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Matemáticas 3.º ESO · Proporcionalidad simple y compuesta

Recuerda: precio de una mezcla y problemas de móviles

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular el precio medio de una mezcla y resolver problemas sencillos de móviles con velocidad constante.

Recuerda

Problemas de mezclas

Precio de una mezcla

Cuando se mezclan productos de distinto precio, el precio medio de la mezcla (por kg o por litro) es: $\text{precio de la mezcla} = \frac{\text{coste total}}{\text{cantidad total}} = \frac{c_1 \cdot p_1 + c_2 \cdot p_2 + \ldots}{c_1 + c_2 + \ldots}$ donde $c_1, c_2, \ldots$ son las cantidades y $p_1, p_2, \ldots$ sus precios. Es una media ponderada: el precio de la mezcla está siempre entre el más barato y el más caro, y más cerca del producto del que hay más cantidad.

Organiza los datos en una tabla:

Producto	Cantidad	Precio	Coste
A	$c_1$	$p_1$	$c_1 \cdot p_1$
B	$c_2$	$p_2$	$c_2 \cdot p_2$
Mezcla	$c_1 + c_2$	?	suma

Una vez conocido el precio por kg (o por litro) de la mezcla, el coste de cualquier cantidad es directamente proporcional a esa cantidad. Si el vendedor quiere ganar dinero, al precio de la mezcla le suma la ganancia por kg (o por litro).

Problemas de móviles

Velocidad constante

Si un móvil va a velocidad constante, la distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo: $d = v \cdot t \qquad v = \frac{d}{t} \qquad t = \frac{d}{v}$

Usa unidades coherentes: km, h y km/h, o m, s y m/s.
Para pasar de km/h a m/s se divide entre 3,6; de m/s a km/h se multiplica por 3,6.
Para pasar horas decimales a minutos, multiplica la parte decimal por 60: 1,25 h = 1 h 15 min. Y al revés: 20 min = $\dfrac{20}{60}$ h $= \dfrac{1}{3}$ h.

Velocidad media de un recorrido con varios tramos

Si un móvil hace tramos a distintas velocidades, su velocidad media es: $v_{\text{media}} = \frac{\text{distancia total}}{\text{tiempo total}}$ Igual que en las mezclas, no es la media de las velocidades: pesa más el tramo en el que se pasa más tiempo.

Gráfica distancia-tiempo

Con velocidad constante, la gráfica distancia-tiempo es una recta; cuanto más inclinada, más rápido va el móvil. Un tramo horizontal significa que está parado (pasa el tiempo y la distancia no cambia).

Puntos clave

Precio de la mezcla = coste total : cantidad total (no la media de los precios).
El precio de la mezcla queda entre el más barato y el más caro.
Móviles: $d = v \cdot t$ con unidades coherentes; de km/h a m/s se divide entre 3,6.
Velocidad media = distancia total : tiempo total (no la media de las velocidades).
Para pasar horas decimales a minutos, multiplica la parte decimal por 60.

Errores frecuentes

ErrorCalcular la media de los precios sin tener en cuenta las cantidades: $(12 + 17) : 2 = 14{,}50$ €/kg.
Cómo corregirloMultiplica cada precio por su cantidad, suma los costes y divide entre la cantidad total.
ErrorEscribir 1,25 h como 1 h 25 min.
Cómo corregirlo0,25 h son $0{,}25 \cdot 60 = 15$ min: 1,25 h = 1 h 15 min.
ErrorCalcular la velocidad media de un viaje como la media de las velocidades de los tramos.
Cómo corregirloCalcula el tiempo de cada tramo, súmalos y divide la distancia total entre el tiempo total.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Mezcla de café en un tostadero numérico (tabla de mezcla)
Un tostadero de café mezcla 3 kg de café de Colombia a 12 €/kg con 2 kg de café de Etiopía a 17 €/kg. ¿A qué precio debe vender el kilo de mezcla para no ganar ni perder?

