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Matemáticas 3.º ESO · Propiedades y simplificación de radicales

Radicales equivalentes y simplificación

Objetivo: Al terminar, sabrás escribir un radical como potencia de exponente fraccionario, reconocer y obtener radicales equivalentes y simplificar radicales dividiendo el índice y los exponentes entre su máximo común divisor.

Explicación

Un radical es una potencia

Un radical se puede escribir como una potencia de exponente fraccionario: el exponente del radicando va al numerador y el índice al denominador. $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} \qquad \text{por ejemplo: } \sqrt[3]{5^{2}} = 5^{\frac{2}{3}}, \quad \sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$

Radicales equivalentes

Dos radicales son equivalentes si valen lo mismo. Como $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{9}$ , también $\sqrt[3]{2^{2}} = \sqrt[6]{2^{4}} = \sqrt[9]{2^{6}}$ Regla: si se multiplican (o se dividen) el índice y el exponente del radicando por un mismo número, se obtiene un radical equivalente: $\sqrt[n]{a^{m}} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}$

Para saber si dos radicales son equivalentes, se escriben con la misma base como potencias y se comparan las fracciones de los exponentes.

Simplificar un radical

Simplificar es obtener el radical equivalente con el menor índice posible. Se dividen el índice y todos los exponentes del radicando entre su máximo común divisor: $\sqrt[6]{a^{4}} = \sqrt[6:2]{a^{4:2}} = \sqrt[3]{a^{2}} \qquad \sqrt[12]{2^{8} \cdot 3^{4}} = \sqrt[3]{2^{2} \cdot 3} = \sqrt[3]{12} \quad (\text{m.c.d.}(12, 8, 4) = 4)$ Si el radicando es un número, primero se descompone en factores primos: $\sqrt[8]{81} = \sqrt[8]{3^{4}} = \sqrt{3}$ .

Un radical es irreducible cuando el índice y los exponentes no tienen divisores comunes (su m.c.d. es 1).

Suponemos que las letras representan números positivos.

Puntos clave

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$ : el índice va al denominador.
Radicales equivalentes: $\sqrt[n]{a^{m}} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}$ (como las fracciones equivalentes).
Para comparar radicales, escríbelos con la misma base y compara los exponentes fraccionarios.
Para simplificar, divide el índice y todos los exponentes entre su m.c.d.
Si el radicando es un número, descomponlo antes en factores primos.

Errores frecuentes

ErrorDividir el índice y solo uno de los exponentes: $\sqrt[6]{2^{4} \cdot 3} = \sqrt[3]{2^{2} \cdot 3}$ .
Cómo corregirloHay que dividir todos los exponentes. Aquí el exponente de 3 es 1, así que el m.c.d. de 6, 4 y 1 es 1: el radical ya es irreducible.
ErrorSimplificar sin factorizar el radicando: $\sqrt[4]{9} = \sqrt{3}$ «porque 4 y 9…».
Cómo corregirloEscribe $9 = 3^{2}$ : $\sqrt[4]{3^{2}} = \sqrt{3}$ . El m.c.d. se busca entre el índice y los exponentes, no con el radicando.
ErrorPoner el índice en el numerador: $\sqrt[3]{5^{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$ .
Cómo corregirloEl índice va siempre abajo, como en la raíz: $\sqrt[3]{5^{2}} = 5^{\frac{2}{3}}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Valen lo mismo? comparar exponentes fraccionarios (y comprobar con la calculadora)
¿Son equivalentes estos pares de radicales? a) $\sqrt[3]{4}$ y $\sqrt[6]{16}$ b) $\sqrt{3}$ y $\sqrt[4]{27}$ c) $\sqrt[5]{x^{2}}$ y $\sqrt[15]{x^{6}}$

