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Matemáticas 3.º ESO · Proporcionalidad simple y compuesta

Trabajos conjuntos, grifos y móviles que se cruzan o se alcanzan

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver problemas de trabajos conjuntos y de móviles que se cruzan o se alcanzan razonando con fracciones del trabajo y con velocidades.

Explicación

Trabajos conjuntos y grifos

Si un grifo llena un depósito en 6 horas, en 1 hora llena $\dfrac{1}{6}$ del depósito. Esta es la idea clave: pensar en qué fracción del trabajo se hace en una unidad de tiempo.

Si dos grifos (o dos personas, o dos máquinas) trabajan a la vez:

En 1 hora, el primero hace $\dfrac{1}{a}$ y el segundo $\dfrac{1}{b}$ .
Juntos hacen $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$ del trabajo en 1 hora.
El tiempo total es el inverso de esa fracción: $t = 1 : \left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right)$ .

Si hay un desagüe que vacía, su fracción se resta.

Comprobación: trabajando juntos se tarda menos que el más rápido de los dos por separado.

Móviles que se cruzan o se alcanzan

Se cruzan (van uno hacia el otro): la distancia que los separa disminuye a razón de $v_1 + v_2$ . Tiempo hasta cruzarse: $t = \dfrac{d}{v_1 + v_2}$ .
Uno alcanza al otro (mismo sentido, el de atrás va más rápido): la distancia disminuye a razón de $v_1 - v_2$ . Tiempo hasta alcanzarlo: $t = \dfrac{d}{v_1 - v_2}$ .

Aquí $d$ es la distancia que los separa cuando los dos están ya en marcha. Si uno sale antes, calcula primero cuánto ha avanzado.

Puntos clave

Si algo se hace en $a$ horas, en 1 hora se hace $\dfrac{1}{a}$ del trabajo.
Trabajo conjunto: se suman las fracciones por hora y el tiempo es el inverso de la suma.
Un desagüe resta su fracción.
Se cruzan: se suman las velocidades. Se alcanzan: se restan.

Errores frecuentes

ErrorSumar los tiempos o hacer su media: «6 h y 3 h, juntos 4,5 h».
Cómo corregirloJuntos tardan menos que el más rápido. Suma lo que hace cada uno en 1 hora y halla el inverso.
ErrorEn un alcance, olvidar la ventaja que lleva el que salió antes.
Cómo corregirloCalcula la distancia que ha recorrido el primero antes de que salga el segundo; esa es la distancia que hay que recuperar.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dos grifos llenan un depósito numérico (fracciones de trabajo)
El grifo A llena un depósito de riego en 6 horas y el grifo B lo llena en 3 horas. ¿Cuánto tardan si se abren los dos a la vez?

Resolución
En 1 hora: A llena $\dfrac{1}{6}$ y B llena $\dfrac{1}{3}$ del depósito.

Juntos, en 1 hora: $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ del depósito.

Tiempo: $1 : \dfrac{1}{2} = 2$ horas.

Comprobación: tardan menos que B solo (3 h). ✔
Ejemplo 2. Dos coches por la A-2 situación real (móviles que se cruzan)
Madrid y Zaragoza están a unos 315 km por carretera. A las 9:00 sale un coche de Madrid hacia Zaragoza a 100 km/h y, a la vez, otro de Zaragoza hacia Madrid a 110 km/h (velocidades medias). ¿A qué hora se cruzan? ¿A qué distancia de Madrid?

Resolución
Se acercan a razón de $100 + 110 = 210$ km/h.

Tiempo hasta cruzarse: $t = \dfrac{315}{210} = 1{,}5$ h $= 1$ h $30$ min → a las 10:30.

Distancia desde Madrid: el primer coche recorre $100 \cdot 1{,}5 = 150$ km.

Comprobación: el otro recorre $110 \cdot 1{,}5 = 165$ km y $150 + 165 = 315$ . ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Lucía pinta su habitación en 4 horas y su padre la pinta en 6 horas. ¿Cuánto tardan pintando juntos?

Ver solución
2 h 24 min
En 1 h: $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}$ . Tiempo: $\dfrac{12}{5} = 2{,}4$ h $= 2$ h $24$ min.
2. Media
Un corredor sale por un camino a 10 km/h. Un cuarto de hora después, su hermana sale del mismo sitio en bici, por el mismo camino, a 20 km/h. ¿Cuánto tarda ella en alcanzarlo? ¿A qué distancia del punto de salida?

Ver solución
15 min después de salir ella; a 5 km
Ventaja: $10 \cdot 0{,}25 = 2{,}5$ km. La distancia se reduce a $20 - 10 = 10$ km/h. $t = \dfrac{2{,}5}{10} = 0{,}25$ h $= 15$ min. Distancia: $20 \cdot 0{,}25 = 5$ km.
3. Difícil
Un grifo llena un estanque en 3 horas y su desagüe lo vacía en 5 horas. Si el estanque está vacío y se abren los dos a la vez, ¿cuánto tarda en llenarse?

Ver solución
7 h 30 min
En 1 h: $\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{15} - \dfrac{3}{15} = \dfrac{2}{15}$ . Tiempo: $\dfrac{15}{2} = 7{,}5$ h $= 7$ h $30$ min.

Para practicar más

1. Fácil
Una máquina antigua empaqueta un pedido en 15 horas y una moderna lo hace en 10 horas. ¿Cuánto tardan trabajando juntas?

Ver solución
6 h
En 1 h: $\dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{2}{30} + \dfrac{3}{30} = \dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6}$ . Tardan $6$ h.
2. Media
Dos trenes están separados 360 km y salen a la vez, uno hacia el otro, a 130 km/h y a 110 km/h. ¿Cuánto tardan en cruzarse? ¿Qué distancia ha recorrido cada uno?

Ver solución
1 h 30 min; 195 km y 165 km
Se acercan a $130 + 110 = 240$ km/h. $t = \dfrac{360}{240} = 1{,}5$ h. Recorren $130 \cdot 1{,}5 = 195$ km y $110 \cdot 1{,}5 = 165$ km (suman 360 km).
3. Media
Un autobús sale de Madrid a las 8:00 a 80 km/h. A las 9:00 sale un coche del mismo sitio, por la misma carretera, a 120 km/h. ¿A qué hora alcanza el coche al autobús? ¿A qué distancia de Madrid?

Ver solución
A las 11:00, a 240 km de Madrid
A las 9:00 el autobús lleva $80$ km de ventaja. La distancia se reduce a $120 - 80 = 40$ km/h: $t = \dfrac{80}{40} = 2$ h → a las 11:00. Distancia: $120 \cdot 2 = 240$ km (el autobús: $80 \cdot 3 = 240$ km ✔).