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Matemáticas 3.º ESO · Regla de tres compuesta. Repartos proporcionales

Repartos mixtos y problemas de reparto justo

Objetivo: Al terminar, sabrás hacer repartos mixtos (directos a un criterio e inversos a otro), resolver repartos inversos conociendo una parte o una diferencia y argumentar qué reparto es más justo.

Explicación

Repartos mixtos

En un reparto mixto, cada parte es directamente proporcional a un criterio e inversamente proporcional a otro. Por ejemplo, una paga que crece con los años de antigüedad y disminuye con las faltas.

Cada parte es proporcional al cociente: $\text{número de cada uno} = \frac{\text{criterio directo}}{\text{criterio inverso}}$

Calcula esos cocientes (si son fracciones, redúcelas a común denominador y quédate con los numeradores).
Haz un reparto directo a esos números.
Comprueba que suman el total.

Problemas de reparto con condiciones

Como en los repartos directos, si conoces una parte, la diferencia o la suma de algunas partes, primero transforma el reparto inverso en uno directo (inversos a común denominador → numeradores) y después halla $k$ : $k = \frac{\text{dato conocido}}{\text{numerador (o diferencia, o suma de numeradores) correspondiente}}$

¿Qué reparto es más justo?

No hay una única respuesta: depende de qué se quiere premiar o compensar. Directo, inverso, mixto o por tramos son modelos distintos; lo importante es argumentar por qué se elige uno y comprobar que todos los implicados reciben lo que el modelo dice.

Puntos clave

Mixto: reparte directamente a (criterio directo : criterio inverso).
Reparto inverso con condiciones: pasa a numeradores enteros y halla $k$ con el dato conocido.
En un reparto inverso, al número menor le corresponde la parte mayor.
Elegir un reparto «justo» es decidir un modelo y argumentarlo.

Errores frecuentes

ErrorEn un reparto mixto, multiplicar los dos criterios.
Cómo corregirloSi un criterio es inverso, va dividiendo: directo : inverso.
ErrorEn los problemas inversos, usar los números del enunciado en vez de los numeradores de sus inversos.
Cómo corregirloPrimero transforma en reparto directo (inversos a común denominador) y después aplica la condición.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Paga por antigüedad y faltas numérico (reparto mixto)
Una empresa reparte 7200 € entre tres empleados, de forma directamente proporcional a sus años de antigüedad e inversamente proporcional a sus faltas: Alicia, 6 años y 2 faltas; Bernardo, 8 años y 4 faltas; Carmen, 5 años y 1 falta. ¿Cuánto recibe cada uno?

Resolución
Cocientes antigüedad : faltas: Alicia $\dfrac{6}{2} = 3$ ; Bernardo $\dfrac{8}{4} = 2$ ; Carmen $\dfrac{5}{1} = 5$ .

Reparto directo a $3$ , $2$ y $5$ : $k = \dfrac{7200}{10} = 720$ .

Alicia: $3 \cdot 720 = 2160$ €; Bernardo: $2 \cdot 720 = 1440$ €; Carmen: $5 \cdot 720 = 3600$ € (suman 7200 ✔).

Bernardo es el más antiguo, pero recibe menos porque tiene más faltas.
Ejemplo 2. El taxi compartido problema abierto (reparto justo)
Ana, Bea y Carlos salen juntos en taxi desde la estación de Atocha. Ana se baja a los 6 km, Bea a los 10 km y Carlos a los 16 km. El taxi cuesta 32 € en total (2 € por km). Compara dos formas de repartir el gasto: a) proporcional a los kilómetros que hace cada uno; b) por tramos, pagando cada tramo entre los que van en el taxi. ¿Cuál te parece más justa?

Resolución
a) Proporcional a los km (6, 10 y 16): $k = \dfrac{32}{32} = 1$ € por km → Ana 6 €, Bea 10 €, Carlos 16 €.

b) Por tramos:
- Tramo 0–6 km: $6 \cdot 2 = 12$ € entre 3 → 4 € cada uno.
- Tramo 6–10 km: $4 \cdot 2 = 8$ € entre 2 (Bea y Carlos) → 4 € cada uno.
- Tramo 10–16 km: $6 \cdot 2 = 12$ € solo Carlos.
Ana 4 €, Bea $4 + 4 =$ 8 €, Carlos $4 + 4 + 12 =$ 20 € (suman 32 ✔).

