Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

← U3 · Proporcionalidad, porcentajes y matemática financiera

Matemáticas 3.º ESO · Regla de tres compuesta. Repartos proporcionales

Repartos inversamente proporcionales

Objetivo: Al terminar, sabrás repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a dos o tres números, usando sus inversos.

Explicación

Repartos inversamente proporcionales

Repartir una cantidad $C$ en partes inversamente proporcionales a unos números $a$ , $b$ , $c$ significa que a quien le corresponde un número mayor recibe menos. Se usa, por ejemplo, para premiar a quien tiene menos faltas o para dar más a quien está más cerca.

Las partes $x$ , $y$ , $z$ cumplen que el producto de cada parte por su número es constante: $x \cdot a = y \cdot b = z \cdot c = k \qquad \text{y} \qquad x + y + z = C$

Como $x = \dfrac{k}{a}$ , repartir inversamente a $a$ , $b$ , $c$ es lo mismo que repartir directamente proporcional a sus inversos $\dfrac{1}{a}, \dfrac{1}{b}, \dfrac{1}{c}$ .

Pasos

Escribe los inversos y súmalos: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$ .
Calcula la constante: $k = \frac{C}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}}$
Cada parte es $k$ dividido entre su número: $x = \dfrac{k}{a}$ , $y = \dfrac{k}{b}$ , $z = \dfrac{k}{c}$ .
Comprueba: las partes suman $C$ y al número mayor le corresponde la parte menor.

Con solo dos números

Repartir inversamente proporcional a $a$ y $b$ es lo mismo que repartir directamente proporcional a $b$ y $a$ (cambiados de orden). Por ejemplo, 100 € inversamente a 10 y 15 es lo mismo que directamente a 15 y 10: $60$ € y $40$ €.

Puntos clave

Inversamente proporcional: a número mayor, parte menor.
El producto parte · número es constante ( $k$ ).
$k$ = cantidad : (suma de los inversos); cada parte = $k$ : su número.
Con dos números, basta con repartir directamente a los números cambiados de orden.

Errores frecuentes

ErrorRepartir directamente a los números (dar más a quien tiene más faltas).
Cómo corregirloComprueba al final: al número mayor le tiene que corresponder la parte menor.
ErrorDividir la cantidad entre la suma de los números ( $a + b + c$ ) como en el reparto directo.
Cómo corregirloEn el reparto inverso se suman los inversos: $\tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b} + \tfrac{1}{c}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Premio a la asistencia situación real (faltas)
Un ayuntamiento reparte 1800 € en premios a la asistencia entre tres alumnos, de forma inversamente proporcional a sus faltas durante el curso: 2, 3 y 6 faltas. ¿Cuánto recibe cada uno?

Resolución
1. Inversos: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = 1$ .
2. $k = \dfrac{1800}{1} = 1800$ .
3. Partes: $\dfrac{1800}{2} = 900$ €; $\dfrac{1800}{3} = 600$ €; $\dfrac{1800}{6} = 300$ €.
4. Comprobación: $900 + 600 + 300 = 1800$ ✔, y quien tiene más faltas recibe menos. Además, $900 \cdot 2 = 600 \cdot 3 = 300 \cdot 6 = 1800$ .
Ejemplo 2. Horas de polideportivo situación real (distancias)
El polideportivo municipal reparte 380 horas de uso al año entre tres colegios, de forma inversamente proporcional a su distancia al polideportivo: 2 km, 4 km y 5 km. ¿Cuántas horas le tocan a cada colegio?

Resolución
1. Inversos: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{10}{20} + \dfrac{5}{20} + \dfrac{4}{20} = \dfrac{19}{20}$ .
2. $k = 380 : \dfrac{19}{20} = \dfrac{380 \cdot 20}{19} = 400$ .
3. Partes: $\dfrac{400}{2} = 200$ h; $\dfrac{400}{4} = 100$ h; $\dfrac{400}{5} = 80$ h.
4. Comprobación: $200 + 100 + 80 = 380$ h. ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Reparte 140 caramelos entre dos niños de forma inversamente proporcional a 3 y 4.

