Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

← U3 · Proporcionalidad, porcentajes y matemática financiera

Matemáticas 3.º ESO · Cálculo de la cantidad inicial. Porcentajes encadenados

Problemas inversos con porcentajes encadenados y variaciones repetidas

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular la cantidad inicial o un porcentaje desconocido en variaciones encadenadas y usar potencias cuando una misma variación se repite varias veces.

Explicación

Problemas inversos

En los porcentajes encadenados se cumple: $\text{Cantidad final} = \text{Cantidad inicial} \cdot I_1 \cdot I_2 \cdots I_n$ Si lo que no conocemos es otra cosa, despejamos:

Cantidad inicial: $\;\text{Cantidad inicial} = \dfrac{\text{Cantidad final}}{I_1 \cdot I_2 \cdots I_n}$
Un índice desconocido: si conocemos el índice total y los demás índices, por ejemplo $I_2 = \dfrac{I_{\text{total}}}{I_1}$ . Después se traduce el índice a porcentaje.

Variaciones repetidas: potencias

Si la misma variación se repite $n$ veces (por ejemplo, una población que crece un $2\ \%$ cada año), el índice total es una potencia: $\text{Cantidad final} = \text{Cantidad inicial} \cdot I^n$

Con crecimientos repetidos, cada año se suma más que el anterior, porque el porcentaje se calcula sobre una cantidad cada vez mayor: la gráfica no es una recta, sino una curva que se empina. Con disminuciones repetidas, la cantidad baja cada vez menos, pero nunca llega a cero.

Para saber cuántas veces hay que repetir una variación para llegar a una cantidad, se prueba con la calculadora $n = 1, 2, 3\ldots$ (cuando se conocen los logaritmos, también se puede resolver con ellos).

Puntos clave

Cantidad inicial = cantidad final : (producto de los índices).
Índice desconocido = índice total : producto de los índices conocidos.
Una misma variación repetida $n$ veces: cantidad final = cantidad inicial $\cdot\, I^n$ .
Para hallar $n$ , se tantea con la calculadora.

Errores frecuentes

ErrorPara hallar el precio inicial, aplicar las variaciones contrarias (si subió un 10 %, bajar un 10 %).
Cómo corregirloDivide entre los índices. Bajar un 10 % no deshace una subida del 10 %.
ErrorEscribir $1{,}02 \cdot 10$ en lugar de $1{,}02^{10}$ para diez subidas del 2 %.
Cómo corregirloCada subida multiplica por 1,02: diez subidas son $1{,}02 \cdot 1{,}02 \cdots = 1{,}02^{10}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Cuánto costaba al principio? numérico (cantidad inicial)
La cuota mensual de una tarifa de fibra y móvil subió un $10\ \%$ y después, con una promoción, bajó un $20\ \%$ . Ahora es de 66 €. ¿Cuánto era la cuota antes de las dos variaciones?

Resolución
$I_{\text{total}} = 1{,}10 \cdot 0{,}80 = 0{,}88$ . $\text{Cuota inicial} = \frac{66}{0{,}88} = 75\ \text{€}$ Comprobación: $75 \cdot 1{,}10 = 82{,}50$ €; $\;82{,}50 \cdot 0{,}80 = 66$ €. ✔

Si hubiéramos «deshecho» las variaciones al revés (subir un $20\ \%$ y bajar un $10\ \%$ ), saldría $66 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}9 = 71{,}28$ €, que es incorrecto.
Ejemplo 2. Una ciudad que crece un 2 % al año gráfico (variación repetida)
Una ciudad del corredor del Henares tiene 200 000 habitantes. Supón que su población crece un $2\ \%$ cada año. La gráfica muestra cómo evolucionaría en los próximos 30 años. a) ¿Cuántos habitantes tendría a los 10 años? ¿Y a los 30? b) ¿Cuántos habitantes se suman el primer año? ¿Y el año 30? c) Según la gráfica, ¿hacia qué año superaría los 300 000 habitantes? Compruébalo con la calculadora.

