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Matemáticas 3.º ESO · Porcentajes mayores que 100 y menores que 1. Variaciones porcentuales

Recuerda: aumentos y disminuciones porcentuales

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular el resultado de aumentar o disminuir una cantidad en un porcentaje, como en el IVA o las rebajas.

Recuerda

Aumentos y disminuciones porcentuales

Muchas cantidades cambian en un porcentaje: los precios suben o bajan, un club gana socios, una planta crece…

Aumento porcentual

Para aumentar una cantidad en un $p\ \%$ :

Calcula el aumento: el $p\ \%$ de la cantidad.
Súmalo a la cantidad.

Un club tenía 40 socios y aumenta un $15\ \%$ : el aumento es $40 \cdot 0{,}15 = 6$ socios; ahora tiene $40 + 6 = 46$ socios.

Disminución porcentual

Para disminuir una cantidad en un $p\ \%$ :

Calcula la disminución: el $p\ \%$ de la cantidad.
Réstala de la cantidad.

Un balón de 30 € rebajado un $10\ \%$ : el descuento es $30 \cdot 0{,}1 = 3$ €; cuesta $30 - 3 = 27$ €.

En la vida diaria

IVA (impuesto sobre el valor añadido): se suma al precio. En España, el tipo general es del $21\ \%$ ; en restaurantes y transporte, del $10\ \%$ ; en pan, leche, fruta, verdura o libros, del $4\ \%$ .
Rebajas y descuentos: se restan del precio.

Antes de calcular, piensa: si es un aumento, el resultado tiene que ser mayor que la cantidad inicial; si es una disminución, menor.

Atajo

También puedes hacerlo en una sola multiplicación: aumentar un $21\ \%$ es quedarse con el $100 + 21 = 121\ \%$ , es decir, multiplicar por $1{,}21$ ; rebajar un $25\ \%$ es quedarse con el $100 - 25 = 75\ \%$ , es decir, multiplicar por $0{,}75$ . Ese número por el que se multiplica ( $1{,}21$ o $0{,}75$ ) se llama índice de variación.

Puntos clave

Aumento: cantidad + $p\ \%$ de la cantidad. Disminución: cantidad − $p\ \%$ de la cantidad.
El IVA se suma; los descuentos se restan.
Un aumento da un resultado mayor que la cantidad inicial; una disminución, menor.
Atajo: aumentar un $p\ \%$ es multiplicar por $1 + \dfrac{p}{100}$ ; disminuir, por $1 - \dfrac{p}{100}$ .

Errores frecuentes

ErrorDar como precio final la rebaja (lo que te ahorras) en lugar de lo que pagas.
Cómo corregirloDespués de calcular el descuento, réstalo del precio: el precio final es lo que pagas.
ErrorAl usar el atajo en una rebaja del 25 %, multiplicar por 0,25.
Cómo corregirloSi te rebajan el 25 %, pagas el 75 %: multiplica por $0{,}75$ .
ErrorDar como respuesta solo el aumento o el descuento («la rebaja es de 20 €») cuando se pregunta el precio final.
Cómo corregirloRelee la pregunta: ¿piden cuánto te ahorras o cuánto pagas? El precio final es el precio inicial menos el descuento (o más el aumento).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Zapatillas rebajadas situación real (disminución)
Unas zapatillas cuestan 80 € y en rebajas tienen un $25\ \%$ de descuento. ¿Cuánto cuestan rebajadas?

Resolución
Descuento: $\;80 \cdot \dfrac{25}{100} = 20$ €. Precio rebajado: $\;80 - 20 = 60$ €.

Con el atajo: pagas el $75\ \%$ → $80 \cdot 0{,}75 = 60$ €. ✔
Ejemplo 2. La reparación del portátil numérico (aumento: IVA)
Reparar un portátil cuesta 140 € más el $21\ \%$ de IVA. ¿Cuánto hay que pagar en total?

Resolución
IVA: $\;140 \cdot 0{,}21 = 29{,}40$ €. Total: $\;140 + 29{,}40 = 169{,}40$ €.

Con el atajo: $140 \cdot 1{,}21 = 169{,}40$ €. ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
a) Aumenta 300 en un $15\ \%$ . b) Disminuye 450 en un $30\ \%$ . c) Aumenta 64 en un $5\ \%$ .

Ver solución
a) 345. b) 315. c) 67,2.
a) $300 \cdot 0{,}15 = 45$ ; $\;300 + 45 = 345$ . b) $450 \cdot 0{,}30 = 135$ ; $\;450 - 135 = 315$ . c) $64 \cdot 0{,}05 = 3{,}2$ ; $\;64 + 3{,}2 = 67{,}2$ .
2. Fácil
En un restaurante de La Latina, el menú del día cuesta 18 € más el $10\ \%$ de IVA. ¿Cuánto se paga por el menú?

Ver solución
19,80 €
IVA: $18 \cdot 0{,}10 = 1{,}80$ €. Total: $18 + 1{,}80 = 19{,}80$ €.
3. Media
Un abrigo de 120 € tiene un $35\ \%$ de descuento. ¿Cuánto te ahorras? ¿Cuánto pagas?

Ver solución
Te ahorras 42 €; pagas 78 €.
Ahorro: $120 \cdot 0{,}35 = 42$ €. Pagas: $120 - 42 = 78$ € (o bien $120 \cdot 0{,}65 = 78$ €).

Para practicar más

1. Fácil
a) Aumenta 250 en un $12\ \%$ . b) Disminuye 80 en un $15\ \%$ .

Ver solución
a) 280. b) 68.
a) $250 \cdot 0{,}12 = 30$ ; $\;250 + 30 = 280$ . b) $80 \cdot 0{,}15 = 12$ ; $\;80 - 12 = 68$ .
2. Media
Un videojuego cuesta 59,90 € y tiene un descuento del $20\ \%$ . ¿Cuánto cuesta con el descuento?

Ver solución
47,92 €
Descuento: $59{,}90 \cdot 0{,}20 = 11{,}98$ €. Precio: $59{,}90 - 11{,}98 = 47{,}92$ €.
3. Media
La cuota de un gimnasio es de 35 € al mes. El año que viene subirá un $6\ \%$ . ¿Cuál será la nueva cuota mensual? ¿Cuánto se pagará en todo el año que viene?

Ver solución
37,10 € al mes; 445,20 € al año.
Subida: $35 \cdot 0{,}06 = 2{,}10$ €. Nueva cuota: $35 + 2{,}10 = 37{,}10$ €. En un año: $37{,}10 \cdot 12 = 445{,}20$ €.