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Matemáticas 3.º ESO · Regla de tres compuesta. Repartos proporcionales

Proporcionalidad compuesta con cuatro o más magnitudes y cambios de condiciones

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver problemas de proporcionalidad compuesta con cuatro o más magnitudes y problemas en los que las condiciones cambian a mitad del trabajo.

Explicación

Cuatro o más magnitudes

La regla de tres compuesta funciona igual con cuatro, cinco o más magnitudes:

Tabla con la incógnita en la última columna.
Compara cada magnitud con la incógnita (las demás fijas) y marca D o I.
Multiplica el dato por un factor por cada magnitud: $\dfrac{\text{nuevo}}{\text{antiguo}}$ si es directa y $\dfrac{\text{antiguo}}{\text{nuevo}}$ si es inversa.

Cambios de condiciones a mitad del trabajo

Cuando algo cambia durante el trabajo (se van obreros, llegan más personas, se estropea una máquina…), conviene medir el trabajo en unidades de «trabajador·día» (o «máquina·hora», «persona·día»…):

Calcula el trabajo total: $\text{trabajadores} \cdot \text{días}$ (o el producto que corresponda).
Resta el trabajo ya hecho antes del cambio.
Divide el trabajo que falta entre los trabajadores que quedan: obtienes los días que faltan.
Suma los días de antes y de después si te preguntan por el tiempo total.

Por ejemplo, si una obra necesita 20 obreros durante 30 días, el trabajo total es $20 \cdot 30 = 600$ obrero·días.

Puntos clave

Con muchas magnitudes: un factor por magnitud, cada una comparada solo con la incógnita.
Mide el trabajo en «trabajador·día» (o «máquina·hora»): es el producto de las magnitudes.
Si cambian las condiciones: trabajo que falta = trabajo total − trabajo hecho.
Al final, suma los días de antes y después del cambio si te piden el tiempo total.

Errores frecuentes

ErrorAplicar el cambio a todo el trabajo, como si hubiese ocurrido desde el principio.
Cómo corregirloSepara el trabajo en dos tramos: antes y después del cambio.
ErrorOlvidar una de las magnitudes al escribir los factores.
Cómo corregirloCuenta las columnas de la tabla: debe haber un factor por cada columna excepto la de la incógnita.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Producción en una fábrica de piezas numérico (cuatro magnitudes)
En una fábrica de Alcalá de Henares, 15 operarios trabajando 8 horas al día durante 20 días fabrican 6000 piezas. ¿Cuántos días necesitarán 12 operarios trabajando 10 horas al día para fabricar 9000 piezas?

Resolución
Operarios Horas/día Piezas Días

15 8 6000 20

12 10 9000 $x$
- Operarios–días: menos operarios, más días: I → $\dfrac{15}{12}$ .
- Horas/día–días: más horas, menos días: I → $\dfrac{8}{10}$ .
- Piezas–días: más piezas, más días: D → $\dfrac{9000}{6000}$ .
$x = 20 \cdot \frac{15}{12} \cdot \frac{8}{10} \cdot \frac{9000}{6000} = 20 \cdot 1{,}25 \cdot 0{,}8 \cdot 1{,}5 = 30 \text{ días}$
Ejemplo 2. Se van obreros a mitad de la obra situación real (cambio de condiciones)
Una constructora calcula que 24 obreros terminan una obra en 30 días. Después de 10 días de trabajo, 8 obreros se van a otra obra. ¿Cuántos días se tarda en total?

Resolución
1. Trabajo total: $24 \cdot 30 = 720$ obrero·días.
2. Hecho en 10 días: $24 \cdot 10 = 240$ obrero·días.
3. Falta: $720 - 240 = 480$ obrero·días, que hacen $24 - 8 = 16$ obreros: $480 : 16 = 30$ días.
4. Total: $10 + 30 = 40$ días (10 días más de lo previsto).
Otra forma: lo que faltaba (20 días con 24 obreros) es inversamente proporcional al número de obreros: $20 \cdot \dfrac{24}{16} = 30$ días.

Operarios	Horas/día	Piezas	Días
15	8	6000	20
12	10	9000	$x$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
En una planta de envasado, 8 máquinas iguales, funcionando 6 horas al día durante 5 días, llenan 4800 envases. ¿Cuántos envases llenarán 10 máquinas funcionando 8 horas al día durante 6 días?

Ver solución
9600 envases
Todas directas. Una máquina en una hora: $\dfrac{4800}{8 \cdot 6 \cdot 5} = 20$ envases. $x = 20 \cdot 10 \cdot 8 \cdot 6 = 9600$ envases.
2. Media
Un albergue tiene comida para 50 personas durante 36 días. A los 6 días llegan 25 personas más. ¿Cuántos días dura la comida en total?

Ver solución
26 días
Quedan raciones para $50 \cdot 30 = 1500$ persona·días. Con 75 personas: $1500 : 75 = 20$ días. Total: $6 + 20 = 26$ días.
3. Difícil
6 traductores, trabajando 5 horas al día, traducen 300 páginas en 8 días. ¿Cuántas horas al día deben trabajar 4 traductores para traducir 450 páginas en 10 días?

Ver solución
9 h al día
Incógnita: horas/día. Traductores: I ( $\tfrac{6}{4}$ ). Páginas: D ( $\tfrac{450}{300}$ ). Días: I ( $\tfrac{8}{10}$ ). $x = 5 \cdot \dfrac{6}{4} \cdot \dfrac{450}{300} \cdot \dfrac{8}{10} = 9$ h.

Para practicar más

1. Media
En un parque eólico, 12 aerogeneradores funcionando 20 horas al día producen 4320 MWh en 15 días. ¿Cuántos días necesitan 9 aerogeneradores funcionando 16 horas al día para producir 3456 MWh?

Ver solución
20 días
Un aerogenerador en una hora: $\dfrac{4320}{12 \cdot 20 \cdot 15} = 1{,}2$ MWh. Al día, 9 aerogeneradores durante 16 h producen $1{,}2 \cdot 9 \cdot 16 = 172{,}8$ MWh. Días: $3456 : 172{,}8 = 20$ .
2. Media
Una imprenta debe imprimir 12 000 libros en 15 días con 6 máquinas iguales. A los 5 días se estropea una máquina y no se repara. ¿Cuántos días tarda en total? ¿Cuántos días de retraso hay?

Ver solución
17 días; 2 días de retraso
Trabajo total: $6 \cdot 15 = 90$ máquina·días. Hecho: $6 \cdot 5 = 30$ . Falta: $60$ máquina·días con 5 máquinas: $60 : 5 = 12$ días. Total: $5 + 12 = 17$ días; 2 días de retraso.
3. Difícil
Para alimentar a 30 perros de una protectora durante 20 días, con raciones de 400 g por perro y día, se necesitan 240 kg de pienso. ¿Cuántos días durarán 360 kg de pienso si hay 40 perros y las raciones son de 300 g?

Ver solución
30 días
Perros: I ( $\tfrac{30}{40}$ ). Pienso: D ( $\tfrac{360}{240}$ ). Ración: I ( $\tfrac{400}{300}$ ). $x = 20 \cdot \dfrac{30}{40} \cdot \dfrac{360}{240} \cdot \dfrac{400}{300} = 30$ días. (Comprobación: 40 perros comen $40 \cdot 0{,}3 = 12$ kg al día; $360 : 12 = 30$ .)