Resolución
a) $I = 1{,}02$ repetido: $\;200\,000 \cdot 1{,}02^{10} \approx 243\,799$ habitantes; $\;200\,000 \cdot 1{,}02^{30} \approx 362\,272$ habitantes.

b) El primer año: $200\,000 \cdot 0{,}02 = 4000$ habitantes. El año 30 se suma el $2\ \%$ de la población del año 29, que es mucho mayor: $200\,000 \cdot 1{,}02^{29} \cdot 0{,}02 \approx 7103$ habitantes. Por eso la gráfica es una curva cada vez más empinada.

c) En la gráfica, la curva pasa de 300 (miles) hacia el año 21. Con la calculadora: $200\,000 \cdot 1{,}02^{20} \approx 297\,189$ y $200\,000 \cdot 1{,}02^{21} \approx 303\,133$ . Los superaría en el año 21.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Después de dos rebajas sucesivas del $20\ \%$ y del $25\ \%$ , una lámpara cuesta 36 €. ¿Cuál era su precio original?

Ver solución
60 €
$I_{\text{total}} = 0{,}80 \cdot 0{,}75 = 0{,}6$ . Precio original: $\dfrac{36}{0{,}6} = 60$ €.
2. Media
El precio de un producto sube un $25\ \%$ y, después, se le aplica una rebaja. Al final cuesta lo mismo que al principio. ¿De qué porcentaje es la rebaja?

Ver solución
Del 20 %.
El índice total es 1 (no cambia): $1{,}25 \cdot I_2 = 1 \Rightarrow I_2 = \dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$ → rebaja del $20\ \%$ .
3. Difícil
Un coche que costó 18 000 € pierde cada año el $15\ \%$ de su valor. a) ¿Cuánto vale a los 5 años? Redondea a euros. b) ¿A partir de qué año vale menos de la mitad de lo que costó?

Ver solución
a) Unos 7987 €. b) A partir del quinto año.
a) $18\,000 \cdot 0{,}85^5 = 7986{,}69\ldots \approx 7987$ €. b) Menos de la mitad es menos de 9000 €, es decir, $0{,}85^n < 0{,}5$ . Tanteamos: $0{,}85^4 \approx 0{,}522$ (aún más de la mitad: unos 9396 €); $\;0{,}85^5 \approx 0{,}444$ . A partir del quinto año.

Para practicar más

1. Media
El alquiler de un piso ha subido un $5\ \%$ cada año durante tres años y ahora es de 926,10 € al mes. ¿Cuál era el alquiler hace tres años?

Ver solución
800 €
$I_{\text{total}} = 1{,}05^3 = 1{,}157625$ . Alquiler inicial: $\dfrac{926{,}10}{1{,}157625} = 800$ €.
2. Media
Un artículo sube un $20\ \%$ y después baja un cierto porcentaje. Al final cuesta un $10\ \%$ más que al principio. ¿Qué porcentaje bajó? Redondea a las centésimas.

Ver solución
Bajó un 8,33 %.
$1{,}20 \cdot I_2 = 1{,}10 \Rightarrow I_2 = \dfrac{1{,}10}{1{,}20} = 0{,}91\overline{6}$ → bajada del $(1 - 0{,}9167) \cdot 100 \approx 8{,}33\ \%$ .
3. Difícil
Supón que el precio de la entrada de un museo sube un $3\ \%$ cada año. ¿Cuántos años tienen que pasar para que haya subido más de un $20\ \%$ respecto al precio actual?

Ver solución
7 años.
Buscamos $n$ con $1{,}03^n > 1{,}20$ . Tanteamos: $1{,}03^6 \approx 1{,}194$ (un $19{,}4\ \%$ , todavía no); $\;1{,}03^7 \approx 1{,}230$ (un $23\ \%$ ). 7 años.