Resolución
a) $4 = 2^{2}$ y $16 = 2^{4}$ : $\sqrt[3]{2^{2}} = 2^{\frac{2}{3}}$ y $\sqrt[6]{2^{4}} = 2^{\frac{4}{6}} = 2^{\frac{2}{3}}$ . Sí son equivalentes. Con la calculadora: los dos dan $1{,}5874...$

b) $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ y $\sqrt[4]{27} = \sqrt[4]{3^{3}} = 3^{\frac{3}{4}}$ . Como $\dfrac{1}{2} \neq \dfrac{3}{4}$ , no son equivalentes ( $1{,}73$ frente a $2{,}28$ ).

c) $x^{\frac{2}{5}}$ y $x^{\frac{6}{15}} = x^{\frac{2}{5}}$ . Sí son equivalentes.
Ejemplo 2. Simplificar radicales numérico y algebraico
Simplifica: a) $\sqrt[6]{a^{4}}$ b) $\sqrt[8]{81}$ c) $\sqrt[12]{2^{8} \cdot 3^{4}}$ d) $\sqrt[10]{32}$ e) $\sqrt[9]{x^{6}\,y^{3}}$

Resolución
a) m.c.d. $(6, 4) = 2$ : $\sqrt[3]{a^{2}}$

b) $81 = 3^{4}$ ; m.c.d. $(8, 4) = 4$ : $\sqrt[2]{3^{1}} = \sqrt{3}$

c) m.c.d. $(12, 8, 4) = 4$ : $\sqrt[3]{2^{2} \cdot 3} = \sqrt[3]{12}$

d) $32 = 2^{5}$ ; m.c.d. $(10, 5) = 5$ : $\sqrt{2}$

e) m.c.d. $(9, 6, 3) = 3$ : $\sqrt[3]{x^{2}\,y}$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Escribe como potencia de exponente fraccionario: a) $\sqrt[5]{7^{3}}$ b) $\sqrt{11}$ c) $\sqrt[3]{a^{4}}$ . Escribe como radical: d) $2^{\frac{3}{4}}$ e) $5^{\frac{1}{3}}$

Ver solución
a) 7^(3/5) b) 11^(1/2) c) a^(4/3) d) ⁴√(2³) e) ∛5
a) $7^{\frac{3}{5}}$ b) $11^{\frac{1}{2}}$ c) $a^{\frac{4}{3}}$ d) $\sqrt[4]{2^{3}} = \sqrt[4]{8}$ e) $\sqrt[3]{5}$
2. Fácil
Escribe dos radicales equivalentes a cada uno: a) $\sqrt[3]{5}$ b) $\sqrt[4]{a^{3}}$

Ver solución
Por ejemplo: a) ⁶√25 y ⁹√125 b) ⁸√(a⁶) y ¹²√(a⁹)
Multiplicamos índice y exponente por 2 y por 3:

a) $\sqrt[6]{5^{2}} = \sqrt[6]{25}$ y $\sqrt[9]{5^{3}} = \sqrt[9]{125}$

b) $\sqrt[8]{a^{6}}$ y $\sqrt[12]{a^{9}}$
3. Media
Simplifica: a) $\sqrt[4]{9}$ b) $\sqrt[6]{8}$ c) $\sqrt[15]{x^{10}}$ d) $\sqrt[8]{2^{4} \cdot 5^{4}}$ e) $\sqrt[10]{3^{4} \cdot 7^{6}}$

Ver solución
a) √3 b) √2 c) ∛(x²) d) √10 e) ⁵√(3² · 7³)
a) $\sqrt[4]{3^{2}} = \sqrt{3}$ b) $\sqrt[6]{2^{3}} = \sqrt{2}$ c) m.c.d. 5: $\sqrt[3]{x^{2}}$ d) m.c.d. 4: $\sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{10}$ e) m.c.d. $(10, 4, 6) = 2$ : $\sqrt[5]{3^{2} \cdot 7^{3}}$
4. Media
¿Son equivalentes? Justifícalo. a) $\sqrt[4]{25}$ y $\sqrt{5}$ b) $\sqrt[3]{2}$ y $\sqrt[6]{8}$ c) $\sqrt[6]{a^{2}\,b^{4}}$ y $\sqrt[3]{a\,b^{2}}$

