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Explicación

Interés compuesto

En el interés compuesto, los intereses que se ganan cada año se suman al capital (se dice que se capitalizan), y al año siguiente se calculan intereses sobre el capital ya aumentado. Así, se ganan intereses de los intereses.

Cada año el capital aumenta un $r\ \%$ : es un aumento porcentual que se repite cada año, así que se multiplica por el índice de variación $1 + \dfrac{r}{100}$ tantas veces como años:

$C_f = C \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t$

$C$ : capital inicial; $C_f$ : capital final.
$r$ : rédito anual (en %); $t$ : tiempo en años.
Interés total: $I = C_f - C$ .

Simple o compuesto

	Interés simple	Interés compuesto
Intereses de cada año	siempre los mismos: el $r\ \%$ de $C$	cada año más: el $r\ \%$ del capital acumulado
Capital final	$C + \dfrac{C \cdot r \cdot t}{100}$	$C \cdot \left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^t$
Gráfica	recta	curva que se empina cada vez más

En el primer año los dos dan lo mismo; a partir del segundo, el compuesto da más, y la diferencia crece con los años. Los depósitos y préstamos bancarios a más de un año funcionan con interés compuesto.

Puntos clave

Interés compuesto: los intereses se suman al capital y producen más intereses.
$C_f = C \cdot \left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^t$ ; interés total $I = C_f - C$ .
Es un porcentaje encadenado: el mismo aumento repetido $t$ veces.
A largo plazo, el interés compuesto da mucho más que el simple.

Errores frecuentes

ErrorMultiplicar por $1 + \dfrac{r}{100} \cdot t$ en lugar de elevar a $t$ .
Cómo corregirloCada año se multiplica por el índice: $t$ años son $\left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^t$ . Escribe la potencia antes de usar la calculadora.
ErrorEscribir $1{,}5$ como índice de un 5 %.
Cómo corregirloEl índice de un aumento del 5 % es $1{,}05$ .
ErrorRedondear el capital de cada año en la tabla y arrastrar el redondeo.
Cómo corregirloUsa la fórmula para el resultado final o guarda los decimales en la calculadora.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Intereses de los intereses tabla año a año
Depositas 1000 € al $5\ \%$ de interés compuesto anual durante 3 años. a) Haz una tabla con el capital al principio de cada año, los intereses de ese año y el capital al final. b) Comprueba el resultado con la fórmula.

Resolución
a)

Año Capital al principio Intereses ( $5\ \%$ ) Capital al final

1 1000,00 50,00 1050,00

2 1050,00 52,50 1102,50

3 1102,50 55,13 1157,63

Cada año se ganan más intereses porque el capital es mayor.

b) $C_f = 1000 \cdot 1{,}05^3 = 1157{,}625 \approx 1157{,}63$ €. Intereses totales: $157{,}63$ €. (A interés simple habrían sido $3 \cdot 50 = 150$ €.)
Ejemplo 2. 20 años de ahorro gráfico (simple frente a compuesto)
Se depositan 10 000 € al $6\ \%$ anual durante 20 años. La gráfica muestra el capital año a año a interés simple y a interés compuesto. a) Calcula el capital final en cada caso. b) Según la gráfica, ¿hacia qué año se duplica el capital con interés compuesto? ¿Y con interés simple? Compruébalo.

Resolución
a) Simple: $I = \dfrac{10\,000 \cdot 6 \cdot 20}{100} = 12\,000$ €; $\;C_f = 22\,000$ €. Compuesto: $C_f = 10\,000 \cdot 1{,}06^{20} \approx 32\,071{,}35$ €. Diferencia: más de 10 000 €.

b) Compuesto: la curva pasa de 20 000 € entre los años 11 y 12. Con la calculadora: $10\,000 \cdot 1{,}06^{11} \approx 18\,982{,}99$ € y $10\,000 \cdot 1{,}06^{12} \approx 20\,121{,}96$ €: se duplica en el año 12. Simple: hay que ganar 10 000 € a 600 € por año: $10\,000 : 600 \approx 16{,}7$ → en el año 17.

Año	Capital al principio	Intereses ( $5\ \%$ )	Capital al final
1	1000,00	50,00	1050,00
2	1050,00	52,50	1102,50
3	1102,50	55,13	1157,63

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Se depositan 4000 € al $3\ \%$ de interés compuesto anual durante 2 años. Haz la tabla año a año y calcula los intereses totales.