Ver solución
80 y 60 caramelos
$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{12}$ ; $k = 140 : \dfrac{7}{12} = 240$ . Partes: $\dfrac{240}{3} = 80$ y $\dfrac{240}{4} = 60$ . (O bien: directamente a 4 y 3.)
2. Fácil
Una carrera popular por la Casa de Campo reparte 1100 € entre los tres primeros clasificados, de forma inversamente proporcional al puesto de llegada (1, 2 y 3). ¿Cuánto recibe cada uno?

Ver solución
600 €, 300 € y 200 €
$1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{11}{6}$ ; $k = 1100 : \dfrac{11}{6} = 600$ . Partes: $600$ , $\dfrac{600}{2} = 300$ y $\dfrac{600}{3} = 200$ € (suman 1100 ✔).
3. Media
Una empresa reparte una paga de 2700 € entre tres empleados de forma inversamente proporcional al número de retrasos que han tenido en el año: 3, 4 y 6. ¿Cuánto recibe cada uno?

Ver solución
1200 €, 900 € y 600 €
$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{4 + 3 + 2}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$ ; $k = 2700 : \dfrac{3}{4} = 3600$ . Partes: $\dfrac{3600}{3} = 1200$ , $\dfrac{3600}{4} = 900$ y $\dfrac{3600}{6} = 600$ €.
4. Media
Una comunidad de regantes reparte 5400 litros de agua al día entre tres huertos, de forma inversamente proporcional a su distancia al pozo: 100 m, 150 m y 300 m. ¿Cuántos litros recibe cada huerto?

Ver solución
2700 L, 1800 L y 900 L
$\dfrac{1}{100} + \dfrac{1}{150} + \dfrac{1}{300} = \dfrac{3 + 2 + 1}{300} = \dfrac{1}{50}$ ; $k = 5400 \cdot 50 = 270\,000$ . Partes: $\dfrac{270\,000}{100} = 2700$ L, $\dfrac{270\,000}{150} = 1800$ L y $\dfrac{270\,000}{300} = 900$ L.
5. Difícil
Reparte 120 € entre dos hermanos de 4 y 8 años: a) de forma directamente proporcional a sus edades; b) de forma inversamente proporcional. ¿Qué observas?

Ver solución
a) 40 € y 80 € b) 80 € y 40 €
a) $k = \dfrac{120}{12} = 10$ : $40$ € y $80$ €. b) Inversamente a 4 y 8 = directamente a 8 y 4: $80$ € y $40$ €. Con dos números, el reparto inverso intercambia las partes del directo.

Para practicar más

1. Fácil
Reparte 450 € de forma inversamente proporcional a 2 y 3.

Ver solución
270 € y 180 €
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$ ; $k = 450 : \dfrac{5}{6} = 540$ . Partes: $270$ y $180$ €.
2. Media
Un padre reparte 1350 € entre sus tres hijos de forma inversamente proporcional a sus edades: 6, 8 y 12 años. ¿Cuánto recibe cada uno?

Ver solución
600 €, 450 € y 300 €
$\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{4 + 3 + 2}{24} = \dfrac{3}{8}$ ; $k = 1350 : \dfrac{3}{8} = 3600$ . Partes: $600$ , $450$ y $300$ €.
3. Media
Un festival de teatro juvenil reparte 360 entradas gratuitas entre tres institutos, de forma inversamente proporcional a su distancia al teatro: 4 km, 6 km y 12 km. ¿Cuántas entradas recibe cada instituto?

Ver solución
180, 120 y 60 entradas
$\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{3 + 2 + 1}{12} = \dfrac{1}{2}$ ; $k = 720$ . Partes: $180$ , $120$ y $60$ entradas.
4. Media
Luis tiene que repartir 90 € de forma inversamente proporcional a 2 y 3, y da 36 € y 54 €. ¿Es correcto? Si no lo es, corrígelo.

Ver solución
No; lo correcto es 54 € y 36 €.
Luis ha hecho un reparto directo ( $k = 90 : 5 = 18$ ; $36$ y $54$ ): al número mayor le da más. Inverso: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$ ; $k = 108$ ; partes $54$ € y $36$ €. Comprobación: $54 \cdot 2 = 36 \cdot 3 = 108$ .

Explicación

Repartos inversamente proporcionales

Pasos

Con solo dos números

Puntos clave

Errores frecuentes

Ejemplos resueltos

Ejercicios

Para practicar más

¿Cómo te ha ido con esta lección?