Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

← U3 · Proporcionalidad, porcentajes y matemática financiera

Matemáticas 3.º ESO · Regla de tres compuesta. Repartos proporcionales

Repartos inversamente proporcionales reduciendo a común denominador

Objetivo: Al terminar, sabrás hacer repartos inversamente proporcionales con números no sencillos reduciendo los inversos a común denominador.

Explicación

Reparto inverso reduciendo a común denominador

Repartir una cantidad de forma inversamente proporcional a $a$ , $b$ , $c$ es lo mismo que repartirla de forma directamente proporcional a sus inversos $\dfrac{1}{a}, \dfrac{1}{b}, \dfrac{1}{c}$ . Para no trabajar con fracciones durante todo el problema:

Escribe los inversos de los números.
Redúcelos a común denominador (el m.c.m. de los denominadores).
Quédate con los numeradores: son números enteros que guardan la misma proporción que los inversos.
Haz un reparto directo a esos numeradores: $k = \dfrac{C}{\text{suma de numeradores}}$ y cada parte es $k$ por su numerador.
Comprueba: las partes suman $C$ y el producto parte · número es el mismo para todos.

Ejemplo: inversamente a 4, 6 y 10 → inversos $\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{10}$ → con denominador 60: $\dfrac{15}{60}, \dfrac{10}{60}, \dfrac{6}{60}$ → reparto directo a $15$ , $10$ y $6$ .

Si los números son decimales, su inverso también se puede escribir como fracción: $\dfrac{1}{1{,}5} = \dfrac{1}{3/2} = \dfrac{2}{3}$ .

Puntos clave

Inverso a $a, b, c$ = directo a $\tfrac{1}{a}, \tfrac{1}{b}, \tfrac{1}{c}$ .
Reduce los inversos a común denominador y reparte según los numeradores.
El m.c.m. de los números da el denominador común más cómodo.
Comprobación: parte · número es constante.

Errores frecuentes

ErrorRepartir según los números del enunciado en lugar de según los numeradores de sus inversos.
Cómo corregirloLos numeradores salen al revés: el número menor tiene el numerador mayor.
ErrorEquivocarse al reducir a común denominador.
Cómo corregirloDivide el m.c.m. entre cada número: $60 : 4 = 15$ , $60 : 6 = 10$ , $60 : 10 = 6$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Concurso de problemas situación real (común denominador)
En un concurso de problemas de matemáticas, el instituto reparte 3100 € en premios entre los tres finalistas, de forma inversamente proporcional al tiempo que tardaron en resolver el problema final: 4, 6 y 10 minutos. ¿Cuánto recibe cada uno?

Resolución
1. Inversos: $\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{10}$ .
2. m.c.m. $(4, 6, 10) = 60$ : $\dfrac{15}{60}, \dfrac{10}{60}, \dfrac{6}{60}$ .
3. Reparto directo a $15$ , $10$ y $6$ : $k = \dfrac{3100}{15 + 10 + 6} = \dfrac{3100}{31} = 100$ .
4. Partes: $15 \cdot 100 = 1500$ €; $10 \cdot 100 = 1000$ €; $6 \cdot 100 = 600$ €.
5. Comprobación: suman 3100 € y $1500 \cdot 4 = 1000 \cdot 6 = 600 \cdot 10 = 6000$ . ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Reparte 1050 € en partes inversamente proporcionales a 3, 5 y 6.

Ver solución
500 €, 300 € y 250 €
m.c.m. = 30: $\dfrac{10}{30}, \dfrac{6}{30}, \dfrac{5}{30}$ . Según $10, 6, 5$ : $k = \dfrac{1050}{21} = 50$ . Partes: $500$ , $300$ y $250$ €.
2. Media
Una empresa de reparto da una paga de 2300 € a tres repartidores, de forma inversamente proporcional al número de incidencias que han tenido: 4, 5 y 8. ¿Cuánto recibe cada uno?

Ver solución
1000 €, 800 € y 500 €
m.c.m. = 40: $\dfrac{10}{40}, \dfrac{8}{40}, \dfrac{5}{40}$ . Según $10, 8, 5$ : $k = \dfrac{2300}{23} = 100$ . Partes: $1000$ , $800$ y $500$ €.
3. Difícil
Reparte 940 € en partes inversamente proporcionales a 1,5; 2 y 2,5.

Ver solución
400 €, 300 € y 240 €
Inversos: $\dfrac{1}{1{,}5} = \dfrac{2}{3}$ , $\dfrac{1}{2}$ , $\dfrac{1}{2{,}5} = \dfrac{2}{5}$ . m.c.m. = 30: $\dfrac{20}{30}, \dfrac{15}{30}, \dfrac{12}{30}$ . Según $20, 15, 12$ : $k = \dfrac{940}{47} = 20$ . Partes: $400$ , $300$ y $240$ €.

Para practicar más

1. Fácil
Reparte 1650 € en partes inversamente proporcionales a 2, 5 y 8.

Ver solución
1000 €, 400 € y 250 €
m.c.m. = 40: $\dfrac{20}{40}, \dfrac{8}{40}, \dfrac{5}{40}$ . Según $20, 8, 5$ : $k = \dfrac{1650}{33} = 50$ . Partes: $1000$ , $400$ y $250$ €.
2. Media
Una ONG reparte 3900 kg de alimentos entre tres barrios, de forma inversamente proporcional al número de bancos de alimentos que ya tiene cada uno: 2, 3 y 4. ¿Cuántos kilos recibe cada barrio?

Ver solución
1800 kg, 1200 kg y 900 kg
m.c.m. = 12: $\dfrac{6}{12}, \dfrac{4}{12}, \dfrac{3}{12}$ . Según $6, 4, 3$ : $k = \dfrac{3900}{13} = 300$ . Partes: $1800$ , $1200$ y $900$ kg.
3. Media
Reparte 1500 € entre cuatro personas de forma inversamente proporcional a 2, 3, 4 y 6.

Ver solución
600 €, 400 €, 300 € y 200 €
m.c.m. = 12: $\dfrac{6}{12}, \dfrac{4}{12}, \dfrac{3}{12}, \dfrac{2}{12}$ . Según $6, 4, 3, 2$ : $k = \dfrac{1500}{15} = 100$ . Partes: $600$ , $400$ , $300$ y $200$ €.