Ver solución
Año 1: 4120 €. Año 2: 4243,60 €. Intereses: 243,60 €.
Año 1: intereses $4000 \cdot 0{,}03 = 120$ € → $4120$ €. Año 2: intereses $4120 \cdot 0{,}03 = 123{,}60$ € → $4243{,}60$ €. Intereses totales: $4243{,}60 - 4000 = 243{,}60$ €. (Comprobación: $4000 \cdot 1{,}03^2 = 4243{,}60$ .) ✔
2. Fácil
Calcula con la fórmula el capital final de 2500 € al $4\ \%$ de interés compuesto anual durante 5 años. Redondea a céntimos.

Ver solución
3041,63 €
$C_f = 2500 \cdot 1{,}04^5 = 3041{,}632\ldots \approx 3041{,}63$ €.
3. Media
Se invierten 8000 € al $5\ \%$ anual durante 10 años. Calcula el capital final a interés simple y a interés compuesto. ¿Cuánto se gana de más con el compuesto?

Ver solución
Simple: 12 000 €. Compuesto: 13 031,16 €. Diferencia: 1031,16 €.
Simple: $I = \dfrac{8000 \cdot 5 \cdot 10}{100} = 4000$ €; $\;C_f = 12\,000$ €. Compuesto: $C_f = 8000 \cdot 1{,}05^{10} \approx 13\,031{,}16$ €. Diferencia: $13\,031{,}16 - 12\,000 = 1031{,}16$ €.
4. Media
Un capital a interés compuesto se multiplica cada año por $1{,}025$ . a) ¿Cuál es el rédito? b) Si el capital inicial es de 6000 €, ¿cuánto habrá a los 4 años? Redondea a céntimos.

Ver solución
a) 2,5 %. b) 6622,88 €.
a) $1{,}025 = 1 + 0{,}025$ → $r = 2{,}5\ \%$ . b) $C_f = 6000 \cdot 1{,}025^4 = 6622{,}877\ldots \approx 6622{,}88$ €.

Para practicar más

1. Fácil
Se depositan 3000 € al $2\ \%$ de interés compuesto anual durante 3 años. Haz la tabla año a año y comprueba el resultado con la fórmula.

Ver solución
3060 €; 3121,20 €; 3183,62 €.
Año 1: $3000 \cdot 1{,}02 = 3060$ €. Año 2: $3060 \cdot 1{,}02 = 3121{,}20$ €. Año 3: $3121{,}20 \cdot 1{,}02 = 3183{,}624 \approx 3183{,}62$ €. Fórmula: $3000 \cdot 1{,}02^3 = 3183{,}624 \approx 3183{,}62$ €. ✔
2. Fácil
Calcula el capital final de 15 000 € al $3{,}5\ \%$ de interés compuesto anual durante 6 años, y los intereses obtenidos.

Ver solución
18 438,83 €; intereses 3438,83 €.
$C_f = 15\,000 \cdot 1{,}035^6 \approx 18\,438{,}83$ €. Intereses: $18\,438{,}83 - 15\,000 = 3438{,}83$ €.
3. Media
Se depositan 5000 € al $4\ \%$ anual durante 15 años. Compara el capital final a interés simple y a interés compuesto.

Ver solución
Simple: 8000 €. Compuesto: 9004,72 €.
Simple: $I = \dfrac{5000 \cdot 4 \cdot 15}{100} = 3000$ € → $8000$ €. Compuesto: $5000 \cdot 1{,}04^{15} \approx 9004{,}72$ €. El compuesto da $1004{,}72$ € más.
4. Difícil
Para 10 000 € a 8 años, un banco ofrece un $3\ \%$ de interés simple y otro, un $2{,}7\ \%$ de interés compuesto. ¿Qué oferta es mejor?

Ver solución
La del 3 % simple (12 400 € frente a 12 375,52 €).
Simple: $I = \dfrac{10\,000 \cdot 3 \cdot 8}{100} = 2400$ € → $12\,400$ €. Compuesto: $10\,000 \cdot 1{,}027^8 \approx 12\,375{,}52$ €. En este caso es mejor la del interés simple, por 24,48 €: el compuesto no siempre gana si su rédito es menor y el plazo es corto.

El interés compuesto