Ver solución
a) Sí b) No c) Sí
a) $\sqrt[4]{5^{2}} = 5^{\frac{2}{4}} = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$ . Sí.

b) $\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$ y $\sqrt[6]{2^{3}} = 2^{\frac{3}{6}} = 2^{\frac{1}{2}}$ . No.

c) Simplificando el primero (m.c.d. 2): $\sqrt[3]{a\,b^{2}}$ . Sí.

Para practicar más

1. Fácil
Escribe como potencia de exponente fraccionario: a) $\sqrt[7]{3^{2}}$ b) $\sqrt[3]{x^{5}}$ . Escribe como radical: c) $6^{\frac{2}{5}}$ d) $a^{\frac{3}{2}}$

Ver solución
a) 3^(2/7) b) x^(5/3) c) ⁵√36 d) √(a³)
a) $3^{\frac{2}{7}}$ b) $x^{\frac{5}{3}}$ c) $\sqrt[5]{6^{2}} = \sqrt[5]{36}$ d) $\sqrt{a^{3}}$
2. Media
Simplifica: a) $\sqrt[6]{49}$ b) $\sqrt[10]{a^{8}}$ c) $\sqrt[9]{27}$ d) $\sqrt[12]{5^{3} \cdot 2^{9}}$ e) $\sqrt[4]{x^{2}\,y^{6}}$

Ver solución
a) ∛7 b) ⁵√(a⁴) c) ∛3 d) ⁴√40 e) √(x·y³)
a) $\sqrt[6]{7^{2}} = \sqrt[3]{7}$ b) $\sqrt[5]{a^{4}}$ c) $\sqrt[9]{3^{3}} = \sqrt[3]{3}$ d) m.c.d. 3: $\sqrt[4]{5 \cdot 2^{3}} = \sqrt[4]{40}$ e) m.c.d. 2: $\sqrt{x\,y^{3}}$
3. Media
¿Cuáles de estos radicales son equivalentes a $\sqrt[3]{9}$ ? $\sqrt[6]{81}$ , $\sqrt[6]{27}$ , $\sqrt[9]{729}$ , $\sqrt[12]{6561}$

Ver solución
⁶√81, ⁹√729 y ¹²√6561 sí; ⁶√27 no.
$\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^{2}} = 3^{\frac{2}{3}}$ .

$\sqrt[6]{3^{4}} = 3^{\frac{4}{6}} = 3^{\frac{2}{3}}$ ✔; $\sqrt[6]{3^{3}} = 3^{\frac{1}{2}}$ ✘; $\sqrt[9]{3^{6}} = 3^{\frac{6}{9}} = 3^{\frac{2}{3}}$ ✔; $\sqrt[12]{3^{8}} = 3^{\frac{8}{12}} = 3^{\frac{2}{3}}$ ✔.
4. Difícil
Completa los huecos para que los radicales sean equivalentes: a) $\sqrt[3]{5} = \sqrt[12]{5^{\square}}$ b) $\sqrt[4]{a^{3}} = \sqrt[\square]{a^{15}}$ c) $\sqrt[6]{x^{\square}} = \sqrt[3]{x^{2}}$ d) $\sqrt[10]{3^{\square}} = \sqrt[5]{3^{3}}$

Ver solución
a) 4 b) 20 c) 4 d) 6
a) El índice se ha multiplicado por 4: exponente $1 \cdot 4 = 4$ .

b) El exponente se ha multiplicado por 5: índice $4 \cdot 5 = 20$ .

c) Índice $3 \cdot 2 = 6$ : exponente $2 \cdot 2 = 4$ .

d) Índice $5 \cdot 2 = 10$ : exponente $3 \cdot 2 = 6$ .