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Matemáticas 3.º ESO · Interés simple

El interés simple

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular el interés simple y el capital final de un depósito o un préstamo con el tiempo en años.

Explicación

Capital, rédito, tiempo e interés

Cuando dejas dinero en un banco (un depósito) o pides dinero prestado (un préstamo), se paga un precio por el uso de ese dinero: el interés.

Capital ( $C$ ): el dinero que se deposita o se presta.
Rédito o tipo de interés ( $r$ ): el porcentaje que se paga cada año por el capital. Si $r = 3$ , se paga el $3\ \%$ anual.
Tiempo ( $t$ ): cuánto dura la operación, en años.
Interés ( $I$ ): el dinero que se gana (o se paga) en total.

Interés simple

En el interés simple, los intereses de cada año se calculan siempre sobre el capital inicial y no se suman al capital para el año siguiente. Por eso, cada año se gana lo mismo: el $r\ \%$ de $C$ .

Interés de un año: $\;C \cdot \dfrac{r}{100}$ . En $t$ años, $t$ veces esa cantidad: $I = \frac{C \cdot r \cdot t}{100}$

El capital final es lo que tienes al terminar: $C_f = C + I$

Es un caso de proporcionalidad compuesta: el interés es directamente proporcional al capital, al rédito y al tiempo. Si representamos el capital año a año, los puntos quedan en línea recta, porque cada año se suma la misma cantidad.

Puntos clave

Interés simple: $I = \dfrac{C \cdot r \cdot t}{100}$ ( $r$ en % anual, $t$ en años).
Capital final: $C_f = C + I$ .
En el interés simple se gana lo mismo cada año; la gráfica capital-tiempo es una recta.
Sirve tanto para depósitos (cobras intereses) como para préstamos (los pagas).

Errores frecuentes

ErrorEscribir el rédito como decimal en la fórmula ( $r = 0{,}03$ ) y además dividir entre 100.
Cómo corregirloEn $I = \dfrac{C \cdot r \cdot t}{100}$ , $r$ es el número del porcentaje: para el 3 %, $r = 3$ .
ErrorDar como resultado el interés cuando se pide el capital final (o al revés).
Cómo corregirloLee bien la pregunta: el interés es lo que se gana; el capital final es lo que se tiene al final ( $C + I$ ).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un depósito, año a año tabla y gráfica
Depositas 2000 € en un banco al $3\ \%$ de interés simple anual durante 4 años. a) Completa una tabla con el capital que tienes al final de cada año. b) Calcula el interés total y el capital final con la fórmula.

Resolución
a) Cada año se gana el $3\ \%$ de 2000 €: $\;2000 \cdot 0{,}03 = 60$ €.

Año 0 1 2 3 4

Capital (€) 2000 2060 2120 2180 2240

b) $I = \dfrac{2000 \cdot 3 \cdot 4}{100} = 240$ €. $\quad C_f = 2000 + 240 = 2240$ €.

En la gráfica, los puntos están alineados: cada año el capital sube 60 €.
Ejemplo 2. Un préstamo para un ordenador situación real (préstamo)
Para comprar un ordenador, Marta pide un préstamo de 1500 € al $6\ \%$ de interés simple anual durante 2 años. a) ¿Cuántos intereses paga? b) ¿Cuánto devuelve en total? c) Si lo devuelve en 24 cuotas mensuales iguales, ¿de cuánto es cada cuota?

Resolución
a) $I = \dfrac{1500 \cdot 6 \cdot 2}{100} = 180$ €. b) $C_f = 1500 + 180 = 1680$ €. c) $1680 : 24 = 70$ € al mes.

Año	0	1	2	3	4
Capital (€)	2000	2060	2120	2180	2240

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula el interés y el capital final de 5000 € al $2\ \%$ de interés simple durante 3 años.

Ver solución
I = 300 €; C_f = 5300 €.
$I = \dfrac{5000 \cdot 2 \cdot 3}{100} = 300$ €. $\;C_f = 5000 + 300 = 5300$ €.
2. Fácil
Calcula el interés y el capital final de 800 € al $4{,}5\ \%$ de interés simple durante 2 años.

Ver solución
I = 72 €; C_f = 872 €.
$I = \dfrac{800 \cdot 4{,}5 \cdot 2}{100} = 72$ €. $\;C_f = 800 + 72 = 872$ €.
3. Media
Se depositan 12 000 € al $2{,}5\ \%$ de interés simple anual. Completa la tabla del capital al final de cada año.

Año 0 1 2 3 4 5

Capital (€) 12 000

Ver solución
12 300; 12 600; 12 900; 13 200; 13 500 €.
Cada año: $12\,000 \cdot 0{,}025 = 300$ €. Capitales: 12 300, 12 600, 12 900, 13 200 y 13 500 €. Comprobación con la fórmula: $I = \dfrac{12\,000 \cdot 2{,}5 \cdot 5}{100} = 1500$ €; $\;12\,000 + 1500 = 13\,500$ €. ✔
4. Media
Tienes 6000 € para invertir a interés simple. El banco A te ofrece un $3\ \%$ anual durante 4 años; el banco B, un $3{,}5\ \%$ anual durante 3 años. ¿Con cuál ganas más intereses al terminar el plazo?

Ver solución
Con el A: 720 € frente a 630 €.
A: $I = \dfrac{6000 \cdot 3 \cdot 4}{100} = 720$ €. B: $I = \dfrac{6000 \cdot 3{,}5 \cdot 3}{100} = 630$ €. Ganas más con el A, aunque su rédito es menor, porque el dinero está más tiempo.

Para practicar más

1. Fácil
Calcula el interés y el capital final de 3500 € al $4\ \%$ de interés simple durante 5 años.

Ver solución
I = 700 €; C_f = 4200 €.
$I = \dfrac{3500 \cdot 4 \cdot 5}{100} = 700$ €. $\;C_f = 3500 + 700 = 4200$ €.
2. Fácil
Una empresa deposita 25 000 € al $1{,}8\ \%$ de interés simple durante 2 años. ¿Cuánto tendrá al final?

Ver solución
25 900 €
$I = \dfrac{25\,000 \cdot 1{,}8 \cdot 2}{100} = 900$ €. $\;C_f = 25\,000 + 900 = 25\,900$ €.
3. Media
Para comprar una moto, Javier pide un préstamo de 4000 € al $7\ \%$ de interés simple durante 3 años y lo devuelve en cuotas mensuales iguales. a) ¿Cuánto devuelve en total? b) ¿De cuánto es cada cuota? Redondea a céntimos.

Ver solución
a) 4840 €. b) 134,44 € al mes.
a) $I = \dfrac{4000 \cdot 7 \cdot 3}{100} = 840$ €; total: $4000 + 840 = 4840$ €. b) 3 años son 36 meses: $4840 : 36 = 134{,}44\ldots \approx 134{,}44$ €.
4. Media
Una abuela deposita 1200 € a nombre de su nieta al $2{,}5\ \%$ de interés simple durante 6 años. ¿Cuántos intereses se generan cada año? ¿Cuánto dinero habrá al final?

Ver solución
30 € cada año; 1380 € al final.
Cada año: $1200 \cdot 0{,}025 = 30$ €. En 6 años: $I = \dfrac{1200 \cdot 2{,}5 \cdot 6}{100} = 180$ €. Capital final: $1200 + 180 = 1380$ €.