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Matemáticas 3.º ESO · Proporcionalidad simple y compuesta

Proporcionalidad compuesta directa: reducción a la unidad

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver problemas de proporcionalidad compuesta directa con tres magnitudes, por reducción a la unidad o multiplicando por los factores de cambio.

Explicación

Proporcionalidad compuesta

En la proporcionalidad simple intervienen dos magnitudes. En la proporcionalidad compuesta intervienen tres o más. Por ejemplo, el pienso que comen unos animales depende del número de animales y del número de días:

Con el doble de animales (los mismos días) se come el doble.
En el doble de días (los mismos animales) se come el doble.

Cuando la magnitud que buscamos es directamente proporcional a cada una de las otras, se trata de una proporcionalidad compuesta directa.

Método de reducción a la unidad

Organiza los datos en una tabla, con la incógnita en la última columna.
Calcula cuánto corresponde a una unidad de cada magnitud («por vaca y por día», «por máquina y por hora»): divide el dato entre el producto de las otras magnitudes.
Multiplica ese valor por las nuevas cantidades.

Vacas	Días	Forraje (kg)
10	4	600
1	1	$\dfrac{600}{10 \cdot 4} = 15$
15	6	$15 \cdot 15 \cdot 6$

Método de los factores (regla de tres compuesta directa)

Cada magnitud que cambia multiplica el resultado por el cociente entre el valor nuevo y el antiguo: $x = 600 \cdot \frac{15}{10} \cdot \frac{6}{4}$

Los dos métodos dan lo mismo. Antes de terminar, comprueba que el resultado es razonable: si todas las magnitudes aumentan, el resultado debe aumentar.

Puntos clave

Proporcionalidad compuesta: tres o más magnitudes relacionadas.
Directa: la incógnita es directamente proporcional a cada una de las demás.
Reducción a la unidad: divide entre el producto de las otras magnitudes para obtener lo que corresponde a «1 y 1».
Factores: multiplica el dato por (valor nuevo : valor antiguo) de cada magnitud.

Errores frecuentes

ErrorHacer la regla de tres solo con una de las magnitudes y olvidar la otra (por ejemplo, tener en cuenta las vacas pero no los días).
Cómo corregirloEscribe una tabla con una columna por magnitud y comprueba que cada una aparece en el cálculo.
ErrorDividir solo entre una de las magnitudes al reducir a la unidad: $600 : 10 = 60$ kg «por vaca y día».
Cómo corregirlo60 kg es lo que come una vaca en 4 días; para un día divide también entre 4: $600 : (10 \cdot 4) = 15$ kg.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Vacas en una granja de la sierra numérico (reducción a la unidad)
En una granja de la sierra de Madrid, 10 vacas consumen 600 kg de forraje en 4 días. ¿Cuánto forraje consumirán 15 vacas en 6 días?

Resolución
Más vacas → más forraje (directa). Más días → más forraje (directa).

Vacas Días Forraje (kg)

10 4 600

1 1 $600 : (10 \cdot 4) = 15$

15 6 $x$

Una vaca come 15 kg al día, así que $x = 15 \cdot 15 \cdot 6 = 1350$ kg.

Con factores: $x = 600 \cdot \dfrac{15}{10} \cdot \dfrac{6}{4} = 600 \cdot 1{,}5 \cdot 1{,}5 = 1350$ kg.
Ejemplo 2. Una planta embotelladora situación real (método de los factores)
En una planta embotelladora, 6 máquinas iguales llenan 9000 botellas en 5 horas. ¿Cuántas botellas llenarán 4 máquinas en 8 horas?

Resolución
Menos máquinas → menos botellas (directa). Más horas → más botellas (directa).

Con factores: $x = 9000 \cdot \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{8}{5} = 9000 \cdot \dfrac{32}{30} = 9600$ botellas.

Por reducción a la unidad: una máquina en una hora llena $\dfrac{9000}{6 \cdot 5} = 300$ botellas; $x = 300 \cdot 4 \cdot 8 = 9600$ botellas.

