Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

Matemáticas 3.º ESO · Suma, resta, producto y cociente de radicales

Suma, resta, producto y cociente de radicales

Objetivo: Al terminar, sabrás sumar y restar radicales semejantes (extrayendo antes factores si hace falta), multiplicar y dividir radicales del mismo índice y simplificar el resultado.

Explicación

Radicales semejantes

Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando (solo cambia el número que multiplica, el coeficiente): $3\sqrt{2}$ , $-5\sqrt{2}$ y $\dfrac{1}{4}\sqrt{2}$ son semejantes.

A veces no se ve a simple vista: $\sqrt{8}$ y $\sqrt{2}$ son semejantes porque $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ . Por eso, antes de sumar, extrae factores.

Suma y resta

Solo se pueden sumar o restar radicales semejantes: se suman o restan los coeficientes y se deja el mismo radical. $3\sqrt{5} + 7\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = (3 + 7 - 2)\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$ $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ Si no son semejantes, la suma se deja indicada: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ no es $\sqrt{5}$ (compruébalo: $1{,}41 + 1{,}73 = 3{,}14$ , y $\sqrt{5} \approx 2{,}24$ ).

Producto y cociente de radicales del mismo índice

Se multiplican (o dividen) los radicandos y se deja el mismo índice. Los coeficientes se multiplican (o dividen) entre sí: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \qquad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8} = 2 \qquad (3\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{6}) = 15\sqrt{12} = 15 \cdot 2\sqrt{3} = 30\sqrt{3}$ Al final, simplifica el resultado extrayendo factores.

Operaciones combinadas

Se respeta la jerarquía y se usa la propiedad distributiva igual que con números: $\sqrt{2}\,(\sqrt{6} + \sqrt{8}) = \sqrt{12} + \sqrt{16} = 2\sqrt{3} + 4$

Puntos clave

Radicales semejantes: mismo índice y mismo radicando.
Antes de sumar o restar, extrae factores para descubrir radicales semejantes.
Solo se suman los coeficientes de radicales semejantes; si no lo son, la suma se deja indicada.
Mismo índice: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ y $\sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a : b}$ .
Simplifica siempre el resultado final.

Errores frecuentes

ErrorSumar los radicandos: $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ o $\sqrt{9} + \sqrt{16} = \sqrt{25}$ .
Cómo corregirloLa suma no se reparte en la raíz: $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ , no 5. Solo se juntan radicales semejantes.
ErrorSumar también los radicandos de los semejantes: $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{6}$ .
Cómo corregirloEl radical no cambia, solo se suman los coeficientes: $7\sqrt{3}$ (igual que $2x + 5x = 7x$ ).
ErrorDejar sin simplificar: $\sqrt{6} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{90}$ .
Cómo corregirloExtrae factores al final: $\sqrt{90} = \sqrt{2 \cdot 3^{2} \cdot 5} = 3\sqrt{10}$ .
ErrorMultiplicar el coeficiente por el radicando: $3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 6}$ .
Cómo corregirloLos coeficientes se multiplican fuera y los radicandos dentro: $15\sqrt{12}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Sumar radicales: primero, extraer numérico
Calcula: a) $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - \sqrt{3}$ b) $\sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27}$ c) $\sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{54} + \sqrt[3]{2}$ d) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$

Resolución
a) Son semejantes: $(2 + 5 - 1)\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

b) Extraemos: $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ ; $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ ; $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ . $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

c) $\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^{4}} = 2\sqrt[3]{2}$ ; $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{2 \cdot 3^{3}} = 3\sqrt[3]{2}$ . $2\sqrt[3]{2} - 3\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} = 0$

d) No son semejantes: no se puede simplificar. Se deja $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ .
Ejemplo 2. Multiplicar y dividir numérico
Calcula y simplifica: a) $\sqrt{6} \cdot \sqrt{15}$ b) $(3\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{6})$ c) $\sqrt{72} : \sqrt{2}$ d) $\dfrac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[3]{3}}$

