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Matemáticas 3.º ESO · Regla de tres compuesta. Repartos proporcionales

Problemas de repartos: conocida una parte o una diferencia

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver problemas de repartos directamente proporcionales en los que se conoce una de las partes, la diferencia o la suma de algunas partes.

Explicación

Problemas «al revés» de repartos

En un reparto directamente proporcional a $a$ , $b$ , $c$ , cada parte es $k$ veces su número: $x = k \cdot a$ , $y = k \cdot b$ , $z = k \cdot c$ . Si conocemos algo más que el total, podemos hallar primero $k$ y después todo lo demás.

Si conocemos una de las partes

$k = \frac{\text{parte conocida}}{\text{su número}}$ Luego se calculan las demás partes ( $k$ por su número) y el total ( $k$ por la suma de los números).

Si conocemos la diferencia entre dos partes

La diferencia entre las partes de $a$ y $b$ es $k \cdot b - k \cdot a = k \cdot (b - a)$ , así que $k = \frac{\text{diferencia entre las partes}}{\text{diferencia entre sus números}}$

Si conocemos la suma de algunas partes

Del mismo modo: $k = \dfrac{\text{suma de esas partes}}{\text{suma de sus números}}$ .

En todos los casos, comprueba al final que las partes cumplen las condiciones del enunciado.

Puntos clave

La clave es hallar $k$ , lo que corresponde a «una parte».
Conocida una parte: $k$ = parte : su número.
Conocida una diferencia: $k$ = diferencia de partes : diferencia de números.
Total = $k$ · (suma de todos los números).

Errores frecuentes

ErrorDividir la diferencia entre las partes entre uno solo de los números.
Cómo corregirloLa diferencia de partes corresponde a la diferencia de números: divide entre $b - a$ .
ErrorDar solo $k$ o una parte cuando piden el total.
Cómo corregirloRelee la pregunta y calcula todo lo que se pide; comprueba con las condiciones del enunciado.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El aceite de la cooperativa situación real (conocida una parte)
Tres socios de una cooperativa de aceite de Morata de Tajuña reparten los beneficios de forma directamente proporcional a los olivos que aportan: 3, 5 y 7 (en centenares). Al primero le corresponden 1200 €. ¿Cuánto reciben los otros dos? ¿Cuál fue el beneficio total?

Resolución
Una parte conocida: $k = \dfrac{1200}{3} = 400$ € por cada centenar de olivos.
- Segundo: $5 \cdot 400 = 2000$ €.
- Tercero: $7 \cdot 400 = 2800$ €.
- Total: $(3 + 5 + 7) \cdot 400 = 15 \cdot 400 = 6000$ € (y $1200 + 2000 + 2800 = 6000$ ✔).
Ejemplo 2. Una diferencia entre primos numérico (conocida una diferencia)
Un premio se reparte entre dos primos de forma directamente proporcional a 4 y a 9. El segundo recibe 350 € más que el primero. ¿Cuánto recibe cada uno? ¿De cuánto era el premio?

Resolución
La diferencia de números es $9 - 4 = 5$ y corresponde a 350 €: $k = \dfrac{350}{5} = 70$ .
- Primero: $4 \cdot 70 = 280$ €. Segundo: $9 \cdot 70 = 630$ €.
- Premio: $280 + 630 = 910$ €.
Comprobación: $630 - 280 = 350$ . ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una cantidad se reparte de forma directamente proporcional a 2, 3 y 5. La parte mayor es de 750 €. Calcula las otras dos partes y la cantidad total.

Ver solución
300 €, 450 €; total 1500 €
La mayor corresponde a 5: $k = 750 : 5 = 150$ . Partes: $2 \cdot 150 = 300$ € y $3 \cdot 150 = 450$ €. Total: $10 \cdot 150 = 1500$ €.
2. Media
Dos hermanas se reparten un dinero de forma directamente proporcional a sus edades, 12 y 16 años. La mayor recibe 60 € más que la pequeña. ¿Cuánto recibe cada una?

Ver solución
180 € y 240 €
$k = \dfrac{60}{16 - 12} = 15$ . Pequeña: $12 \cdot 15 = 180$ €; mayor: $16 \cdot 15 = 240$ € (diferencia 60 ✔).
3. Media
Se reparte un premio de forma directamente proporcional a 3, 4 y 8. Las dos primeras partes suman 2100 €. Calcula las tres partes y el premio total.

Ver solución
900 €, 1200 €, 2400 €; total 4500 €
$k = \dfrac{2100}{3 + 4} = 300$ . Partes: $900$ , $1200$ y $2400$ €. Total: $15 \cdot 300 = 4500$ €.

Para practicar más

1. Fácil
Una cantidad se reparte de forma directamente proporcional a 5, 6 y 9. La parte menor es de 400 €. Calcula las otras partes y el total.

Ver solución
480 €, 720 €; total 1600 €
$k = 400 : 5 = 80$ . Partes: $6 \cdot 80 = 480$ € y $9 \cdot 80 = 720$ €. Total: $20 \cdot 80 = 1600$ €.
2. Media
Tres pueblos reciben una ayuda que se reparte de forma directamente proporcional a sus habitantes: 1500, 2500 y 4000. El tercero recibe 7500 € más que el primero. ¿Cuánto recibe cada pueblo? ¿Cuál fue la ayuda total?

Ver solución
4500 €, 7500 €, 12 000 €; total 24 000 €
$k = \dfrac{7500}{4000 - 1500} = 3$ € por habitante. Partes: $4500$ , $7500$ y $12\,000$ €. Total: $8000 \cdot 3 = 24\,000$ €.
3. Difícil
Se reparten 2400 € entre Alba y Bruno de forma directamente proporcional a 3 y a otro número. Alba recibe 900 €. ¿Cuál es ese otro número?

Ver solución
5
$k = 900 : 3 = 300$ . Bruno recibe $2400 - 900 = 1500$ €, y $1500 : 300 = 5$ .