¿Cuántas raíces tiene un número? Índice par e impar

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorDecir que $\sqrt[3]{-27}$ no existe porque el radicando es negativo.

  Cómo corregirloSolo los índices pares dan problemas con los negativos. $(-3)^{3} = -27$, así que $\sqrt[3]{-27} = -3$.

• ErrorEscribir $\sqrt[4]{-81} = -3$.

  Cómo corregirloComprueba: $(-3)^{4} = 81$, no $-81$. Con índice par y radicando negativo no hay raíz real.

• ErrorOlvidar la raíz negativa al resolver $x^{4} = 16$.

  Cómo corregirloCon exponente par, $2$ y $-2$ dan lo mismo: la ecuación tiene dos soluciones, $x = \pm 2$.

• ErrorConfundir $\sqrt{-9}$ con $-\sqrt{9}$.

  Cómo corregirlo$-\sqrt{9} = -3$ sí existe (es el opuesto de la raíz). $\sqrt{-9}$ no existe en los reales.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Clasificar antes de calcular numérico (clasificación)

   Indica cuántas raíces reales tiene cada radical y calcúlalas: a) $\sqrt[3]{-125}$ b) $\sqrt[4]{625}$ c) $\sqrt{-49}$ d) $\sqrt[5]{-\dfrac{1}{32}}$ e) $\sqrt[6]{0}$

   Resolución

   a) Índice impar, radicando negativo: una raíz negativa. $(-5)^{3} = -125$, así que la raíz es $-5$.

   b) Índice par, radicando positivo: dos raíces opuestas. $5^{4} = 625$, así que son $5$ y $-5$ ($\pm 5$).

   c) Índice par, radicando negativo: no tiene raíces reales.

   d) Índice impar, radicando negativo: una raíz. $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{5} = -\dfrac{1}{32}$, así que es $-\dfrac{1}{2}$.

   e) Radicando 0: la raíz es 0.

2. Ejemplo 2. Lo vemos en la gráfica gráfico

   La gráfica muestra las funciones $y = x^{3}$ e $y = x^{4}$ y las rectas horizontales $y = 16$, $y = -8$ e $y = -4$. Usa la gráfica para responder: a) ¿Cuántos números elevados a la cuarta dan 16? ¿Cuáles? b) ¿Cuántos números elevados al cubo dan $-8$? c) ¿Hay algún número que elevado a la cuarta dé $-4$? ¿Y elevado al cubo?

   Resolución

   a) La recta $y = 16$ corta a $y = x^{4}$ en dos puntos, de abscisas $x = -2$ y $x = 2$. Hay dos raíces cuartas de 16: $\pm 2$.

   b) La recta $y = -8$ corta a $y = x^{3}$ en un solo punto, $x = -2$: $\sqrt[3]{-8} = -2$.

   c) La curva $y = x^{4}$ está siempre por encima del eje horizontal (nunca toma valores negativos): la recta $y = -4$ no la corta, así que $\sqrt[4]{-4}$ no existe. En cambio, sí corta a $y = x^{3}$ en un punto (entre $-2$ y $-1$): $\sqrt[3]{-4} \approx -1{,}59$.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Calcula las raíces reales de cada radical (si existen): a) $\sqrt[3]{-27}$ b) $\sqrt[4]{81}$ c) $\sqrt{-4}$ d) $\sqrt[5]{-100\,000}$ e) $\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}}$ f) $\sqrt[6]{64}$

   Ver solución

   a) −3 b) ±3 c) No existe d) −10 e) −1/2 f) ±2

   a) $(-3)^{3} = -27$ → $-3$ b) $3^{4} = 81$ → $\pm 3$ c) Índice par y radicando negativo: no existe d) $(-10)^{5} = -100\,000$ → $-10$ e) $-\dfrac{1}{2}$ f) $2^{6} = 64$ → $\pm 2$

2. 2. Fácil

   Sin calcular, di cuántas raíces reales tiene cada radical y de qué signo son: a) $\sqrt[7]{-5}$ b) $\sqrt[8]{-3}$ c) $\sqrt[4]{10}$ d) $\sqrt[3]{0}$ e) $\sqrt[9]{2}$

   Ver solución

   a) Una, negativa b) Ninguna c) Dos, opuestas d) Una: 0 e) Una, positiva

   a) Índice impar, radicando negativo: una raíz negativa. b) Índice par, radicando negativo: ninguna. c) Índice par, radicando positivo: dos opuestas. d) Radicando 0: una, el 0. e) Índice impar, radicando positivo: una positiva.