En el reparto por tramos cada uno paga solo lo que comparte, así que quien va solo al final paga ese tramo completo. Las dos opciones se pueden defender: lo importante es argumentarlo. (Los precios son simplificados: un taxi real tiene bajada de bandera y tarifas por tiempo.)

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Reparte 2200 € entre dos personas de forma directamente proporcional a 2 y 3 e inversamente proporcional a 4 y 5, respectivamente.

Ver solución
1000 € y 1200 €
Cocientes: $\dfrac{2}{4} = \dfrac{5}{10}$ y $\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10}$ . Según $5$ y $6$ : $k = \dfrac{2200}{11} = 200$ . Partes: $1000$ y $1200$ €.
2. Media
Una cantidad se reparte de forma inversamente proporcional a 2, 3 y 4. La parte mayor es de 900 €. Calcula las otras partes y la cantidad total.

Ver solución
600 €, 450 €; total 1950 €
m.c.m. = 12: numeradores $6, 4, 3$ . La mayor corresponde a 6: $k = 900 : 6 = 150$ . Partes: $4 \cdot 150 = 600$ € y $3 \cdot 150 = 450$ €. Total: $13 \cdot 150 = 1950$ €.
3. Difícil
Se reparte un dinero entre dos hermanos de forma inversamente proporcional a 3 y 5. La diferencia entre lo que reciben es de 120 €. ¿Cuánto recibe cada uno? ¿Cuánto se repartió?

Ver solución
300 € y 180 €; 480 €
m.c.m. = 15: $\dfrac{5}{15}, \dfrac{3}{15}$ → numeradores $5$ y $3$ . Diferencia: $(5 - 3) \cdot k = 120 \Rightarrow k = 60$ . Partes: $300$ y $180$ €; total $480$ €. Comprobación: $300 \cdot 3 = 180 \cdot 5 = 900$ .

Para practicar más

1. Media
Un premio de 1300 € se reparte entre tres alumnos de forma directamente proporcional a su nota media e inversamente proporcional a sus faltas: Diego, nota 8 y 2 faltas; Elena, nota 9 y 3 faltas; Fátima, nota 6 y 1 falta. ¿Cuánto recibe cada uno?

Ver solución
Diego 400 €, Elena 300 € y Fátima 600 €
Cocientes: $\dfrac{8}{2} = 4$ , $\dfrac{9}{3} = 3$ , $\dfrac{6}{1} = 6$ . $k = \dfrac{1300}{13} = 100$ . Partes: $400$ , $300$ y $600$ €.
2. Media
Una cantidad se reparte entre tres primos de forma inversamente proporcional a sus edades: 6, 9 y 18 años. El más pequeño recibe 300 €. ¿Cuánto reciben los otros? ¿Cuánto se repartió?

Ver solución
200 € y 100 €; 600 €
m.c.m. = 18: numeradores $3, 2, 1$ . El de 6 años tiene el 3: $k = 300 : 3 = 100$ . Partes: $200$ € (9 años) y $100$ € (18 años). Total: $600$ €.
3. Difícil
Un abuelo quiere repartir 660 € entre sus nietos de 6, 12 y 18 años. a) Calcula el reparto directamente proporcional a las edades. b) Calcula el reparto inversamente proporcional. c) Si el dinero es para material escolar del curso, ¿cuál te parece más justo? Razónalo.

Ver solución
a) 110 €, 220 €, 330 € b) 360 €, 180 €, 120 € c) Respuesta abierta
a) $k = \dfrac{660}{36} = \dfrac{55}{3}$ : $6 \cdot \dfrac{55}{3} = 110$ , $220$ y $330$ €. b) Inversos con m.c.m. 36: $\dfrac{6}{36}, \dfrac{3}{36}, \dfrac{2}{36}$ → según $6, 3, 2$ : $k = 60$ : $360$ , $180$ y $120$ €. c) Abierta: por ejemplo, el directo es más razonable porque el material de los cursos superiores es más caro; el inverso favorecería al pequeño.