Tiene sentido: hay menos máquinas pero trabajan más horas, y el efecto de las horas ( $\cdot\, 1{,}6$ ) es mayor que el de las máquinas ( $\cdot\, 0{,}\overline{6}$ ).
Ejemplo 3. La factura de los radiadores situación real (con coste)
En un hostal de Madrid, 5 radiadores eléctricos iguales encendidos durante 8 horas consumen 60 kWh. a) ¿Cuánto consumen 3 radiadores encendidos 10 horas? b) Si el kWh cuesta, aproximadamente, 0,15 €, ¿cuánto cuesta ese consumo?

Resolución
a) Un radiador en una hora: $\dfrac{60}{5 \cdot 8} = 1{,}5$ kWh. Tres radiadores en 10 horas: $1{,}5 \cdot 3 \cdot 10 = 45$ kWh.

b) $45 \cdot 0{,}15 = 6{,}75$ €.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
8 gallinas ponen 40 huevos en 6 días. ¿Cuántos huevos pondrán 12 gallinas en 9 días?

Ver solución
90 huevos
Directa con las dos. $x = 40 \cdot \dfrac{12}{8} \cdot \dfrac{9}{6} = 40 \cdot 1{,}5 \cdot 1{,}5 = 90$ huevos.
2. Fácil
Para regar un campo de fútbol, 3 aspersores iguales funcionando 2 horas gastan 1800 litros de agua. ¿Cuántos litros gastan 5 aspersores funcionando 3 horas?

Ver solución
4500 L
Un aspersor en una hora: $\dfrac{1800}{3 \cdot 2} = 300$ L. $x = 300 \cdot 5 \cdot 3 = 4500$ L.
3. Media
En un taller, 4 máquinas de coser iguales hacen 96 camisetas en 3 horas. ¿Cuántas camisetas harán 6 máquinas en 5 horas?

Ver solución
240 camisetas
Una máquina en una hora: $\dfrac{96}{4 \cdot 3} = 8$ camisetas. $x = 8 \cdot 6 \cdot 5 = 240$ camisetas.
4. Media
Una familia de 4 personas gasta 1200 litros de agua en 3 días. Si el consumo por persona es el mismo, ¿cuántos litros gastará una familia de 5 personas en una semana?

Ver solución
3500 L
Una persona en un día: $\dfrac{1200}{4 \cdot 3} = 100$ L. Una semana son 7 días: $x = 100 \cdot 5 \cdot 7 = 3500$ L.
5. Difícil
4 placas solares iguales producen 96 kWh en 6 días soleados. ¿Cuántas placas hacen falta para producir 200 kWh en 5 días soleados?

Ver solución
10 placas
Una placa en un día: $\dfrac{96}{4 \cdot 6} = 4$ kWh. En 5 días, una placa produce $4 \cdot 5 = 20$ kWh. Placas necesarias: $200 : 20 = 10$ .

Para practicar más

1. Fácil
5 caballos comen 140 kg de heno en 4 días. ¿Cuánto heno comerán 7 caballos en 10 días?

Ver solución
490 kg
Un caballo en un día: $\dfrac{140}{5 \cdot 4} = 7$ kg. $x = 7 \cdot 7 \cdot 10 = 490$ kg.
2. Fácil
En una panadería, 2 hornos iguales cuecen 480 barras de pan en 3 horas. ¿Cuántas barras cocerán 5 hornos en 4 horas?

Ver solución
1600 barras
$x = 480 \cdot \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{4}{3} = 1600$ barras (un horno en una hora: 80 barras).
3. Media
Los 20 ordenadores del aula de informática, encendidos durante 6 horas, consumen 18 kWh. ¿Cuánto consumirán 30 ordenadores encendidos 5 horas?

Ver solución
22,5 kWh
Un ordenador en una hora: $\dfrac{18}{20 \cdot 6} = 0{,}15$ kWh. $x = 0{,}15 \cdot 30 \cdot 5 = 22{,}5$ kWh.
4. Difícil
Una granja con 40 conejos gasta 300 kg de pienso en 15 días. ¿Para cuántos días tendrá 500 kg de pienso si hay 50 conejos?

Ver solución
20 días
Un conejo en un día: $\dfrac{300}{40 \cdot 15} = 0{,}5$ kg. 50 conejos comen $50 \cdot 0{,}5 = 25$ kg al día. Días: $500 : 25 = 20$ .