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Matemáticas 3.º ESO · Cálculo de la cantidad inicial. Porcentajes encadenados

Calcular la cantidad inicial y el porcentaje de variación

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular la cantidad inicial (por ejemplo, un precio sin IVA) y el porcentaje de variación a partir de la cantidad final, y explicar por qué una subida y una bajada del mismo porcentaje no se compensan.

Explicación

Recuerda: el índice de variación

$\text{Cantidad final} = \text{Cantidad inicial} \cdot I_V \qquad I_V = 1 + \frac{p}{100}\ \text{(aumento)} \qquad I_V = 1 - \frac{p}{100}\ \text{(disminución)}$

De esta igualdad podemos despejar lo que no conozcamos.

1. Calcular la cantidad inicial

Si conocemos la cantidad final y el porcentaje: $\text{Cantidad inicial} = \frac{\text{Cantidad final}}{I_V}$ Por ejemplo, para quitar el IVA del $21\ \%$ a un precio, se divide entre $1{,}21$ .

Cuidado: para quitar el IVA no se resta el $21\ \%$ del precio final. El $21\ \%$ se calculó sobre el precio sin IVA, que es más pequeño.

2. Calcular el porcentaje de variación

Si conocemos la cantidad inicial y la final: $I_V = \frac{\text{Cantidad final}}{\text{Cantidad inicial}}$

Si $I_V > 1$ : aumento del $(I_V - 1) \cdot 100\ \%$ .
Si $I_V < 1$ : disminución del $(1 - I_V) \cdot 100\ \%$ .

3. Un aumento y una disminución del mismo porcentaje no se compensan

Si un precio de 100 € sube un $20\ \%$ (120 €) y luego baja un $20\ \%$ , no vuelve a 100 €: la bajada se calcula sobre 120 €, así que baja 24 € y se queda en 96 €. Cada porcentaje se aplica sobre la cantidad que hay en ese momento.

Puntos clave

Cantidad inicial = cantidad final : $I_V$ . Para quitar el IVA del 21 %, se divide entre 1,21.
$I_V$ = cantidad final : cantidad inicial; de ahí sale el porcentaje de variación.
Un porcentaje se calcula siempre sobre la cantidad que hay antes de esa variación.
Subir y luego bajar el mismo porcentaje no devuelve la cantidad inicial: queda menos.

Errores frecuentes

ErrorQuitar el IVA restando el 21 % del precio final.
Cómo corregirloDivide entre 1,21. Comprueba: el resultado más su 21 % tiene que dar el precio final.
ErrorCalcular el porcentaje de variación dividiendo entre la cantidad final.
Cómo corregirloLa variación se compara siempre con la cantidad inicial: $\dfrac{\text{final}}{\text{inicial}}$ .
ErrorPensar que tras subir un 20 % y bajar un 20 % se vuelve al principio.
Cómo corregirloEl segundo 20 % se calcula sobre una cantidad mayor. Multiplica los índices: $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Cuánto cuesta la bici sin IVA? situación real (cantidad inicial)
Una bicicleta cuesta 605 € con el $21\ \%$ de IVA incluido. ¿Cuál es su precio sin IVA? ¿Cuánto se paga de IVA?

Resolución
El precio con IVA es el precio sin IVA multiplicado por $1{,}21$ , así que: $\text{Precio sin IVA} = \frac{605}{1{,}21} = 500\ \text{€}$ IVA: $605 - 500 = 105$ €. Comprobación: $500 \cdot 0{,}21 = 105$ €. ✔

Error típico: restar el $21\ \%$ de 605 € da $605 - 127{,}05 = 477{,}95$ €, que no es correcto: $477{,}95 \cdot 1{,}21 \neq 605$ .
Ejemplo 2. El alquiler y el agua numérico (porcentaje de variación)
a) El alquiler de un piso en Carabanchel ha pasado de 950 € a 1064 € al mes. ¿En qué porcentaje ha subido? b) Una familia ha reducido su consumo mensual de agua de 18 m³ a 15,3 m³. ¿En qué porcentaje lo ha reducido?

Resolución
a) $I_V = \dfrac{1064}{950} = 1{,}12 > 1$ → aumento del $12\ \%$ .

b) $I_V = \dfrac{15{,}3}{18} = 0{,}85 < 1$ → disminución del $(1 - 0{,}85) \cdot 100 =$ $15\ \%$ .
Ejemplo 3. Sube un 25 % y baja un 25 % razonamiento
Una acción de bolsa vale 40 €. Un día sube un $25\ \%$ y al día siguiente baja un $25\ \%$ . a) ¿Cuánto vale al final? ¿Ha vuelto a su valor inicial? b) ¿Qué porcentaje tendría que haber bajado el segundo día para volver a 40 €?

