (escalas)
En un plano del centro de Madrid a escala 1 : 15 000, la distancia entre la Puerta del Sol y la Plaza de España mide 6,8 cm. a) ¿Cuál es la distancia real? b) Si dos puntos están a 1,2 km en la realidad, ¿a qué distancia están en el plano?

Resolución
a) $6{,}8 \cdot 15\,000 = 102\,000$ cm $= 1020$ m, aproximadamente 1 km.

b) $1{,}2$ km $= 120\,000$ cm; en el plano: $120\,000 : 15\,000 = 8$ cm.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Antes de viajar a Nueva York, Pablo cambia 300 € a dólares a un cambio aproximado de 1 € = 1,08 dólares. a) ¿Cuántos dólares recibe? b) Una gorra cuesta 27 dólares. ¿Cuánto cuesta en euros?

Ver solución
a) 324 dólares b) 25 €
a) $300 \cdot 1{,}08 = 324$ dólares. b) $27 : 1{,}08 = 25$ €.
2. Fácil
En un mapa de carreteras a escala 1 : 200 000, dos pueblos de la sierra de Madrid están separados 9,5 cm. ¿A qué distancia real están (en línea recta)?

Ver solución
19 km
$9{,}5 \cdot 200\,000 = 1\,900\,000$ cm $= 19$ km.
3. Media
Un tren de alta velocidad hace un trayecto en 1 h 40 min a una velocidad media de 240 km/h. ¿Cuánto tardaría si su velocidad media fuese de 200 km/h?

Ver solución
2 h
Misma distancia: inversa. $1$ h $40$ min $= 100$ min. $240 \cdot 100 = 200 \cdot t \;\Rightarrow\; t = \dfrac{24\,000}{200} = 120$ min $= 2$ h.

Para practicar más

1. Fácil
Una receta de bizcocho para 6 personas lleva 250 g de harina, 180 g de azúcar y 3 huevos. ¿Qué cantidades hacen falta para 8 personas?

Ver solución
Unos 333 g de harina, 240 g de azúcar y 4 huevos
Directa. Multiplicamos cada cantidad por $\dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$ : harina $250 \cdot \dfrac{4}{3} = 333{,}\overline{3} \approx 333$ g; azúcar $180 \cdot \dfrac{4}{3} = 240$ g; huevos $3 \cdot \dfrac{4}{3} = 4$ .
2. Fácil
Para la clase de Tecnología se construye una maqueta del aula a escala 1 : 50. El aula mide 8 m de largo y 6,5 m de ancho. ¿Qué medidas tiene la maqueta?

Ver solución
16 cm × 13 cm
$8$ m $= 800$ cm $\to 800 : 50 = 16$ cm. $6{,}5$ m $= 650$ cm $\to 650 : 50 = 13$ cm.
3. Fácil
En un viaje a Japón el cambio es, aproximadamente, 1 € = 160 ¥ (yenes). a) Un plato de ramen cuesta 1200 ¥. ¿Cuánto es en euros? b) ¿Cuántos yenes dan por 150 €?

Ver solución
a) 7,50 € b) 24 000 ¥
a) $1200 : 160 = 7{,}5$ €. b) $150 \cdot 160 = 24\,000$ ¥.