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Matemáticas 3.º ESO · Propiedades y simplificación de radicales

Extraer e introducir factores. Reducir a índice común

Objetivo: Al terminar, sabrás extraer factores de un radical, introducir factores dentro de él y reducir varios radicales a índice común para compararlos u ordenarlos.

Explicación

Extraer factores de un radical

Si un factor del radicando tiene un exponente mayor o igual que el índice, se puede sacar fuera. Se divide el exponente entre el índice: el cociente es el exponente del factor que sale y el resto, el del que se queda dentro. $\sqrt{72} = \sqrt{2^{3} \cdot 3^{2}} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ ( $3 : 2$ da cociente 1 y resto 1: sale un 2 y queda otro dentro; $2 : 2$ da cociente 1 y resto 0: sale el 3). $\sqrt[3]{2^{7} \cdot 5} = 2^{2}\,\sqrt[3]{2 \cdot 5} = 4\sqrt[3]{10} \qquad (7 : 3 = 2, \text{ resto } 1)$

Introducir factores en un radical

Es el proceso contrario: el factor de fuera entra elevado al índice: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^{2} \cdot 2} = \sqrt{18} \qquad 2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 5} = \sqrt[3]{40}$ Sirve, por ejemplo, para comparar radicales: $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$ es menor que $\sqrt{20}$ .

Reducir a índice común

Para comparar radicales de distinto índice (y, más adelante, para multiplicarlos), se buscan radicales equivalentes con el mismo índice:

El índice común es el m.c.m. de los índices.
En cada radical, se multiplican el índice y el exponente del radicando por el mismo número.

Ejemplo: ordenar $\sqrt{3}$ , $\sqrt[3]{2}$ y $\sqrt[4]{5}$ . El m.c.m. $(2, 3, 4) = 12$ : $\sqrt{3} = \sqrt[12]{3^{6}} = \sqrt[12]{729} \qquad \sqrt[3]{2} = \sqrt[12]{2^{4}} = \sqrt[12]{16} \qquad \sqrt[4]{5} = \sqrt[12]{5^{3}} = \sqrt[12]{125}$ Con el mismo índice, es mayor el que tiene mayor radicando: $\sqrt[3]{2} < \sqrt[4]{5} < \sqrt{3}$ .

Las letras representan números positivos.

Puntos clave

Para extraer: divide el exponente entre el índice; el cociente sale fuera y el resto se queda dentro.
Para introducir: el factor entra elevado al índice.
Índice común: el m.c.m. de los índices.
Con el mismo índice, es mayor el radical de mayor radicando.
Antes de extraer, descompón el radicando en factores primos.

Errores frecuentes

ErrorSacar el factor sin dividir el exponente: $\sqrt{2^{6}} = 2^{6}$ .
Cómo corregirloDivide el exponente entre el índice: $6 : 2 = 3$ , así que $\sqrt{2^{6}} = 2^{3} = 8$ .
ErrorSacar un factor cuyo exponente es menor que el índice: $\sqrt[3]{5^{2}} = 5\sqrt[3]{5}$ .
Cómo corregirloSolo sale si el exponente es mayor o igual que el índice. $\sqrt[3]{5^{2}}$ no se puede extraer.
ErrorIntroducir el factor sin elevarlo: $3\sqrt{2} = \sqrt{6}$ .
Cómo corregirloAl entrar, el factor se eleva al índice: $3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$ .
ErrorReducir a índice común cambiando solo el índice: $\sqrt{3} = \sqrt[6]{3}$ .
Cómo corregirloSi el índice se multiplica por 3, el exponente también: $\sqrt{3} = \sqrt[6]{3^{3}} = \sqrt[6]{27}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Sacar factores numérico y algebraico
Extrae todos los factores posibles: a) $\sqrt[3]{54}$ b) $\sqrt[4]{2^{9} \cdot 3^{5}}$ c) $\sqrt{a^{5}\,b^{2}}$

Resolución
a) $54 = 2 \cdot 3^{3}$ : $\sqrt[3]{2 \cdot 3^{3}} = 3\sqrt[3]{2}$

b) $9 : 4$ = 2, resto 1; $5 : 4$ = 1, resto 1: $\sqrt[4]{2^{9} \cdot 3^{5}} = 2^{2} \cdot 3 \cdot \sqrt[4]{2 \cdot 3} = 12\sqrt[4]{6}$

c) $5 : 2$ = 2, resto 1; $2 : 2$ = 1, resto 0: $\sqrt{a^{5}\,b^{2}} = a^{2}\,b\,\sqrt{a}$
Ejemplo 2. Comparar y ordenar radicales comparación (introducir factores e índice común)
a) ¿Qué número es mayor, $3\sqrt{5}$ o $5\sqrt{2}$ ? Responde sin calculadora. b) Ordena de menor a mayor: $\sqrt{2}$ , $\sqrt[3]{3}$ y $\sqrt[6]{6}$ .

Resolución
a) Introducimos los factores: $3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$ y $5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$ . Como $45 < 50$ , es mayor $5\sqrt{2}$ .

b) m.c.m. $(2, 3, 6) = 6$ : $\sqrt{2} = \sqrt[6]{2^{3}} = \sqrt[6]{8} \qquad \sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{3^{2}} = \sqrt[6]{9} \qquad \sqrt[6]{6}$ Orden: $\sqrt[6]{6} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$ . (Con la calculadora: $1{,}348 < 1{,}414 < 1{,}442$ .)

