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Matemáticas 3.º ESO · Cálculo de la cantidad inicial. Porcentajes encadenados

Porcentajes encadenados: índice total y porcentaje equivalente

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular el índice de variación total y el porcentaje equivalente a varias variaciones porcentuales sucesivas.

Recuerda

Varias variaciones seguidas

Si una cantidad sufre varias variaciones porcentuales seguidas (dos, tres o más), cada una se aplica sobre el resultado de la anterior. El índice de variación total es el producto de los índices: $I_{\text{total}} = I_1 \cdot I_2 \cdot I_3 \cdots \qquad \text{Cantidad final} = \text{Cantidad inicial} \cdot I_{\text{total}}$

Porcentaje equivalente

El índice total equivale a una sola variación, la que produciría el mismo efecto de una vez:

Si $I_{\text{total}} > 1$ : aumento total del $(I_{\text{total}} - 1) \cdot 100\ \%$ .
Si $I_{\text{total}} < 1$ : disminución total del $(1 - I_{\text{total}}) \cdot 100\ \%$ .
Si $I_{\text{total}} = 1$ : las variaciones se compensan.

Por ejemplo, subir un $10\ \%$ y luego un $20\ \%$ : $I_{\text{total}} = 1{,}1 \cdot 1{,}2 = 1{,}32$ , que equivale a una subida del $32\ \%$ (no del $30\ \%$ ).

Variaciones repetidas

Si la misma variación se repite varias veces, el índice se multiplica por sí mismo: tres bajadas seguidas del $10\ \%$ dan $0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}9^3 = 0{,}729$ , es decir, una bajada total del $27{,}1\ \%$ (no del $30\ \%$ ).

Cómo resolver un problema:

Escribe el índice de cada variación.
Multiplícalos: $I_{\text{total}}$ .
Lee el porcentaje equivalente y, si te lo piden, calcula la cantidad final.

Puntos clave

Índice total = producto de los índices de cada variación.
Cantidad final = cantidad inicial $\cdot\ I_{\text{total}}$ .
Porcentaje equivalente: $(I_{\text{total}} - 1) \cdot 100$ si sube; $(1 - I_{\text{total}}) \cdot 100$ si baja.
Los porcentajes encadenados no se suman: dos subidas del $10\ \%$ y del $20\ \%$ equivalen a una del $32\ \%$ .
Una misma variación repetida $n$ veces da un índice total $I^n$ .

Errores frecuentes

ErrorSumar y restar los porcentajes: «+6 %, +4 %, −5 % = +5 %».
Cómo corregirloMultiplica los índices: $1{,}06 \cdot 1{,}04 \cdot 0{,}95 = 1{,}04728$ , un aumento del 4,73 %.
ErrorRedondear cada índice intermedio y arrastrar el error.
Cómo corregirloHaz la multiplicación completa con la calculadora y redondea solo el resultado final.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Tres años de cuota de pádel situación real (tres variaciones)
La cuota anual de un club de pádel de Las Rozas era de 300 €. Un año subió un $6\ \%$ , al año siguiente un $4\ \%$ y al tercer año bajó un $5\ \%$ . a) Calcula el índice de variación total y el porcentaje equivalente. b) ¿Cuánto cuesta ahora la cuota?

Resolución
a) Índices: $1{,}06$ ; $\;1{,}04$ ; $\;0{,}95$ . $I_{\text{total}} = 1{,}06 \cdot 1{,}04 \cdot 0{,}95 = 1{,}04728$ Como es mayor que 1, es un aumento del $4{,}728\ \% \approx 4{,}73\ \%$ en total (no del $6 + 4 - 5 = 5\ \%$ ).

b) $300 \cdot 1{,}04728 = 314{,}184 \approx 314{,}18$ €.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula el índice total y el porcentaje equivalente: a) Subida del $10\ \%$ y subida del $20\ \%$ . b) Bajada del $30\ \%$ y subida del $30\ \%$ . c) Tres subidas seguidas del $5\ \%$ .