Resolución
a) $\sqrt{90} = \sqrt{2 \cdot 3^{2} \cdot 5} = 3\sqrt{10}$

b) $15\sqrt{12} = 15 \cdot 2\sqrt{3} = 30\sqrt{3}$

c) $\sqrt{\dfrac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6$

d) $\sqrt[3]{\dfrac{81}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$
Ejemplo 3. Un rectángulo con lados irracionales situación real (geometría)
Un cartel rectangular mide $\sqrt{45}$ dm de largo y $\sqrt{20}$ dm de ancho. a) Calcula su perímetro de forma exacta y aproximada (a las centésimas). b) Calcula su área.

Resolución
Simplificamos los lados: $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ dm y $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ dm.

a) $P = 2 \cdot (3\sqrt{5} + 2\sqrt{5}) = 2 \cdot 5\sqrt{5} = 10\sqrt{5} \approx 22{,}36$ dm.

b) $A = \sqrt{45} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{900} = 30$ dm².

Aunque los lados son irracionales, el área es un número entero.
Ejemplo 4. Operaciones combinadas algebraico (propiedad distributiva)
Calcula y simplifica: a) $\sqrt{2}\,(\sqrt{6} + \sqrt{8})$ b) $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})$

Resolución
a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{12} + \sqrt{16} = 2\sqrt{3} + 4$

b) Multiplicamos término a término: $2 \cdot 2 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 - 3 = 1$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula: a) $4\sqrt{7} - 9\sqrt{7} + 2\sqrt{7}$ b) $3\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{5} - 6\sqrt[3]{5}$ c) $\dfrac{1}{2}\sqrt{3} + \dfrac{3}{4}\sqrt{3}$ d) $2\sqrt{2} + 3\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{3}$

Ver solución
a) −3√7 b) −2∛5 c) (5/4)√3 d) √2 + 4√3
a) $(4 - 9 + 2)\sqrt{7} = -3\sqrt{7}$ b) $(3 + 1 - 6)\sqrt[3]{5} = -2\sqrt[3]{5}$ c) $\left(\dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4}\right)\sqrt{3} = \dfrac{5}{4}\sqrt{3}$ d) Agrupamos los semejantes: $(2 - 1)\sqrt{2} + (3 + 1)\sqrt{3} = \sqrt{2} + 4\sqrt{3}$
2. Media
Extrae factores y calcula: a) $\sqrt{50} - \sqrt{18} + \sqrt{8}$ b) $\sqrt{20} + \sqrt{45} - \sqrt{80}$ c) $\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{81} - \sqrt[3]{3}$ d) $2\sqrt{27} - 3\sqrt{12} + \sqrt{48}$

Ver solución
a) 4√2 b) √5 c) 4∛3 d) 4√3
a) $5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

b) $2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = \sqrt{5}$

c) $2\sqrt[3]{3} + 3\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{3} = 4\sqrt[3]{3}$

d) $2 \cdot 3\sqrt{3} - 3 \cdot 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
3. Fácil
Calcula y simplifica: a) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$ b) $\sqrt{10} \cdot \sqrt{15}$ c) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}$ d) $\sqrt{60} : \sqrt{5}$ e) $(4\sqrt{6}) : (2\sqrt{3})$

Ver solución
a) 6 b) 5√6 c) 4 d) 2√3 e) 2√2
a) $\sqrt{36} = 6$ b) $\sqrt{150} = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 5^{2}} = 5\sqrt{6}$ c) $\sqrt[3]{64} = 4$ d) $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ e) $2\sqrt{2}$
4. Media
Una ventana rectangular mide $\sqrt{32}$ dm de ancho y $\sqrt{8}$ dm de alto. Calcula su perímetro (exacto y aproximado a las centésimas) y su área.

Ver solución
Perímetro: 12√2 ≈ 16,97 dm. Área: 16 dm².
$\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ y $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ .

$P = 2 \cdot (4\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) = 12\sqrt{2} \approx 16{,}97$ dm.