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Extrae todos los factores posibles: a) $\sqrt{12}$ b) $\sqrt{75}$ c) $\sqrt[3]{16}$ d) $\sqrt[3]{250}$ e) $\sqrt[4]{48}$

Ver solución
a) 2√3 b) 5√3 c) 2∛2 d) 5∛2 e) 2·⁴√3
a) $\sqrt{2^{2} \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ b) $\sqrt{3 \cdot 5^{2}} = 5\sqrt{3}$ c) $\sqrt[3]{2^{4}} = 2\sqrt[3]{2}$ d) $\sqrt[3]{2 \cdot 5^{3}} = 5\sqrt[3]{2}$ e) $\sqrt[4]{2^{4} \cdot 3} = 2\sqrt[4]{3}$
2. Media
Extrae todos los factores posibles: a) $\sqrt{x^{3}}$ b) $\sqrt[3]{a^{5}\,b^{3}}$ c) $\sqrt{2^{5} \cdot 3^{3} \cdot 5}$ d) $\sqrt[5]{3^{12}}$

Ver solución
a) x√x b) ab∛(a²) c) 12√30 d) 9·⁵√9
a) $x\sqrt{x}$

b) $5 : 3$ = 1, resto 2; $3 : 3$ = 1: $a\,b\,\sqrt[3]{a^{2}}$

c) $2^{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 5} = 12\sqrt{30}$

d) $12 : 5$ = 2, resto 2: $3^{2}\,\sqrt[5]{3^{2}} = 9\sqrt[5]{9}$
3. Media
a) Introduce los factores dentro del radical: $2\sqrt{3}$ ; $3\sqrt[3]{2}$ ; $2\sqrt[4]{5}$ ; $a\sqrt{b}$ b) Ordena de menor a mayor sin calculadora: $4\sqrt{3}$ , $3\sqrt{5}$ , $2\sqrt{11}$

Ver solución
a) √12; ∛54; ⁴√80; √(a²b) b) 2√11 < 3√5 < 4√3
a) $\sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$ ; $\sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{54}$ ; $\sqrt[4]{16 \cdot 5} = \sqrt[4]{80}$ ; $\sqrt{a^{2}\,b}$

b) $4\sqrt{3} = \sqrt{48}$ ; $3\sqrt{5} = \sqrt{45}$ ; $2\sqrt{11} = \sqrt{44}$ . Orden: $2\sqrt{11} < 3\sqrt{5} < 4\sqrt{3}$
4. Difícil
Reduce a índice común y ordena de menor a mayor: $\sqrt[3]{4}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt[6]{10}$

Ver solución
⁶√10 < ∛4 < √3
m.c.m. $(3, 2, 6) = 6$ : $\sqrt[3]{4} = \sqrt[6]{4^{2}} = \sqrt[6]{16}$ ; $\sqrt{3} = \sqrt[6]{3^{3}} = \sqrt[6]{27}$ ; $\sqrt[6]{10}$ .

Orden: $\sqrt[6]{10} < \sqrt[3]{4} < \sqrt{3}$

Para practicar más

1. Fácil
Extrae todos los factores posibles: a) $\sqrt{18}$ b) $\sqrt{200}$ c) $\sqrt[3]{24}$ d) $\sqrt[3]{375}$ e) $\sqrt[4]{162}$

Ver solución
a) 3√2 b) 10√2 c) 2∛3 d) 5∛3 e) 3·⁴√2
a) $\sqrt{2 \cdot 3^{2}} = 3\sqrt{2}$ b) $\sqrt{2^{3} \cdot 5^{2}} = 2 \cdot 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ c) $\sqrt[3]{2^{3} \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$ d) $\sqrt[3]{3 \cdot 5^{3}} = 5\sqrt[3]{3}$ e) $\sqrt[4]{2 \cdot 3^{4}} = 3\sqrt[4]{2}$
2. Media
Extrae todos los factores posibles: a) $\sqrt{a^{7}}$ b) $\sqrt[3]{x^{4}\,y^{6}}$ c) $\sqrt{2^{3} \cdot 3^{4} \cdot 7}$

Ver solución
a) a³√a b) xy²∛x c) 18√14
a) $7 : 2$ = 3, resto 1: $a^{3}\sqrt{a}$

b) $4 : 3$ = 1, resto 1; $6 : 3$ = 2: $x\,y^{2}\,\sqrt[3]{x}$

c) $2 \cdot 3^{2} \cdot \sqrt{2 \cdot 7} = 18\sqrt{14}$
3. Media
Un jardín cuadrado tiene un área de 50 m². Expresa la medida de su lado como un radical con los factores extraídos y calcula su perímetro (exacto y aproximado a las centésimas).

Ver solución
Lado: 5√2 m. Perímetro: 20√2 ≈ 28,28 m.
Lado: $l = \sqrt{50} = \sqrt{2 \cdot 5^{2}} = 5\sqrt{2}$ m.

Perímetro: $4 \cdot 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \approx 28{,}28$ m.
4. Difícil
Reduce a índice común y ordena de menor a mayor: $\sqrt{5}$ , $\sqrt[3]{11}$ , $\sqrt[4]{24}$

Ver solución
⁴√24 < ∛11 < √5
m.c.m. $(2, 3, 4) = 12$ : $\sqrt{5} = \sqrt[12]{5^{6}} = \sqrt[12]{15\,625} \qquad \sqrt[3]{11} = \sqrt[12]{11^{4}} = \sqrt[12]{14\,641} \qquad \sqrt[4]{24} = \sqrt[12]{24^{3}} = \sqrt[12]{13\,824}$ Orden: $\sqrt[4]{24} < \sqrt[3]{11} < \sqrt{5}$