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Matemáticas 3.º ESO · Regla de tres compuesta. Repartos proporcionales

Repartos directamente proporcionales a fracciones, decimales o a dos criterios

Objetivo: Al terminar, sabrás realizar repartos directamente proporcionales a fracciones, a decimales o al producto de dos criterios.

Explicación

Repartos proporcionales a fracciones o decimales

Para repartir de forma directamente proporcional a fracciones, se buscan números enteros que guarden la misma proporción:

Reduce las fracciones a común denominador (mejor el mínimo común múltiplo).
Reparte de forma proporcional a los numeradores, como en un reparto normal.

Por ejemplo, repartir proporcionalmente a $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}$ es lo mismo que repartir proporcionalmente a $\dfrac{6}{12}, \dfrac{4}{12}, \dfrac{3}{12}$ , es decir, a $6, 4, 3$ .

Con decimales, multiplica todos por la misma potencia de 10 (o por el número que convenga) para que sean enteros: repartir según $1{,}5$ ; $2$ y $2{,}5$ es lo mismo que según $3$ , $4$ y $5$ .

Repartos con dos criterios

A veces el reparto depende de dos magnitudes a la vez, y cada parte debe ser proporcional a las dos (por ejemplo, al dinero invertido y al tiempo que se mantuvo). Entonces se reparte de forma proporcional al producto de los dos criterios: $\text{número de cada uno} = \text{criterio 1} \cdot \text{criterio 2}$ Si los productos son grandes, simplifícalos dividiendo todos entre un mismo número antes de repartir.

Puntos clave

Proporcional a fracciones: reduce a común denominador y reparte según los numeradores.
Proporcional a decimales: multiplica todos por el mismo número para que sean enteros.
Dos criterios directos: reparte según el producto de los dos.
Multiplicar o dividir todos los números del reparto por el mismo número no cambia el reparto.

Errores frecuentes

ErrorRepartir según los denominadores (2, 3, 4) en vez de según las fracciones.
Cómo corregirloA la fracción mayor le corresponde la parte mayor; $\tfrac{1}{2}$ es la mayor, así que le toca más.
ErrorCon dos criterios, sumar los criterios en lugar de multiplicarlos.
Cómo corregirloSi alguien pone el doble de dinero durante el doble de tiempo, le corresponde el cuádruple: se multiplican.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Reparto proporcional a fracciones numérico (común denominador)
Reparte 2600 € en partes directamente proporcionales a $\dfrac{1}{2}$ , $\dfrac{1}{3}$ y $\dfrac{1}{4}$ .

Resolución
1. Común denominador (m.c.m. = 12): $\dfrac{6}{12}, \dfrac{4}{12}, \dfrac{3}{12}$ . Repartimos según $6$ , $4$ y $3$ .
2. $k = \dfrac{2600}{6 + 4 + 3} = \dfrac{2600}{13} = 200$ .
3. Partes: $6 \cdot 200 = 1200$ €; $4 \cdot 200 = 800$ €; $3 \cdot 200 = 600$ €.
Comprobación: suman 2600 € y la mayor corresponde a $\tfrac{1}{2}$ , la fracción mayor. ✔
Ejemplo 2. Socios de una tienda online situación real (dos criterios)
Tres socios montan una tienda online. Ana invierte 4000 € durante 6 meses; Benito, 6000 € durante 5 meses, y Celia, 5000 € durante 8 meses. Al final obtienen 18 800 € de beneficio. Repártelo de forma proporcional al dinero invertido y al tiempo.

Resolución
Cada parte es proporcional al producto dinero · meses:
- Ana: $4000 \cdot 6 = 24\,000$ ; Benito: $6000 \cdot 5 = 30\,000$ ; Celia: $5000 \cdot 8 = 40\,000$ .
Simplificamos dividiendo entre 2000: repartimos según $12$ , $15$ y $20$ .

$k = \dfrac{18\,800}{12 + 15 + 20} = \dfrac{18\,800}{47} = 400$ .

Ana: $12 \cdot 400 = 4800$ €; Benito: $15 \cdot 400 = 6000$ €; Celia: $20 \cdot 400 = 8000$ € (suman 18 800 ✔).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Tres familias alquilan juntas una furgoneta para una mudanza por 330 € y lo pagan de forma proporcional al volumen de sus cosas: 1,5 m³, 2 m³ y 2,5 m³. ¿Cuánto paga cada familia?

Ver solución
82,50 €, 110 € y 137,50 €
Multiplicamos por 2: repartimos según $3$ , $4$ y $5$ . $k = \dfrac{330}{12} = 27{,}5$ . Partes: $82{,}50$ €, $110$ € y $137{,}50$ €.
2. Media
Reparte 54 000 € en partes directamente proporcionales a $\dfrac{2}{3}$ , $\dfrac{3}{4}$ y $\dfrac{5}{6}$ .

Ver solución
16 000 €, 18 000 € y 20 000 €
m.c.m. = 12: $\dfrac{8}{12}, \dfrac{9}{12}, \dfrac{10}{12}$ . Según $8, 9, 10$ : $k = \dfrac{54\,000}{27} = 2000$ . Partes: $16\,000$ , $18\,000$ y $20\,000$ €.
3. Media
Una empresa reparte una paga extra de 1560 € entre tres trabajadores de forma proporcional a los días trabajados y a las horas diarias: Iván, 10 días a 6 h; Julia, 12 días a 5 h; Kevin, 8 días a 10 h. ¿Cuánto recibe cada uno?

Ver solución
Iván 468 €, Julia 468 € y Kevin 624 €
Productos: $60$ , $60$ y $80$ horas. $k = \dfrac{1560}{200} = 7{,}8$ € por hora. Partes: $468$ , $468$ y $624$ €.

Para practicar más

1. Fácil
Reparte 1800 € en partes directamente proporcionales a $\dfrac{1}{2}$ , $\dfrac{2}{5}$ y $\dfrac{3}{10}$ .

Ver solución
750 €, 600 € y 450 €
m.c.m. = 10: $\dfrac{5}{10}, \dfrac{4}{10}, \dfrac{3}{10}$ . Según $5, 4, 3$ : $k = \dfrac{1800}{12} = 150$ . Partes: $750$ , $600$ y $450$ €.
2. Fácil
Reparte 72 € en partes directamente proporcionales a 0,5; 0,7 y 1,2.

Ver solución
15 €, 21 € y 36 €
Multiplicamos por 10: según $5, 7, 12$ . $k = \dfrac{72}{24} = 3$ . Partes: $15$ , $21$ y $36$ €.
3. Media
En un huerto urbano de Vallecas se reparten 510 kg de tomates entre tres vecinos, de forma proporcional a la superficie de su parcela y a las horas que han trabajado: Lola, 20 m² y 15 h; Mario, 30 m² y 12 h; Nuria, 15 m² y 24 h. ¿Cuántos kilos recibe cada uno?

Ver solución
Lola 150 kg, Mario 180 kg y Nuria 180 kg
Productos: $20 \cdot 15 = 300$ ; $30 \cdot 12 = 360$ ; $15 \cdot 24 = 360$ . $k = \dfrac{510}{1020} = 0{,}5$ kg. Partes: $150$ , $180$ y $180$ kg.