$A = \sqrt{32} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{256} = 16$ dm².
5. Difícil
Calcula y simplifica: a) $\sqrt{3}\,(\sqrt{12} - \sqrt{3})$ b) $(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 1)$ c) $(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})$

Ver solución
a) 3 b) 3 + √5 c) 7
a) $\sqrt{36} - \sqrt{9} = 6 - 3 = 3$

b) $5 - \sqrt{5} + 2\sqrt{5} - 2 = 3 + \sqrt{5}$

c) $9 + 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 2 = 7$
6. Difícil
Calcula: a) $(\sqrt{12} + \sqrt{27}) : \sqrt{3}$ b) $(\sqrt{2} + \sqrt{8})^{2}$

Ver solución
a) 5 b) 18
a) Dividimos cada término: $\sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$ (o bien: $(2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) : \sqrt{3} = 5\sqrt{3} : \sqrt{3} = 5$ ).

b) Primero el paréntesis: $\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ . Después: $(3\sqrt{2})^{2} = 9 \cdot 2 = 18$ .

Para practicar más

1. Fácil
Calcula: a) $5\sqrt{11} - 8\sqrt{11} + \sqrt{11}$ b) $7\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2}$ c) $\sqrt{6} + 2\sqrt{5} - 3\sqrt{6} + \sqrt{5}$

Ver solución
a) −2√11 b) 5∛2 c) 3√5 − 2√6
a) $(5 - 8 + 1)\sqrt{11} = -2\sqrt{11}$ b) $5\sqrt[3]{2}$ c) $(2 + 1)\sqrt{5} + (1 - 3)\sqrt{6} = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{6}$
2. Media
Extrae factores y calcula: a) $\sqrt{98} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$ b) $\sqrt{63} + \sqrt{28} - \sqrt{7}$ c) $\sqrt[3]{40} - \sqrt[3]{135} + \sqrt[3]{320}$

Ver solución
a) 4√2 b) 4√7 c) 3∛5
a) $7\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

b) $3\sqrt{7} + 2\sqrt{7} - \sqrt{7} = 4\sqrt{7}$

c) $40 = 2^{3} \cdot 5$ ; $135 = 3^{3} \cdot 5$ ; $320 = 2^{6} \cdot 5$ : $2\sqrt[3]{5} - 3\sqrt[3]{5} + 4\sqrt[3]{5} = 3\sqrt[3]{5}$
3. Fácil
Calcula y simplifica: a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{50}$ b) $\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}$ c) $\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24}$ d) $\sqrt{90} : \sqrt{10}$ e) $(6\sqrt{15}) : (3\sqrt{5})$

Ver solución
a) 10 b) 7√6 c) 6 d) 3 e) 2√3
a) $\sqrt{100} = 10$ b) $\sqrt{294} = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 7^{2}} = 7\sqrt{6}$ c) $\sqrt[3]{216} = 6$ d) $\sqrt{9} = 3$ e) $2\sqrt{3}$
4. Media
Un patio rectangular mide $\sqrt{300}$ m de largo y $\sqrt{48}$ m de ancho. Calcula su perímetro (exacto y aproximado a las décimas) y su área.

Ver solución
Perímetro: 28√3 ≈ 48,5 m. Área: 120 m².
$\sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ m y $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ m.

$P = 2 \cdot (10\sqrt{3} + 4\sqrt{3}) = 28\sqrt{3} \approx 48{,}5$ m.

$A = \sqrt{300} \cdot \sqrt{48} = \sqrt{14\,400} = 120$ m².
5. Difícil
Calcula y simplifica: a) $\sqrt{2}\,(\sqrt{18} + \sqrt{8})$ b) $(2\sqrt{3} + 1)(2\sqrt{3} - 1)$ c) $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{3}$

Ver solución
a) 10 b) 11 c) 3√2 + √6
a) $\sqrt{36} + \sqrt{16} = 6 + 4 = 10$

b) $4 \cdot 3 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 1 = 12 - 1 = 11$

c) $\sqrt{18} + \sqrt{6} = 3\sqrt{2} + \sqrt{6}$