Ver solución
a) 1,32 → +32 %. b) 0,91 → −9 %. c) 1,157625 → +15,76 % aprox.
a) $1{,}1 \cdot 1{,}2 = 1{,}32$ → aumento del $32\ \%$ . b) $0{,}7 \cdot 1{,}3 = 0{,}91$ → disminución del $9\ \%$ . c) $1{,}05 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 = 1{,}05^3 = 1{,}157625$ → aumento del $15{,}76\ \%$ (redondeando a centésimas).
2. Media
Un coche pierde el $20\ \%$ de su valor el primer año, el $15\ \%$ el segundo y el $10\ \%$ el tercero. a) ¿Qué porcentaje de su valor ha perdido en total? b) Si costó 25 000 €, ¿cuánto vale a los tres años?

Ver solución
a) 38,8 %. b) 15 300 €.
a) $I_{\text{total}} = 0{,}8 \cdot 0{,}85 \cdot 0{,}9 = 0{,}612$ → pérdida del $(1 - 0{,}612) \cdot 100 = 38{,}8\ \%$ . b) $25\,000 \cdot 0{,}612 = 15\,300$ €.
3. Media
Los usuarios de una biblioteca municipal de Alcorcón aumentaron un $12\ \%$ en 2023, bajaron un $5\ \%$ en 2024 y aumentaron un $8\ \%$ en 2025. A principios de 2023 tenía 5000 usuarios. a) ¿Cuántos usuarios tiene al final de 2025? b) ¿Cuál ha sido el porcentaje de variación total?

Ver solución
a) Unos 5746 usuarios. b) Aumento del 14,91 % aprox.
$I_{\text{total}} = 1{,}12 \cdot 0{,}95 \cdot 1{,}08 = 1{,}14912$ a) $5000 \cdot 1{,}14912 = 5745{,}6 \approx 5746$ usuarios. b) Aumento del $14{,}912\ \% \approx 14{,}91\ \%$ .

Para practicar más

1. Fácil
Calcula el índice total y el porcentaje equivalente: a) subida del $15\ \%$ y bajada del $10\ \%$ ; b) bajada del $25\ \%$ y bajada del $20\ \%$ .

Ver solución
a) 1,035 → +3,5 %. b) 0,6 → −40 %.
a) $1{,}15 \cdot 0{,}9 = 1{,}035$ → aumento del $3{,}5\ \%$ . b) $0{,}75 \cdot 0{,}8 = 0{,}6$ → disminución del $40\ \%$ (no del $45\ \%$ ).
2. Media
El precio de la electricidad de una tarifa subió un $8\ \%$ en un trimestre, un $12\ \%$ en el siguiente y bajó un $15\ \%$ en el tercero. a) ¿Cuál ha sido la variación total en porcentaje? b) Si al principio el kWh costaba 0,15 €, ¿cuánto cuesta ahora? Redondea a las milésimas.

Ver solución
a) Aumento del 2,82 % aprox. b) 0,154 €/kWh.
a) $I_{\text{total}} = 1{,}08 \cdot 1{,}12 \cdot 0{,}85 = 1{,}02816$ → aumento del $2{,}816\ \% \approx 2{,}82\ \%$ . b) $0{,}15 \cdot 1{,}02816 = 0{,}154224 \approx 0{,}154$ €/kWh.
3. Difícil
Una tienda de deportes te ofrece dos opciones para unas botas de fútbol de 120 €:
- Opción A: un descuento del $35\ \%$ .
- Opción B: un descuento del $20\ \%$ y, sobre ese precio, otro del $15\ \%$ . ¿Qué opción es mejor? ¿Cuánto pagarías en cada caso?
Ver solución
La A: pagas 78 € (con la B, 81,60 €).
A: $I = 0{,}65$ → $120 \cdot 0{,}65 = 78$ €. B: $I = 0{,}8 \cdot 0{,}85 = 0{,}68$ (descuento del $32\ \%$ ) → $120 \cdot 0{,}68 = 81{,}60$ €. Es mejor la opción A.