3. 3. Media

   ¿Verdadero o falso? Justifícalo. a) $\sqrt[3]{-64} = -4$ b) $\sqrt[4]{-81} = -3$ c) Las raíces cuartas de $0{,}0016$ son $0{,}2$ y $-0{,}2$ d) $\sqrt{-9} = -3$ e) $\sqrt[5]{-243} = -3$

   Ver solución

   a) V b) F c) V d) F e) V

   a) Verdadero: $(-4)^{3} = -64$.

   b) Falso: $(-3)^{4} = 81$; con índice par y radicando negativo no hay raíz real.

   c) Verdadero: $0{,}2^{4} = 0{,}0016$ y $(-0{,}2)^{4} = 0{,}0016$.

   d) Falso: $(-3)^{2} = 9$, no $-9$; $\sqrt{-9}$ no existe en los reales.

   e) Verdadero: $(-3)^{5} = -243$.

4. 4. Difícil

   Resuelve estas ecuaciones (da todas las soluciones reales): a) $x^{3} = -125$ b) $x^{4} = 81$ c) $x^{6} = -64$ d) $x^{5} = \dfrac{1}{32}$ e) $2x^{4} = 32$

   Ver solución

   a) x = −5 b) x = ±3 c) Sin solución real d) x = 1/2 e) x = ±2

   a) $x = \sqrt[3]{-125} = -5$

   b) $x = \pm\sqrt[4]{81} = \pm 3$

   c) Ningún número elevado a 6 da un negativo: no tiene solución real.

   d) $x = \sqrt[5]{\dfrac{1}{32}} = \dfrac{1}{2}$

   e) $x^{4} = 16$ → $x = \pm 2$

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Calcula las raíces reales de cada radical (si existen): a) $\sqrt[3]{-1000}$ b) $\sqrt[4]{\dfrac{1}{16}}$ c) $\sqrt[6]{-1}$ d) $\sqrt[5]{-0{,}000\,01}$ e) $\sqrt{0{,}81}$

   Ver solución

   a) −10 b) ±1/2 c) No existe d) −0,1 e) ±0,9

   a) $-10$ b) $\pm\dfrac{1}{2}$ c) Índice par y radicando negativo: no existe d) $(-0{,}1)^{5} = -0{,}000\,01$ → $-0{,}1$ e) $\pm 0{,}9$

2. 2. Fácil

   Explica, sin calcular, cuántas raíces reales tiene cada radical: a) $\sqrt[4]{-7}$ b) $\sqrt[3]{-7}$ c) $\sqrt[4]{7}$ d) $\sqrt[10]{0}$

   Ver solución

   a) Ninguna b) Una (negativa) c) Dos (opuestas) d) Una (0)

   a) Índice par y radicando negativo: ninguna. b) Índice impar: una, negativa como el radicando. c) Índice par y radicando positivo: dos opuestas. d) Radicando 0: una, el 0.

3. 3. Media

   Escribe un número (distinto en cada apartado) que tenga: a) dos raíces cuartas reales; b) una única raíz cúbica, que sea negativa; c) ninguna raíz sexta real; d) una sola raíz cuadrada.

   Ver solución

   Por ejemplo: a) 81 b) −8 c) −1 d) 0

   a) Cualquier positivo, por ejemplo 81 (raíces $\pm 3$).

   b) Cualquier negativo, por ejemplo $-8$ (raíz $-2$).

   c) Cualquier negativo, por ejemplo $-1$: ningún número elevado a 6 da negativo.

   d) Solo el 0: $\sqrt{0} = 0$.

4. 4. Difícil

   Resuelve (da todas las soluciones reales): a) $x^{3} + 8 = 0$ b) $x^{4} - 625 = 0$ c) $x^{4} + 1 = 0$ d) $3x^{5} = -96$

   Ver solución

   a) x = −2 b) x = ±5 c) Sin solución real d) x = −2

   a) $x^{3} = -8$ → $x = -2$

   b) $x^{4} = 625$ → $x = \pm 5$

   c) $x^{4} = -1$: no tiene solución real.

   d) $x^{5} = -32$ → $x = -2$