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Matemáticas 3.º ESO · Cálculo de la cantidad inicial. Porcentajes encadenados

Recuerda: dos variaciones porcentuales seguidas

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular el resultado de dos variaciones porcentuales sucesivas multiplicando sus índices de variación.

Recuerda

Dos variaciones seguidas

Muchas veces una cantidad sufre dos variaciones porcentuales seguidas: una rebaja y después otra, un descuento y después el IVA, una subida un año y otra al siguiente… La segunda variación se aplica sobre el resultado de la primera, no sobre la cantidad inicial.

Paso a paso. Una chaqueta de 150 € se rebaja un $30\ \%$ y, sobre ese precio, un $10\ \%$ más:

Primera rebaja: $150 \cdot 0{,}7 = 105$ €.
Segunda rebaja, sobre 105 €: $105 \cdot 0{,}9 = 94{,}50$ €.

Con índices de variación: se multiplican

Cada variación tiene su índice ( $I_1$ , $I_2$ ). Encadenarlas es multiplicar por los dos índices: $\text{Cantidad final} = \text{Cantidad inicial} \cdot I_1 \cdot I_2$

En el ejemplo: $I_1 \cdot I_2 = 0{,}7 \cdot 0{,}9 = 0{,}63$ . Pagas el $63\ \%$ del precio: el descuento total es del $37\ \%$ , no del $40\ \%$ .

Los porcentajes encadenados no se suman

$30\ \% + 10\ \% = 40\ \%$ sería correcto solo si los dos descuentos se calcularan sobre el precio inicial. Como el segundo se calcula sobre una cantidad menor, descuenta menos.

Del mismo modo, una subida y una bajada del mismo porcentaje no se compensan: subir un $20\ \%$ y bajar un $20\ \%$ da $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$ , es decir, un $4\ \%$ menos que al principio.

El orden no importa

Como el orden de los factores no altera el producto, da igual aplicar primero una variación u otra: $0{,}8 \cdot 1{,}21 = 1{,}21 \cdot 0{,}8$ . Por eso da lo mismo aplicar primero el descuento y después el IVA, o al revés.

Puntos clave

En variaciones seguidas, cada una se aplica sobre el resultado de la anterior.
Se multiplican los índices: cantidad final $=$ cantidad inicial $\cdot I_1 \cdot I_2$ .
Los porcentajes encadenados no se suman: dos rebajas del $30\ \%$ y del $10\ \%$ equivalen a un $37\ \%$ .
Una subida y una bajada del mismo porcentaje no se compensan.
El orden de las variaciones no cambia el resultado.

Errores frecuentes

ErrorSumar los porcentajes: «una rebaja del $30\ \%$ y otra del $10\ \%$ es una rebaja del $40\ \%$ ».
Cómo corregirloMultiplica los índices: $0{,}7 \cdot 0{,}9 = 0{,}63$ ; la rebaja total es del $37\ \%$ .
ErrorAplicar la segunda variación sobre la cantidad inicial.
Cómo corregirloCalcula paso a paso: primero el precio tras la primera variación; la segunda se aplica sobre ese precio.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Rebaja sobre rebaja situación real
Una chaqueta cuesta 150 €. En rebajas tiene un $30\ \%$ de descuento y, si pagas con la tarjeta de la tienda, te hacen un $10\ \%$ adicional sobre el precio rebajado. ¿Cuánto pagas? ¿Es lo mismo que un descuento del $40\ \%$ ?

Resolución
Paso a paso: tras la rebaja, $150 \cdot 0{,}7 = 105$ €; con la tarjeta, $105 \cdot 0{,}9 = 94{,}50$ €.

Con los índices: $150 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}9 = 150 \cdot 0{,}63 = 94{,}50$ €.

Un descuento del $40\ \%$ daría $150 \cdot 0{,}6 = 90$ €. No es lo mismo: el $10\ \%$ adicional se calcula sobre 105 €, no sobre 150 €. El descuento real es del $37\ \%$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una cantidad de 400 aumenta un $10\ \%$ y después un $5\ \%$ . ¿Cuál es la cantidad final?

Ver solución
462
$400 \cdot 1{,}10 \cdot 1{,}05 = 462$ .
2. Fácil
Un juego de mesa costaba 80 €. Sube un $25\ \%$ y después baja un $20\ \%$ . ¿Cuánto cuesta ahora?

Ver solución
80 €: vuelve al precio inicial.
$80 \cdot 1{,}25 = 100$ €; $\;100 \cdot 0{,}80 = 80$ €. Con índices: $1{,}25 \cdot 0{,}8 = 1$ , así que el precio no cambia. Fíjate: para compensar una subida del $25\ \%$ basta una bajada del $20\ \%$ .
3. Media
Un portátil de 900 € (sin IVA) tiene un descuento del $15\ \%$ . Después se le añade el $21\ \%$ de IVA. ¿Cuál es el precio final?

Ver solución
925,65 €
$900 \cdot 0{,}85 = 765$ €; $\;765 \cdot 1{,}21 = 925{,}65$ €. O directamente: $900 \cdot 0{,}85 \cdot 1{,}21 = 925{,}65$ €.

Para practicar más

1. Fácil
Una cantidad de 2000 disminuye un $10\ \%$ y luego otro $10\ \%$ . ¿Cuál es el resultado? ¿Es lo mismo que disminuirla un $20\ \%$ ?

Ver solución
1620; no (un 20 % daría 1600).
$2000 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 1620$ . Una disminución del $20\ \%$ daría $2000 \cdot 0{,}8 = 1600$ : no es lo mismo.
2. Media
El alquiler de un local en Vallecas es de 800 € al mes. Un año sube un $5\ \%$ y al año siguiente, un $3\ \%$ . ¿Cuál es el alquiler al final?

Ver solución
865,20 €
$800 \cdot 1{,}05 = 840$ €; $\;840 \cdot 1{,}03 = 865{,}20$ €.
3. Media
Un altavoz cuesta 50 € sin IVA y tiene un descuento del $20\ \%$ . ¿Pagas lo mismo si primero se aplica el descuento y después el $21\ \%$ de IVA que si se hace al revés? Calcula los dos casos.

Ver solución
Sí: 48,40 € en los dos casos.
Descuento y luego IVA: $50 \cdot 0{,}8 = 40$ €; $\;40 \cdot 1{,}21 = 48{,}40$ €. IVA y luego descuento: $50 \cdot 1{,}21 = 60{,}50$ €; $\;60{,}50 \cdot 0{,}8 = 48{,}40$ €. Es lo mismo porque el orden de los factores no altera el producto: $0{,}8 \cdot 1{,}21 = 1{,}21 \cdot 0{,}8$ .