Resolución
a) Primer día: $40 \cdot 1{,}25 = 50$ €. Segundo día: $50 \cdot 0{,}75 = 37{,}50$ €. No vuelve a 40 €: $\dfrac{37{,}50}{40} = 0{,}9375$ , ha perdido un $6{,}25\ \%$ en total. La bajada del $25\ \%$ se calcula sobre 50 € (12,50 €), no sobre 40 €.

b) Tendría que bajar de 50 € a 40 €: $I_V = \dfrac{40}{50} = 0{,}8$ → una bajada del $20\ \%$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula el precio sin IVA: a) Unos auriculares que cuestan 96,80 € con el $21\ \%$ de IVA. b) Un menú que cuesta 13,20 € con el $10\ \%$ de IVA. c) Una barra de pan que cuesta 1,04 € con el $4\ \%$ de IVA.

Ver solución
a) 80 €. b) 12 €. c) 1 €.
a) $\dfrac{96{,}80}{1{,}21} = 80$ € b) $\dfrac{13{,}20}{1{,}10} = 12$ € c) $\dfrac{1{,}04}{1{,}04} = 1$ €
2. Media
En rebajas pagas 51 € por una camiseta que tenía un $15\ \%$ de descuento. ¿Cuánto costaba antes de las rebajas?

Ver solución
60 €
Rebaja del $15\ \%$ → $I_V = 0{,}85$ . Precio inicial: $\dfrac{51}{0{,}85} = 60$ €. Comprobación: $60 \cdot 0{,}85 = 51$ €. ✔
3. Media
Calcula el porcentaje de variación: a) Un museo de Madrid ha pasado de 240 000 a 282 000 visitantes al año. b) Un portátil ha bajado de 850 € a 731 €.

Ver solución
a) Aumento del 17,5 %. b) Disminución del 14 %.
a) $I_V = \dfrac{282\,000}{240\,000} = 1{,}175$ → aumento del $17{,}5\ \%$ . b) $I_V = \dfrac{731}{850} = 0{,}86$ → disminución del $14\ \%$ .
4. Difícil
Una tienda sube todos sus precios un $10\ \%$ en noviembre y en enero los baja un $10\ \%$ . a) Un artículo costaba 200 € en octubre. ¿Cuánto cuesta en enero? b) ¿En qué porcentaje ha variado su precio respecto a octubre? c) ¿Qué porcentaje tendría que haber bajado en enero para volver a 200 €? Redondea a las centésimas.

Ver solución
a) 198 €. b) Ha bajado un 1 %. c) Un 9,09 %.
a) Noviembre: $200 \cdot 1{,}10 = 220$ €. Enero: $220 \cdot 0{,}90 = 198$ €. b) $I_V = \dfrac{198}{200} = 0{,}99$ → ha bajado un $1\ \%$ . c) De 220 € a 200 €: $I_V = \dfrac{200}{220} = 0{,}9090\ldots$ → bajada del $(1 - 0{,}9091) \cdot 100 \approx 9{,}09\ \%$ .

Para practicar más

1. Fácil
Tras una subida del $8\ \%$ , una suscripción a una plataforma de música cuesta 12,96 € al mes. ¿Cuánto costaba antes?

Ver solución
12 €
$I_V = 1{,}08$ : $\;\dfrac{12{,}96}{1{,}08} = 12$ €.
2. Media
Un pueblo de la Sierra Norte ha pasado de 3200 a 2720 habitantes. ¿En qué porcentaje ha variado su población?

Ver solución
Ha disminuido un 15 %.
$I_V = \dfrac{2720}{3200} = 0{,}85$ → disminución del $15\ \%$ .
3. Media
Un patinete eléctrico cuesta 363 € con el IVA ( $21\ \%$ ) incluido. ¿Cuál es su precio sin IVA? ¿Cuánto IVA se paga?

Ver solución
300 € sin IVA; 63 € de IVA.
Sin IVA: $\dfrac{363}{1{,}21} = 300$ €. IVA: $363 - 300 = 63$ € (comprobación: $300 \cdot 0{,}21 = 63$ €). ✔
4. Difícil
Una tienda online anuncia: «Hemos bajado un $20\ \%$ el precio de esta silla de escritorio y ahora cuesta 72 €». Un mes después, vuelve a subirla un $20\ \%$ . a) ¿Cuánto costaba la silla antes de la bajada? b) ¿Cuánto cuesta después de la subida? c) ¿Qué porcentaje ha variado respecto al precio original?

Ver solución
a) 90 €. b) 86,40 €. c) Ha bajado un 4 %.
a) $\dfrac{72}{0{,}80} = 90$ €. b) $72 \cdot 1{,}20 = 86{,}40$ €. c) $I_V = \dfrac{86{,}40}{90} = 0{,}96$ → ha bajado un $4\ \%$ respecto al precio original.