Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

← U3 · Proporcionalidad, porcentajes y matemática financiera

Matemáticas 3.º ESO · Proporcionalidad simple y compuesta

Recuerda: proporcionalidad directa e inversa

Objetivo: Al terminar, sabrás distinguir si dos magnitudes son directa o inversamente proporcionales (o ninguna de las dos) y resolver problemas sencillos de proporcionalidad simple.

Recuerda

¿Directa, inversa o ninguna?

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por el mismo número. El cociente entre sus valores es constante: $\frac{y}{x} = k$ Ejemplo: kilos de fruta y precio que pagas.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda dividida por ese número. El producto de sus valores es constante: $x \cdot y = k$ Ejemplo: velocidad de un autobús y tiempo que tarda en hacer un trayecto.

Si no pasa ninguna de las dos cosas, las magnitudes no son proporcionales (por ejemplo, la edad y la altura de una persona).

Cómo resolver un problema de proporcionalidad simple

Escribe las dos magnitudes y sus valores en una tabla.
Pregúntate: «si una se hace el doble, ¿la otra se hace el doble (directa), la mitad (inversa) o ninguna de las dos?».
Resuelve por reducción a la unidad (calcula cuánto corresponde a 1) o con una regla de tres. Si en la tabla la primera fila es $a$ , $b$ y la segunda es $c$ , $x$ :

	Directa	Inversa
Planteamiento	$\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{x}$	$a \cdot b = c \cdot x$
Incógnita	$x = \dfrac{b \cdot c}{a}$	$x = \dfrac{a \cdot b}{c}$

Comprueba que el resultado tiene sentido: en la directa, si una magnitud aumenta la otra también; en la inversa, si una aumenta la otra disminuye.

Puntos clave

Directa: el cociente $y/x$ es constante (más → más, en la misma proporción).
Inversa: el producto $x \cdot y$ es constante (más → menos, en la misma proporción).
Que una magnitud aumente cuando la otra aumenta no basta: tiene que hacerlo en la misma proporción.
Reducción a la unidad: calcula primero lo que corresponde a 1 y luego multiplica (directa) o divide (inversa).

Errores frecuentes

ErrorPensar que «si una sube y la otra también, son directamente proporcionales» (edad y altura, lado y área de un cuadrado).
Cómo corregirloComprueba con la tabla: al doble de una magnitud le tiene que corresponder el doble de la otra.
ErrorPlantear una regla de tres directa cuando la relación es inversa (por ejemplo, a más velocidad, más tiempo).
Cómo corregirloAntes de operar, decide el tipo de relación y comprueba al final que el resultado tiene sentido.
ErrorResolver con una regla de tres un problema en el que las magnitudes no son proporcionales (por ejemplo, la edad y el peso de un bebé).
Cómo corregirloAntes de calcular, pregúntate si al doble de una le corresponde el doble (o la mitad) de la otra. Si no es así, la regla de tres no sirve.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Naranjas en el mercado numérico (directa, reducción a la unidad)
En una frutería de Lavapiés, 3 kg de naranjas cuestan 4,20 €. ¿Cuánto cuestan 5 kg?

Resolución
Kilos y precio son directamente proporcionales: el doble de kilos cuesta el doble.

Reducción a la unidad: $1$ kg cuesta $4{,}20 : 3 = 1{,}40$ €.

Por tanto, 5 kg cuestan $5 \cdot 1{,}40 = 7$ €.

Con regla de tres: $\dfrac{3}{5} = \dfrac{4{,}20}{x} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{4{,}20 \cdot 5}{3} = 7$ €.
Ejemplo 2. El autobús de la excursión a Segovia situación real (inversa)
Un autobús de excursión va de Madrid a Segovia a una velocidad media de 80 km/h y tarda 1,5 h. ¿Cuánto tardaría si fuese a 60 km/h de media?

Resolución
Velocidad y tiempo (para el mismo trayecto) son inversamente proporcionales: a menos velocidad, más tiempo, en la misma proporción.

El producto es constante: $80 \cdot 1{,}5 = 60 \cdot x \;\Rightarrow\; x = \dfrac{80 \cdot 1{,}5}{60} = 2$ h.

Tiene sentido: va más despacio y tarda más. (El producto, $80 \cdot 1{,}5 = 120$ km, es la distancia del trayecto.)

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Indica si las magnitudes son directamente proporcionales, inversamente proporcionales o ninguna de las dos:

a) Número de entradas de cine que compras y precio total. b) Número de amigos que se reparten una pizza a partes iguales y trozo que le toca a cada uno. c) Edad de una persona y su altura. d) Lado de un cuadrado y su perímetro. e) Lado de un cuadrado y su área.

Ver solución
a) Directa. b) Inversa. c) Ninguna. d) Directa. e) Ninguna.
a) El doble de entradas cuesta el doble: directa. b) El doble de amigos toca a la mitad: inversa. c) Con el doble de edad no se tiene el doble de altura: ninguna. d) $P = 4 \cdot l$ : el cociente $P/l = 4$ es constante: directa. e) $A = l^2$ : si el lado se duplica, el área se multiplica por 4: ninguna (aumenta, pero no en la misma proporción).
2. Fácil
Una impresora del instituto imprime 45 páginas en 3 minutos. ¿Cuántas páginas imprime en 8 minutos?

Ver solución
120 páginas
Directa. En 1 min imprime $45 : 3 = 15$ páginas; en 8 min, $8 \cdot 15 = 120$ páginas.
3. Media
Entre 12 amigos compran un regalo de cumpleaños y cada uno pone 5 €. Si se apuntan 3 amigos más, ¿cuánto pone cada uno?

Ver solución
4 €
Inversa (más amigos, menos dinero cada uno). El regalo cuesta $12 \cdot 5 = 60$ €; entre 15 amigos, $60 : 15 = 4$ € cada uno.

Para practicar más

1. Fácil
Un coche gasta 6,4 litros de gasolina cada 100 km. ¿Cuántos litros gasta en un viaje de 350 km?

Ver solución
22,4 L
Directa. $\dfrac{100}{350} = \dfrac{6{,}4}{x} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{6{,}4 \cdot 350}{100} = 22{,}4$ L.
2. Media
Una bomba que extrae 12 litros por minuto vacía una piscina hinchable en 25 minutos. ¿Cuánto tardaría una bomba que extrae 15 litros por minuto?

Ver solución
20 min
Inversa (más caudal, menos tiempo). $12 \cdot 25 = 15 \cdot x \;\Rightarrow\; x = \dfrac{300}{15} = 20$ min.
3. Fácil
Una receta de tortilla de patatas para 4 personas lleva 6 huevos. ¿Cuántos huevos hacen falta para 10 personas? ¿Y si un día solo sois 6?

Ver solución
15 huevos; 9 huevos
Directa. Por persona: $6 : 4 = 1{,}5$ huevos. Para 10 personas: $10 \cdot 1{,}5 = 15$ huevos; para 6 personas: $6 \cdot 1{,}5 = 9$ huevos.