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Matemáticas 3.º ESO · Regla de tres compuesta. Repartos proporcionales

Regla de tres compuesta: magnitudes directas e inversas

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver problemas de proporcionalidad compuesta mixta, decidiendo si cada magnitud es directa o inversamente proporcional a la incógnita.

Explicación

Proporcionalidad compuesta mixta

En muchos problemas, la incógnita es directamente proporcional a unas magnitudes e inversamente proporcional a otras. Por ejemplo, los días que se tarda en hacer una obra:

Con más obreros se tarda menos días → inversa.
Trabajando más horas al día se tarda menos días → inversa.
Si la obra es más grande se tarda más días → directa.

Cómo se resuelve (regla de tres compuesta)

Escribe los datos en una tabla, con la incógnita en la última columna.
Compara cada magnitud con la incógnita por separado, suponiendo que las demás no cambian. Marca D (directa) o I (inversa).
Multiplica el dato conocido de la incógnita por un factor por cada magnitud:
- si es directa: $\dfrac{\text{nuevo}}{\text{antiguo}}$ ;
- si es inversa: $\dfrac{\text{antiguo}}{\text{nuevo}}$ (la fracción «dada la vuelta»).

$x = \text{dato} \cdot \frac{\ldots}{\ldots} \cdot \frac{\ldots}{\ldots}$

Comprueba que el resultado es razonable: si hay más obreros y más horas, deben hacer falta menos días.

También puedes razonar por reducción a la unidad, calculando el trabajo de «1 obrero en 1 hora», como en la proporcionalidad compuesta directa.

Puntos clave

Compara cada magnitud con la incógnita por separado, como si las demás no cambiasen.
Directa: factor nuevo/antiguo. Inversa: factor antiguo/nuevo.
Obreros, horas al día o grifos frente a tiempo: inversa. Tamaño de la obra o del depósito frente a tiempo: directa.
Comprueba siempre si el resultado aumenta o disminuye como debería.

Errores frecuentes

ErrorComparar dos magnitudes que no son la incógnita (por ejemplo, obreros con horas al día).
Cómo corregirloCada magnitud se compara solo con la incógnita, la de la última columna.
ErrorPoner todos los factores como nuevo/antiguo, también en las inversas.
Cómo corregirloEn las inversas da la vuelta a la fracción: antiguo/nuevo. Si dudas, piensa si el resultado debe subir o bajar.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La reforma del patio del instituto numérico (obreros, horas y días)
6 obreros, trabajando 8 horas al día, tardan 15 días en reformar el patio del instituto. ¿Cuántos días tardarán 9 obreros trabajando 10 horas al día?

Resolución
Obreros Horas/día Días

6 8 15

9 10 $x$
- Más obreros → menos días: I.
- Más horas al día → menos días: I.
$x = 15 \cdot \frac{6}{9} \cdot \frac{8}{10} = 15 \cdot \frac{48}{90} = 8 \text{ días}$

Comprobación por reducción a la unidad: la reforma necesita $6 \cdot 8 \cdot 15 = 720$ horas de trabajo de un obrero. Con 9 obreros a 10 h/día se hacen 90 horas de trabajo al día: $720 : 90 = 8$ días. ✔
Ejemplo 2. Grifos y depósitos situación real (directa e inversa a la vez)
4 grifos iguales llenan 2 depósitos iguales en 6 horas. ¿Cuánto tardarán 3 grifos en llenar 5 depósitos como esos?

Resolución
Grifos Depósitos Horas

4 2 6

3 5 $x$
- Menos grifos → más horas: I → factor $\dfrac{4}{3}$ .
- Más depósitos → más horas: D → factor $\dfrac{5}{2}$ .
$x = 6 \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{2} = 20 \text{ horas}$

Tiene sentido: menos grifos y más depósitos, así que tardan mucho más.

Obreros	Horas/día	Días
6	8	15
9	10	$x$

Grifos	Depósitos	Horas
4	2	6
3	5	$x$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
5 pintores tardan 6 días en pintar 10 aulas. ¿Cuántos días necesitarán 3 pintores para pintar 8 aulas iguales?

Ver solución
8 días
Pintores–días: I ( $\tfrac{5}{3}$ ). Aulas–días: D ( $\tfrac{8}{10}$ ). $x = 6 \cdot \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{8}{10} = 8$ días.
2. Media
Para retirar 600 toneladas de escombros de una obra, 5 camiones iguales necesitan 8 días. ¿Cuántos días necesitarán 4 camiones para retirar 900 toneladas?

Ver solución
15 días
Camiones–días: I ( $\tfrac{5}{4}$ ). Toneladas–días: D ( $\tfrac{900}{600}$ ). $x = 8 \cdot \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{900}{600} = 15$ días.
3. Media
10 operarios montan el escenario de un festival de música en 6 días trabajando 8 horas al día. ¿Cuántos operarios hacen falta para montarlo en 4 días trabajando 10 horas al día?

Ver solución
12 operarios
La incógnita son los operarios. Días–operarios: I ( $\tfrac{6}{4}$ ). Horas/día–operarios: I ( $\tfrac{8}{10}$ ). $x = 10 \cdot \dfrac{6}{4} \cdot \dfrac{8}{10} = 12$ operarios.
4. Difícil
Un comedor social tiene 300 raciones, que alcanzan para 25 personas durante 4 días. ¿Para cuántos días alcanzarán 450 raciones si hay 30 personas?

Ver solución
5 días
Raciones–días: D ( $\tfrac{450}{300}$ ). Personas–días: I ( $\tfrac{25}{30}$ ). $x = 4 \cdot \dfrac{450}{300} \cdot \dfrac{25}{30} = 5$ días.

Para practicar más

1. Fácil
Tras una tormenta, 4 bombas iguales extraen 1200 m³ de agua de un aparcamiento en 5 horas. ¿Cuánto tardarán 5 bombas en extraer 1800 m³?

Ver solución
6 h
Bombas–horas: I ( $\tfrac{4}{5}$ ). Agua–horas: D ( $\tfrac{1800}{1200}$ ). $x = 5 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1800}{1200} = 6$ h.
2. Media
12 jardineros, trabajando 6 horas al día, tardan 10 días en podar los árboles de un parque. ¿Cuántos días tardarán 15 jardineros trabajando 8 horas al día?

Ver solución
6 días
Las dos relaciones son inversas. $x = 10 \cdot \dfrac{12}{15} \cdot \dfrac{6}{8} = 6$ días.
3. Media
En una pizzería, 3 hornos iguales cuecen 90 pizzas en 2 horas. ¿Cuántos hornos hacen falta para cocer 150 pizzas en 2 horas y media?

Ver solución
4 hornos
La incógnita son los hornos. Pizzas–hornos: D ( $\tfrac{150}{90}$ ). Horas–hornos: I ( $\tfrac{2}{2{,}5}$ ). $x = 3 \cdot \dfrac{150}{90} \cdot \dfrac{2}{2{,}5} = 4$ hornos.
4. Difícil
6 grifos iguales llenan una piscina de 180 m³ en 10 horas. ¿Cuánto tardarán 8 grifos en llenar otra piscina de 240 m³? Explica por qué sale lo mismo.

Ver solución
10 h
Grifos–horas: I ( $\tfrac{6}{8}$ ). Volumen–horas: D ( $\tfrac{240}{180}$ ). $x = 10 \cdot \dfrac{6}{8} \cdot \dfrac{240}{180} = 10 \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{3} = 10$ h. Sale lo mismo porque cada grifo llena el mismo volumen: $180 : 6 = 240 : 8 = 30$ m³ por grifo.