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Matemáticas 3.º ESO · Proporcionalidad simple y compuesta

Problemas de proporcionalidad de varios pasos. ¿Es proporcional?

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver problemas de proporcionalidad de varios pasos o con datos que sobran y valorar si el modelo proporcional es adecuado.

Explicación

Problemas de varios pasos

Muchos problemas reales encadenan varias proporcionalidades o traen datos que no hacen falta. Para no perderse:

Lee el enunciado entero y escribe qué te preguntan.
Selecciona los datos útiles. Tacha los que no intervienen (la marca del coche, la hora de apertura…).
Divide el problema en pasos. En cada paso hay dos magnitudes: decide si son directa o inversamente proporcionales y resuélvelo.
Comprueba que el resultado final es razonable (orden de magnitud, unidades).

¿Es realmente proporcional?

Un modelo proporcional es una simplificación. Antes de usarlo, piensa si tiene sentido:

El cansancio o los límites: un velocista no mantiene su velocidad en una carrera larga.
Tareas que no se pueden dividir: si más personas no pueden trabajar a la vez en lo mismo, el tiempo no se reduce.
Tareas que se hacen a la vez: si un horno cuece varias cosas al mismo tiempo, el tiempo no se multiplica.
Magnitudes que crecen de otra forma: el área de un círculo no es proporcional a su diámetro (si el diámetro se duplica, el área se multiplica por 4).

Si el modelo no es válido, dilo y explica por qué; si es aproximado, da el resultado como estimación.

Puntos clave

Separa los datos útiles de los que sobran antes de operar.
Un problema largo se resuelve con varias proporcionalidades simples encadenadas.
Pregúntate siempre si la relación es de verdad proporcional y en qué rango de valores.
Si el doble de diámetro (o de lado) da cuatro veces más área, no hay proporcionalidad directa con el diámetro.

Errores frecuentes

ErrorUsar todos los números del enunciado aunque no hagan falta.
Cómo corregirloAntes de calcular, escribe qué magnitudes intervienen en la pregunta y quédate solo con sus datos.
ErrorAplicar una regla de tres sin pensar si la situación es proporcional (por ejemplo, el tiempo de horno de 3 pizzas que caben a la vez).
Cómo corregirloPregúntate: «¿si duplico una magnitud, la otra se duplica (o se reduce a la mitad) de verdad?».

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La furgoneta de reparto situación real (varios pasos y datos que sobran)
Una empresa de reparto de Getafe tiene una furgoneta de 5 años, con 2 repartidores y una carga máxima de 1200 kg. La furgoneta gasta 9 litros de gasóleo cada 100 km y recorre 120 km al día, 22 días al mes. Si el gasóleo cuesta, aproximadamente, 1,45 €/L, ¿cuánto se gasta al mes en combustible?

Resolución
Datos que no hacen falta: la antigüedad, los repartidores y la carga máxima.
1. Kilómetros al mes (directa con los días): $120 \cdot 22 = 2640$ km.
2. Litros (directa con los km): $\dfrac{100}{9} = \dfrac{2640}{x} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{9 \cdot 2640}{100} = 237{,}6$ L.
3. Coste (directa con los litros): $237{,}6 \cdot 1{,}45 = 344{,}52$ €.
Se gastan unos 344,52 € al mes (es una estimación: el consumo real depende del tráfico).
Ejemplo 2. ¿Puzles y pizzas proporcionales? crítica del modelo
Comenta si estos razonamientos son correctos:

a) «Si una persona tarda 2 horas en montar un puzle de 500 piezas, 120 personas lo montan en 1 minuto». b) «Si en un horno se cuece una pizza en 12 minutos, tres pizzas tardan 36 minutos» (en el horno caben las tres a la vez).

Resolución
a) La regla de tres inversa da $\dfrac{2 \cdot 60}{120} = 1$ min, pero el modelo no sirve: 120 personas no caben alrededor de un puzle ni pueden colocar piezas a la vez. La proporcionalidad inversa solo vale para pocas personas, y aun así de forma aproximada.

b) No es correcto: si caben a la vez, las tres pizzas se cuecen al mismo tiempo, en unos 12 min. El tiempo no es proporcional al número de pizzas mientras quepan en el horno.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
En una tienda de la calle Fuencarral, que abre a las 10:00 y tiene 3 dependientes, 4 camisetas iguales cuestan 46 €. ¿Cuánto cuestan 7 camisetas?

Ver solución
80,50 €
Sobran la hora de apertura y los dependientes. Una camiseta: $46 : 4 = 11{,}50$ €; siete: $7 \cdot 11{,}50 = 80{,}50$ €.
2. Media
En un mapa a escala 1 : 50 000, una ruta de senderismo por La Pedriza mide 18 cm. Si caminas a una media de 4,5 km/h, ¿cuánto tardas en hacerla?
Ver solución
2 h
1. Distancia real: $18 \cdot 50\,000 = 900\,000$ cm $= 9$ km. 2. Tiempo: $t = \dfrac{9}{4{,}5} = 2$ h.
3. Media
Un velocista corre 100 m en 10 s. Su amigo dice: «Entonces correrá 1 km en 100 s». ¿Qué le contestarías? (Dato: el récord mundial de 1000 m es de algo más de 2 minutos.)

Ver solución
El modelo no es válido: no se puede mantener esa velocidad 1 km.
La regla de tres directa da $10 \cdot 10 = 100$ s, es decir, 1 min 40 s. Pero un velocista no puede mantener su velocidad máxima durante 1 km: se cansa. Ni siquiera el récord mundial baja de 2 minutos, así que la distancia y el tiempo no son proporcionales en este caso.

Para practicar más

1. Media
La impresora 3D del instituto gasta 15 g de filamento en 40 minutos de impresión. La bobina, de color azul, tiene 1 kg y cuesta 22 €. Una pieza tarda 2 h 40 min en imprimirse. ¿Cuántos gramos de filamento usa y cuánto cuesta el material?

Ver solución
60 g; 1,32 €
Sobra el color. $2$ h $40$ min $= 160$ min. Filamento (directa): $15 \cdot \dfrac{160}{40} = 60$ g. Coste: 1 g cuesta $22 : 1000 = 0{,}022$ €; $60 \cdot 0{,}022 = 1{,}32$ €.
2. Fácil
Para el viaje de fin de curso, de 3 días con hotel a 45 € por noche, el autocar se paga a partes iguales. Si van 25 alumnos, cada uno paga 36 € de autocar. Si al final van 30 alumnos, ¿cuánto paga cada uno por el autocar?

Ver solución
30 €
Sobran los días y el hotel. Inversa: $25 \cdot 36 = 900$ € cuesta el autocar; $900 : 30 = 30$ € cada uno.
3. Difícil
Una pizzería vende la pizza de 30 cm de diámetro a 10 €. ¿Sería justo vender la de 60 cm a 20 €? Calcula qué precio le correspondería si el precio fuese proporcional a la cantidad de pizza (al área).

Ver solución
No; le correspondería 40 €.
Si el diámetro se duplica, el área se multiplica por $2^2 = 4$ : $\dfrac{\pi \cdot 30^2}{\pi \cdot 15^2} = 4$ . La pizza grande tiene 4 veces más masa, así que, con precio proporcional al área, costaría $4 \cdot 10 = 40$ €. El precio no es proporcional al diámetro.