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Matemáticas 3.º ESO · Interés compuesto

Interés compuesto con capitalización mensual o trimestral

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular el capital final con capitalización mensual, trimestral o semestral y el capital inicial necesario para reunir una cantidad.

Explicación

Capitalización mensual, trimestral…

Muchas veces los intereses no se suman al capital una vez al año, sino cada mes, cada trimestre o cada semestre. Si los intereses se capitalizan $n$ veces al año:

El tipo de cada periodo es $\dfrac{r}{n}\ \%$ (el rédito anual repartido entre los periodos).
En $t$ años hay $n \cdot t$ periodos.

$C_f = C \cdot \left(1 + \frac{r}{100 \cdot n}\right)^{n \cdot t}$

Capitalización	anual	semestral	trimestral	mensual
$n$	1	2	4	12

Con el mismo rédito anual, cuanto más a menudo se capitalizan los intereses, algo más se gana (los intereses empiezan antes a producir intereses).

Calcular el capital inicial

Si sabemos cuánto queremos tener al final, despejamos el capital inicial dividiendo: $C = \frac{C_f}{\left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^t}$ (con capitalización fraccionada, se divide entre $\left(1 + \dfrac{r}{100 \cdot n}\right)^{n \cdot t}$ ).

Puntos clave

Con $n$ capitalizaciones al año: tipo por periodo $\dfrac{r}{n}\ \%$ y $n \cdot t$ periodos.
$C_f = C \cdot \left(1 + \dfrac{r}{100 \cdot n}\right)^{n \cdot t}$ .
Capital inicial: $C = C_f$ dividido entre el índice total.
Con el mismo rédito, capitalizar más a menudo da un poco más.

Errores frecuentes

ErrorCon capitalización mensual, usar el rédito anual en cada mes.
Cómo corregirloEl 3,6 % es anual: cada mes se aplica $3{,}6 : 12 = 0{,}3\ \%$ .
ErrorCon capitalización mensual, elevar al número de años.
Cómo corregirloEl exponente es el número de periodos: en 2 años hay $12 \cdot 2 = 24$ meses.
ErrorPara hallar el capital inicial, multiplicar por $\left(1 - \dfrac{r}{100}\right)^t$ .
Cómo corregirloHay que dividir entre $\left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^t$ . Comprueba aplicando el interés a tu resultado.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Importa cada cuánto se pagan los intereses? numérico (comparar capitalizaciones)

Se depositan 5000 € al $4\ \%$ anual durante 3 años. Calcula el capital final si los intereses se capitalizan cada año, cada semestre, cada trimestre y cada mes.

Resolución

Capitalización	Tipo por periodo	Periodos	Capital final
Anual	$4\ \%$	3	$5000 \cdot 1{,}04^3 = 5624{,}32$ €
Semestral	$2\ \%$	6	$5000 \cdot 1{,}02^6 \approx 5630{,}81$ €
Trimestral	$1\ \%$	12	$5000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 5634{,}13$ €
Mensual	$\frac{4}{12}\ \%$	36	$5000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}04}{12}\right)^{36} \approx 5636{,}36$ €

Cuanto más frecuente es la capitalización, algo más se gana, pero la diferencia es pequeña: 12,04 € entre anual y mensual.

Ejemplo 2. Ahorrar para los estudios situación real (capital inicial)
Unos padres quieren tener 6000 € dentro de 5 años para los estudios de su hija. El banco les ofrece un depósito al $3\ \%$ de interés compuesto anual. ¿Cuánto tienen que depositar hoy?

Resolución
Buscamos $C$ tal que $C \cdot 1{,}03^5 = 6000$ : $C = \frac{6000}{1{,}03^5} \approx 5175{,}65\ \text{€}$ Comprobación: $5175{,}65 \cdot 1{,}03^5 \approx 6000$ €. ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Indica el tipo por periodo y el número de periodos: a) $6\ \%$ anual con capitalización mensual durante 2 años. b) $6\ \%$ anual con capitalización trimestral durante 3 años. c) $5\ \%$ anual con capitalización semestral durante 4 años.

Ver solución
a) 0,5 % mensual, 24 periodos. b) 1,5 % trimestral, 12 periodos. c) 2,5 % semestral, 8 periodos.
a) $6 : 12 = 0{,}5\ \%$ ; $\;12 \cdot 2 = 24$ meses. b) $6 : 4 = 1{,}5\ \%$ ; $\;4 \cdot 3 = 12$ trimestres. c) $5 : 2 = 2{,}5\ \%$ ; $\;2 \cdot 4 = 8$ semestres.
2. Media
Calcula el capital final de 8000 € al $3{,}6\ \%$ anual con capitalización mensual durante 2 años.

Ver solución
8596,32 €
Tipo mensual: $3{,}6 : 12 = 0{,}3\ \%$ ; 24 meses. $C_f = 8000 \cdot 1{,}003^{24} \approx 8596{,}32$ €.
3. Media
¿Qué capital hay que depositar hoy al $2{,}5\ \%$ de interés compuesto anual para tener 10 000 € dentro de 4 años?

Ver solución
9059,51 €
$C = \dfrac{10\,000}{1{,}025^4} \approx 9059{,}51$ €.
4. Difícil
Quieres tener 3000 € dentro de 2 años para comprarte un ordenador. Un banco te ofrece un $4\ \%$ anual con capitalización trimestral. ¿Cuánto tienes que depositar hoy?

Ver solución
2770,45 €
Tipo trimestral: $4 : 4 = 1\ \%$ ; periodos: $4 \cdot 2 = 8$ . $C = \dfrac{3000}{1{,}01^8} \approx 2770{,}45$ €.

Para practicar más

1. Fácil
Calcula el capital final de 2000 € al $6\ \%$ anual con capitalización trimestral durante 1 año.

Ver solución
2122,73 €
Tipo trimestral: $1{,}5\ \%$ ; 4 trimestres. $\;C_f = 2000 \cdot 1{,}015^4 \approx 2122{,}73$ €.
2. Media
Calcula el capital final de 12 000 € al $3\ \%$ anual con capitalización semestral durante 5 años, y los intereses ganados.

Ver solución
13 926,49 €; intereses 1926,49 €.
Tipo semestral: $1{,}5\ \%$ ; 10 semestres. $\;C_f = 12\,000 \cdot 1{,}015^{10} \approx 13\,926{,}49$ €. Intereses: $1926{,}49$ €.
3. Media
¿Qué capital hay que invertir hoy al $3{,}5\ \%$ de interés compuesto anual para tener 20 000 € dentro de 6 años?

Ver solución
16 270,01 €
$C = \dfrac{20\,000}{1{,}035^6} \approx 16\,270{,}01$ €.
4. Difícil
Para depositar 10 000 € durante 1 año, el banco A ofrece un $3{,}2\ \%$ anual con capitalización anual y el banco B, un $3{,}15\ \%$ anual con capitalización mensual. ¿Cuál conviene más?

Ver solución
El A, por muy poco: 10 320 € frente a 10 319,59 €.
A: $10\,000 \cdot 1{,}032 = 10\,320$ €. B: $10\,000 \cdot \left(1 + \dfrac{0{,}0315}{12}\right)^{12} \approx 10\,319{,}59$ €. Conviene el A, aunque solo por 41 céntimos: capitalizar cada mes no compensa del todo un rédito más bajo.