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Matemáticas 3.º ESO · Porcentajes mayores que 100 y menores que 1. Variaciones porcentuales

Recuerda: porcentajes mayores que 100 y menores que 1

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular e interpretar porcentajes mayores que 100 % y menores que 1 % de una cantidad.

Recuerda

Más del 100 %

El $100\ \%$ es la cantidad entera. Un porcentaje mayor que 100 indica más que la cantidad entera: se usa para comparar una cantidad con otra más pequeña que se toma como referencia.

$150\ \% = 1{,}5$ → una vez y media la cantidad (una cuadrícula de 100 entera y media más).
$200\ \% = 2$ → el doble; $300\ \% = 3$ → el triple.

Por ejemplo, «este año el club tiene el $200\ \%$ de los socios que tenía hace cinco años» significa que tiene el doble.

Menos del 1 %

Un porcentaje menor que 1 es una parte muy pequeña: menos de una centésima parte de la cantidad.

$0{,}5\ \% = 0{,}005$ → la mitad del $1\ \%$ .
$0{,}1\ \% = 0{,}001$ → la milésima parte: 1 de cada 1000.

Cálculo: igual que siempre

Calcular el $p\ \%$ de una cantidad $C$ es multiplicarla por $\dfrac{p}{100}$ , también si $p$ es mayor que 100 o menor que 1: $p\ \%\ \text{de}\ C = C \cdot \frac{p}{100}$

Para hacerlo rápido, escribe el porcentaje como número decimal (dividiendo entre 100) y multiplica.

Porcentaje	250 %	120 %	1 %	0,5 %	0,04 %
Decimal	2,5	1,2	0,01	0,005	0,0004

Estima siempre: con más del $100\ \%$ , el resultado tiene que salir mayor que la cantidad; con menos del $1\ \%$ , menor que su centésima parte.

¿Qué porcentaje es una cantidad de otra?

$\text{porcentaje} = \frac{\text{parte}}{\text{total}} \cdot 100$ Si la cantidad que comparas es mayor que la de referencia, sale más del $100\ \%$ ; si es mucho más pequeña, puede salir menos del $1\ \%$ .

Calcular la cantidad de referencia

Si sabes que una cantidad es el $p\ \%$ de otra, divides entre el decimal: si 1800 es el $450\ \%$ de una cantidad, esa cantidad es $1800 : 4{,}5 = 400$ .

Puntos clave

$p\ \%$ de $C$ $= C \cdot \dfrac{p}{100}$ : pasa el porcentaje a decimal dividiendo entre 100, sea cual sea $p$ .
Un porcentaje mayor que 100 da más que la cantidad: $200\ \%$ es el doble; $150\ \%$ , una vez y media.
Un porcentaje menor que 1 da menos de la centésima parte: $0{,}5\ \% = 0{,}005$ .
Para saber qué porcentaje es una cantidad de otra: $\dfrac{\text{parte}}{\text{total}} \cdot 100$ ; si la «parte» es mayor que el total, sale más del $100\ \%$ .
Si conoces la cantidad y su porcentaje, la de referencia se obtiene dividiendo entre el decimal.

Errores frecuentes

ErrorEscribir $0{,}5\ \%$ como $0{,}5$ o como $0{,}05$ .
Cómo corregirloDivide siempre entre 100: $0{,}5 : 100 = 0{,}005$ . Comprueba: el $1\ \%$ de 200 es 2, así que el $0{,}5\ \%$ tiene que ser 1.
ErrorPensar que un porcentaje no puede pasar de 100.
Cómo corregirloUn porcentaje mayor que 100 compara con una cantidad más pequeña que la que se mide: si hoy hay 300 socios y antes 100, hoy hay el $300\ \%$ de los de antes.
ErrorAl calcular qué porcentaje es una cantidad de otra, poner siempre la mayor en el denominador.
Cómo corregirloAbajo va la cantidad de referencia (la que es el $100\ \%$ ), aunque sea la menor: «¿qué porcentaje es 256 de 64?» es $\dfrac{256}{64} \cdot 100 = 400\ \%$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Mucho y muy poco numérico
Calcula y explica qué significa cada resultado: a) El $150\ \%$ de 80. b) El $0{,}5\ \%$ de 3000.

Resolución
a) $150\ \% = 1{,}5$ : $\;80 \cdot 1{,}5 = 120$ . Es más que 80: una vez y media la cantidad.

b) $0{,}5\ \% = 0{,}005$ : $\;3000 \cdot 0{,}005 = 15$ . Es muy poco: el $1\ \%$ de 3000 sería 30 y el $0{,}5\ \%$ es la mitad.
Ejemplo 2. Un barrio que crece situación real
Un barrio nuevo del norte de Madrid tenía 4800 habitantes en 2015. Hoy tiene el $250\ \%$ de esa cifra. ¿Cuántos habitantes tiene ahora?

Resolución
$250\ \% = 2{,}5$ , así que hoy hay dos veces y media los habitantes de 2015: $4800 \cdot 2{,}5 = 12\,000\ \text{habitantes}$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula: a) El $200\ \%$ de 45. b) El $120\ \%$ de 350. c) El $0{,}2\ \%$ de 5000. d) El $0{,}75\ \%$ de 2400.

Ver solución
a) 90. b) 420. c) 10. d) 18.
a) $45 \cdot 2 = 90$ b) $350 \cdot 1{,}2 = 420$ c) $5000 \cdot 0{,}002 = 10$ d) $2400 \cdot 0{,}0075 = 18$
2. Fácil
Escribe como número decimal: a) $300\ \%$ ; b) $125\ \%$ ; c) $0{,}4\ \%$ ; d) $0{,}05\ \%$ .

Ver solución
a) 3. b) 1,25. c) 0,004. d) 0,0005.
Dividimos entre 100: a) $300 : 100 = 3$ b) $125 : 100 = 1{,}25$ c) $0{,}4 : 100 = 0{,}004$ d) $0{,}05 : 100 = 0{,}0005$
3. Media
Una casa de cambio del aeropuerto de Barajas cobra una comisión del $0{,}6\ \%$ de la cantidad que cambias. Si cambias 450 €, ¿cuánto pagas de comisión?

Ver solución
2,70 €
$0{,}6\ \% = 0{,}006$ : $\;450 \cdot 0{,}006 = 2{,}70$ €. Comprobación: el $1\ \%$ de 450 es 4,50 €; el $0{,}6\ \%$ tiene que ser algo más de la mitad. ✔

Para practicar más

1. Fácil
Calcula: a) el $140\ \%$ de 65; b) el $0{,}3\ \%$ de 12 000; c) el $0{,}05\ \%$ de 80 000.

Ver solución
a) 91. b) 36. c) 40.
a) $65 \cdot 1{,}4 = 91$ b) $12\,000 \cdot 0{,}003 = 36$ c) $80\,000 \cdot 0{,}0005 = 40$
2. Media
Un pueblo de la sierra de Madrid tiene 850 habitantes empadronados. En agosto, con los veraneantes, hay en el pueblo el $320\ \%$ de esa cifra. ¿Cuántas personas hay en agosto?

Ver solución
2720 personas
$320\ \% = 3{,}2$ : $\;850 \cdot 3{,}2 = 2720$ personas (más del triple).
3. Media
a) ¿Qué porcentaje es 30 de 20? b) ¿Qué porcentaje es 3 de 1000?

Ver solución
a) 150 %. b) 0,3 %.
a) $\dfrac{30}{20} \cdot 100 = 150\ \%$ (30 es más que 20, por eso pasa del 100 %). b) $\dfrac{3}{1000} \cdot 100 = 0{,}3\ \%$