Resolución

Café Cantidad (kg) Precio (€/kg) Coste (€)

Colombia 3 12 36

Etiopía 2 17 34

Mezcla 5 ? 70

Precio de la mezcla: $\dfrac{70}{5} = 14$ €/kg.

Comprobación: 14 está entre 12 y 17 y más cerca de 12, porque hay más café de Colombia.
Ejemplo 2. En bici a Navacerrada situación real (móviles)
Un ciclista sale de Collado Villalba hacia el puerto de Navacerrada, a unos 20 km, y sube a una velocidad media de 16 km/h. ¿Cuánto tarda? Si sale a las 10:15, ¿a qué hora llega?

Resolución
$t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{20}{16} = 1{,}25$ h.

$0{,}25$ h $= 0{,}25 \cdot 60 = 15$ min, así que tarda 1 h 15 min y llega a las 11:30.

Café	Cantidad (kg)	Precio (€/kg)	Coste (€)
Colombia	3	12	36
Etiopía	2	17	34
Mezcla	5	?	70

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una tienda de frutos secos prepara una bolsa mezclando 2 kg de almendras a 11 €/kg, 3 kg de nueces a 8,50 €/kg y 1 kg de pasas a 5 €/kg. ¿Cuál es el precio del kilo de mezcla?

Ver solución
8,75 €/kg
Coste: $2 \cdot 11 + 3 \cdot 8{,}50 + 1 \cdot 5 = 22 + 25{,}50 + 5 = 52{,}50$ €. Cantidad: $6$ kg. Precio: $52{,}50 : 6 = 8{,}75$ €/kg.
2. Fácil
Un tren sale de Madrid a las 9:40 y recorre 150 km a una velocidad media de 120 km/h. ¿A qué hora llega?

Ver solución
A las 10:55
$t = \dfrac{150}{120} = 1{,}25$ h $= 1$ h $15$ min. $9{:}40 + 1{:}15 = 10{:}55$ .
3. Media
Una almazara mezcla 20 litros de aceite de oliva a 4,80 €/L con 30 litros de otro aceite a 3,90 €/L. ¿A cuánto sale el litro de mezcla?

Ver solución
4,26 €/L
Coste: $20 \cdot 4{,}80 + 30 \cdot 3{,}90 = 96 + 117 = 213$ €. Precio: $213 : 50 = 4{,}26$ €/L.

Para practicar más

1. Fácil
En una tienda de golosinas a granel se mezclan 0,6 kg de gominolas a 9 €/kg con 0,4 kg de caramelos a 14 €/kg. ¿Cuál es el precio del kilo de mezcla?

Ver solución
11 €/kg
Coste: $0{,}6 \cdot 9 + 0{,}4 \cdot 14 = 5{,}40 + 5{,}60 = 11$ €. Cantidad: $1$ kg. Precio: $11$ €/kg.
2. Media
Una corredora hace 10 km en 50 minutos a ritmo constante. a) ¿Cuál es su velocidad en km/h? b) Si mantuviese ese ritmo, ¿cuánto tardaría en correr una media maratón (21,1 km)?

Ver solución
a) 12 km/h b) 105,5 min = 1 h 45 min 30 s
a) $50$ min $= \dfrac{5}{6}$ h; $v = 10 : \dfrac{5}{6} = 12$ km/h. b) $t = \dfrac{21{,}1}{12}$ h $= 21{,}1 \cdot 5 = 105{,}5$ min $= 1$ h $45$ min $30$ s.
3. Media
Una tienda de tés mezcla 250 g de té verde a 32 €/kg con 750 g de té negro a 20 €/kg. ¿Cuánto cuestan 100 g de la mezcla?

Ver solución
2,30 €
Coste: $0{,}25 \cdot 32 + 0{,}75 \cdot 20 = 8 + 15 = 23$ € por 1 kg de mezcla, es decir, 23 €/kg. 100 g cuestan $23 : 10 = 2{,}30$ €.