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Matemáticas 3.º ESO · Regla de tres compuesta. Repartos proporcionales

Recuerda: repartos directamente proporcionales

Objetivo: Al terminar, sabrás repartir una cantidad en partes directamente proporcionales a dos, tres o más números.

Recuerda

Repartos directamente proporcionales

Repartir una cantidad $C$ en partes directamente proporcionales a unos números $a$ , $b$ , $c$ significa que a quien le corresponde un número mayor recibe más, en la misma proporción: si uno tiene el doble que otro, recibe el doble. Las partes $x$ , $y$ , $z$ cumplen: $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k \qquad \text{y} \qquad x + y + z = C$

Así se reparten de forma justa premios según lo que aportó cada uno, beneficios de un negocio, gastos según lo que consume cada uno, ayudas según el número de habitantes…

Método 1: la constante de reparto

Suma los números: $a + b + c$ . Es el número total de «partes».
Calcula la constante de proporcionalidad, lo que corresponde a una parte (por cada euro aportado, por cada hora, por cada habitante…): $k = \frac{C}{a + b + c}$
Multiplica $k$ por cada número: $x = k \cdot a$ , $y = k \cdot b$ , $z = k \cdot c$ .
Comprueba que las partes suman $C$ .

Método 2: la fracción del total

A cada uno le corresponde la fracción $\dfrac{a}{a + b + c}$ del total: $x = C \cdot \frac{a}{a + b + c} \qquad y = C \cdot \frac{b}{a + b + c} \qquad z = C \cdot \frac{c}{a + b + c}$ Por ejemplo, al repartir 60 € de forma proporcional a 1 y 2, el primero recibe $\dfrac{1}{3}$ de 60 (20 €) y el segundo $\dfrac{2}{3}$ de 60 (40 €).

Si la constante no es exacta

Si $k$ tiene infinitos decimales, déjala como fracción y multiplica; redondea solo al final (a los céntimos, si son euros). Si al redondear las partes no suman exactamente el total, hay que decidir a quién se le da el céntimo que sobra o falta.

Puntos clave

Suma los números del reparto y divide la cantidad entre esa suma: obtienes $k$ , lo que corresponde a una parte.
Cada parte es $k$ multiplicado por su número, o la fracción $\dfrac{a}{a + b + c}$ del total.
A número mayor, parte mayor.
Si $k$ no es exacta, trabaja con la fracción y redondea al final.
Comprueba siempre que las partes suman la cantidad total.

Errores frecuentes

ErrorDividir la cantidad entre el número de personas y no entre la suma de los números del reparto.
Cómo corregirloDivide entre la suma $a + b + c$ : es el número total de «partes».
ErrorNo comprobar el resultado.
Cómo corregirloSuma las partes: tienen que dar exactamente la cantidad repartida.
ErrorRedondear la constante antes de multiplicar (por ejemplo, $k = 1{,}3$ en vez de $\dfrac{4}{3}$ ), con lo que las partes no suman el total.
Cómo corregirloDeja $k$ como fracción y multiplica: $30 \cdot \dfrac{4}{3} = 40$ . Redondea solo el resultado final.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un décimo de lotería compartido situación real
Ana, Bruno y Carla compran un décimo de lotería de Navidad: Ana pone 5 €, Bruno 10 € y Carla 15 €. Les tocan 1200 €. ¿Cómo deben repartírselos de forma proporcional a lo que puso cada uno?

Resolución
1. Suma: $5 + 10 + 15 = 30$ .
2. Constante: $k = \dfrac{1200}{30} = 40$ € por cada euro aportado.
3. Partes: Ana $5 \cdot 40 = 200$ €; Bruno $10 \cdot 40 = 400$ €; Carla $15 \cdot 40 = 600$ €.
4. Comprobación: $200 + 400 + 600 = 1200$ €. ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Tres socios reparten 9000 € de beneficios de forma directamente proporcional a 2, 3 y 4. ¿Cuánto recibe cada uno?

Ver solución
2000 €, 3000 € y 4000 €
$k = \dfrac{9000}{2 + 3 + 4} = 1000$ . Partes: $2000$ , $3000$ y $4000$ € (suman 9000 ✔).
2. Media
Un club de baloncesto de Alcobendas reparte un premio de 1800 € entre tres jugadoras de forma directamente proporcional a los puntos que anotaron en la final: 20, 16 y 12 puntos. ¿Cuánto recibe cada una?

Ver solución
750 €, 600 € y 450 €
$k = \dfrac{1800}{20 + 16 + 12} = \dfrac{1800}{48} = 37{,}5$ . Partes: $20 \cdot 37{,}5 = 750$ €; $16 \cdot 37{,}5 = 600$ €; $12 \cdot 37{,}5 = 450$ € (suman 1800 ✔).

Para practicar más

1. Fácil
Una abuela reparte 600 € entre sus tres nietos de forma directamente proporcional a sus edades: 8, 12 y 20 años. ¿Cuánto recibe cada uno?

Ver solución
120 €, 180 € y 300 €
$k = \dfrac{600}{40} = 15$ . Partes: $120$ , $180$ y $300$ € (suman 600 ✔).
2. Media
Cuatro pueblos de la sierra reciben una subvención de 50 000 € que se reparte de forma directamente proporcional a su número de habitantes: 1200, 800, 2500 y 500. ¿Cuánto recibe cada pueblo?

Ver solución
12 000 €, 8000 €, 25 000 € y 5000 €
Suma: $5000$ habitantes. $k = \dfrac{50\,000}{5000} = 10$ € por habitante. Partes: $12\,000$ , $8000$ , $25\,000$ y $5000$ € (suman 50 000 ✔).
3. Fácil
Dos compañeros venden sus libros usados en un mercadillo y ganan 60 €. Lo reparten de forma proporcional a las horas que estuvo cada uno en el puesto: 7 h y 5 h. ¿Cuánto le toca a cada uno?

Ver solución
35 € y 25 €
$k = \dfrac{60}{12} = 5$ € por hora. Partes: $7 \cdot 5 = 35$ € y $5 \cdot 5 = 25$ €.