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Matemáticas 3.º ESO · Porcentajes mayores que 100 y menores que 1. Variaciones porcentuales

Tanto por mil y partes por millón

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular e interpretar tantos por mil y partes por millón y pasarlos a tanto por ciento.

Explicación

El tanto por mil (‰)

Cuando las cantidades que se comparan son muy pequeñas, en lugar de «de cada 100» se usa «de cada 1000»: $p\ \text{‰ de}\ C = C \cdot \frac{p}{1000}$

Se usa, por ejemplo, para la salinidad del agua del mar (unos 35 ‰), las tasas de natalidad («7 nacimientos por cada mil habitantes») o la pureza del oro en joyería.

Las partes por millón (ppm)

Para cantidades todavía más pequeñas se usa «de cada millón»: $p\ \text{ppm de}\ C = C \cdot \frac{p}{1\,000\,000}$

Se usa en química y medio ambiente: concentración de gases en el aire, de sustancias en el agua…

Cómo pasar de una a otra

$1\ \% = 10\ \text{‰} = 10\,000\ \text{ppm} \qquad 1\ \text{ppm} = 0{,}001\ \text{‰} = 0{,}0001\ \%$

	de cada	%	‰	ppm
1 %	100	1	10	10 000
1 ‰	1000	0,1	1	1000
1 ppm	1 000 000	0,0001	0,001	1

De ‰ a %: divide entre 10. De % a ‰: multiplica por 10.
De ppm a ‰: divide entre 1000.

Puntos clave

$p$ ‰ de $C$ $= C \cdot \dfrac{p}{1000}$ ; $\;p$ ppm de $C$ $= C \cdot \dfrac{p}{1\,000\,000}$ .
$1\ \% = 10$ ‰ $= 10\,000$ ppm.
El tanto por mil y las ppm sirven para expresar proporciones muy pequeñas sin usar muchos decimales.

Errores frecuentes

ErrorDividir entre 100 cuando el dato está en tanto por mil.
Cómo corregirloMira el símbolo: % → entre 100; ‰ → entre 1000; ppm → entre 1 000 000.
ErrorAl pasar de ‰ a %, multiplicar por 10 en vez de dividir.
Cómo corregirlo1 ‰ es más pequeño que 1 %: $4$ ‰ $= 0{,}4\ \%$ . Si el número sale más grande, te has equivocado.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La sal del mar situación real
La salinidad media del agua del mar es de aproximadamente 35 ‰ (35 g de sales por cada 1000 g de agua de mar). a) ¿Cuántos gramos de sales hay en 2 kg de agua de mar? b) Expresa la salinidad en tanto por ciento.

Resolución
a) $2\ \text{kg} = 2000\ \text{g}$ : $\;2000 \cdot \dfrac{35}{1000} = 70\ \text{g}$ de sales.

b) $35$ ‰ $= 35 : 10 = 3{,}5\ \%$ .
Ejemplo 2. El CO₂ del aula numérico (partes por millón)
La concentración de dióxido de carbono en el aire exterior es actualmente de unas 420 ppm (en volumen). a) Exprésala en tanto por ciento y en tanto por mil. b) Un aula tiene unos 200 m³ de aire. ¿Cuántos litros de dióxido de carbono contiene ese aire si la concentración es la del exterior? ( $1\ \text{m}^3 = 1000$ L.)

Resolución
a) $\dfrac{420}{1\,000\,000} = 0{,}00042$ , así que: $0{,}00042 \cdot 100 = 0{,}042\ \% \qquad 0{,}00042 \cdot 1000 = 0{,}42\ \text{‰}$

b) $200\ \text{m}^3 = 200\,000$ L: $\;200\,000 \cdot \dfrac{420}{1\,000\,000} = 84$ L de dióxido de carbono.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula: a) el 8 ‰ de 25 000; b) el 2,5 ‰ de 4000; c) 15 ppm de 2 000 000.

Ver solución
a) 200. b) 10. c) 30.
a) $25\,000 \cdot \dfrac{8}{1000} = 200$ b) $4000 \cdot \dfrac{2{,}5}{1000} = 10$ c) $2\,000\,000 \cdot \dfrac{15}{1\,000\,000} = 30$
2. Media
Completa: a) 4 ‰ = … %; b) $0{,}7\ \%$ = … ‰; c) 50 ppm = … % = … ‰.

Ver solución
a) 0,4 %. b) 7 ‰. c) 0,005 % = 0,05 ‰.
a) De ‰ a %, entre 10: $4 : 10 = 0{,}4\ \%$ . b) De % a ‰, por 10: $0{,}7 \cdot 10 = 7$ ‰. c) $\dfrac{50}{1\,000\,000} = 0{,}00005$ → $0{,}005\ \%$ y $0{,}05$ ‰.
3. Media
En joyería, la pureza del oro se da en milésimas (tanto por mil): el oro de 18 quilates tiene 750 ‰ de oro y el de 14 quilates, 585 ‰. a) ¿Cuántos gramos de oro puro tiene una cadena de 18 quilates que pesa 12 g? b) ¿Y si la cadena, con el mismo peso, fuera de 14 quilates?

Ver solución
a) 9 g. b) 7,02 g.
a) $12 \cdot \dfrac{750}{1000} = 9$ g de oro. b) $12 \cdot \dfrac{585}{1000} = 7{,}02$ g de oro.

Para practicar más

1. Fácil
Un municipio del sur de Madrid tiene 48 000 habitantes y una tasa de natalidad del 7,5 ‰ (nacimientos al año por cada mil habitantes). ¿Cuántos niños nacen en un año?

Ver solución
360 nacimientos
$48\,000 \cdot \dfrac{7{,}5}{1000} = 360$ nacimientos.
2. Media
El agua del grifo de algunas ciudades lleva fluoruro en una concentración de unas 0,8 ppm. En el agua, 1 ppm equivale aproximadamente a 1 mg por litro. ¿Cuántos miligramos de fluoruro hay en una botella de 1,5 L llenada en el grifo? Expresa también la concentración en tanto por ciento.

Ver solución
1,2 mg; 0,00008 %.
$0{,}8$ ppm ≈ $0{,}8$ mg/L: $\;1{,}5 \cdot 0{,}8 = 1{,}2$ mg. En %: $\dfrac{0{,}8}{1\,000\,000} \cdot 100 = 0{,}00008\ \%$ (con tantos ceros, se entiende por qué se usan las ppm).
3. Difícil
Un banco cobra una comisión del 1,5 ‰ por cada transferencia internacional, con un mínimo de 6 €. a) ¿Cuánto cobra por enviar 3000 €? ¿Y por 8000 €? b) ¿A partir de qué cantidad no se aplica el mínimo?

Ver solución
a) 6 € (el mínimo); 12 €. b) A partir de 4000 €.
a) $3000 \cdot \dfrac{1{,}5}{1000} = 4{,}50$ €, menos que el mínimo → cobra 6 €. $8000 \cdot \dfrac{1{,}5}{1000} = 12$ €. b) El 1,5 ‰ vale 6 € cuando $C \cdot 0{,}0015 = 6 \Rightarrow C = \dfrac{6}{0{,}0015} = 4000$ €. Por encima de 4000 € se cobra el 1,5 ‰.