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Matemáticas 3.º ESO · Producto de radicales de distinto índice. Potencia y raíz de un radical

Radicales de distinto índice. Potencia y raíz de un radical

Objetivo: Al terminar, sabrás multiplicar y dividir radicales de distinto índice reduciéndolos a índice común, calcular potencias y raíces de radicales y simplificar el resultado.

Explicación

Producto y cociente de radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común (m.c.m. de los índices) y después se multiplican o dividen como radicales del mismo índice: $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{2^{3}} \cdot \sqrt[6]{3^{2}} = \sqrt[6]{8 \cdot 9} = \sqrt[6]{72}$ $\sqrt[3]{4} : \sqrt{2} = \sqrt[6]{4^{2}} : \sqrt[6]{2^{3}} = \sqrt[6]{\frac{16}{8}} = \sqrt[6]{2}$

Potencia de un radical

Para elevar un radical a una potencia, se eleva el radicando: $\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m} = \sqrt[n]{a^{m}} \qquad \left(\sqrt[3]{2}\right)^{5} = \sqrt[3]{2^{5}} = \sqrt[3]{32} = 2\sqrt[3]{4}$

Raíz de un radical

La raíz de una raíz es otra raíz cuyo índice es el producto de los índices: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a} \qquad \sqrt{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[6]{5}$ Si hay un factor fuera del radical interior, primero se introduce: $\sqrt{2\sqrt{2}} = \sqrt{\sqrt{2^{2} \cdot 2}} = \sqrt{\sqrt{8}} = \sqrt[4]{8}$ .

Otra forma: exponentes fraccionarios

Como $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$ , todas estas reglas son las propiedades de las potencias con exponentes fraccionarios. Cuando todos los radicales tienen la misma base, es lo más rápido: $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{2^{5}} = \sqrt[6]{32}$

Al terminar, simplifica siempre: extrae factores y reduce el índice si se puede.

Puntos clave

Distinto índice: reduce a índice común (m.c.m.) y después multiplica o divide.
Potencia de un radical: $\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$ .
Raíz de un radical: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$ .
Con la misma base, usar exponentes fraccionarios es más rápido.
Simplifica el resultado: extrae factores y reduce el índice.

Errores frecuentes

ErrorMultiplicar radicales de distinto índice sin reducirlos: $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[5]{6}$ o $\sqrt[6]{6}$ .
Cómo corregirloReduce primero a índice común multiplicando también los exponentes: $\sqrt[6]{2^{3}} \cdot \sqrt[6]{3^{2}} = \sqrt[6]{72}$ .
ErrorSumar los índices en la raíz de una raíz: $\sqrt{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[5]{5}$ .
Cómo corregirloLos índices se multiplican: $\sqrt[2 \cdot 3]{5} = \sqrt[6]{5}$ .
ErrorElevar el índice en vez del radicando: $\left(\sqrt[3]{2}\right)^{5} = \sqrt[15]{2}$ .
Cómo corregirloLa potencia afecta al radicando: $\sqrt[3]{2^{5}}$ .
ErrorEn $\sqrt{2\sqrt{2}}$ , dejar el 2 de fuera sin elevar: $\sqrt{\sqrt{4}}$ .
Cómo corregirloAl introducir el 2 en $\sqrt{2}$ se eleva al índice de ese radical: $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ , y entonces $\sqrt{\sqrt{8}} = \sqrt[4]{8}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Multiplicar y dividir con índices distintos numérico
Calcula y simplifica: a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3}$ b) $\sqrt[3]{4} : \sqrt{2}$ c) $\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt{2}$

Resolución
a) m.c.m. $(2, 3) = 6$ : $\sqrt[6]{2^{3}} \cdot \sqrt[6]{3^{2}} = \sqrt[6]{8 \cdot 9} = \sqrt[6]{72}$ (no se puede simplificar: $72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ ).

b) $\sqrt[6]{4^{2}} : \sqrt[6]{2^{3}} = \sqrt[6]{16 : 8} = \sqrt[6]{2}$

c) m.c.m. $(4, 2) = 4$ : $\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[4]{2^{2}} = \sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{2^{5}} = 2\sqrt[4]{2}$
Ejemplo 2. Potencias y raíces de radicales numérico
Calcula y simplifica: a) $\left(\sqrt[3]{2}\right)^{5}$ b) $\left(2\sqrt{3}\right)^{3}$ c) $\sqrt{\sqrt[3]{5}}$ d) $\sqrt{2\sqrt{2}}$

Resolución
a) $\sqrt[3]{2^{5}} = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2^{2}} = 2\sqrt[3]{4}$

b) Se elevan el coeficiente y el radical: $2^{3} \cdot \left(\sqrt{3}\right)^{3} = 8 \cdot \sqrt{27} = 8 \cdot 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$

c) $\sqrt[2 \cdot 3]{5} = \sqrt[6]{5}$

d) Introducimos el 2: $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ . Entonces $\sqrt{\sqrt{8}} = \sqrt[4]{8}$ .
Ejemplo 3. Atajo con exponentes fraccionarios algebraico (exponentes fraccionarios)
Calcula escribiendo los radicales como potencias: a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{2}$ b) $\dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[6]{3}}$

Resolución
a) $2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = 2^{1} = 2$

b) $\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^{2}} = 3^{\frac{2}{3}}$ : $\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{1}{6}}} = 3^{\frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{1}{6}} = 3^{\frac{6}{6}} = 3$
Ejemplo 4. La diagonal de un cubo situación real (geometría)
Un gran acuario con forma de cubo tiene un volumen de 2 m³. a) Expresa su arista como un radical. b) La diagonal de un cubo de arista $a$ mide $a\sqrt{3}$ . Expresa la diagonal del acuario como un solo radical y calcula su valor aproximado (a las centésimas). c) Calcula el área total de sus 6 caras (exacta y aproximada).

Resolución
a) $a = \sqrt[3]{2}$ m ( $\approx 1{,}26$ m).

b) $d = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt[6]{2^{2}} \cdot \sqrt[6]{3^{3}} = \sqrt[6]{4 \cdot 27} = \sqrt[6]{108} \approx 2{,}18$ m.

c) Cada cara mide $\left(\sqrt[3]{2}\right)^{2} = \sqrt[3]{4}$ m². Área total: $6\sqrt[3]{4} \approx 9{,}52$ m².

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Reduce a índice común y calcula: a) $\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{2}$ b) $\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[4]{2}$ c) $\sqrt{6} : \sqrt[3]{6}$ d) $\sqrt[4]{27} : \sqrt{3}$

Ver solución
a) ⁶√108 b) ¹²√5000 c) ⁶√6 d) ⁴√3
a) $\sqrt[6]{3^{3}} \cdot \sqrt[6]{2^{2}} = \sqrt[6]{27 \cdot 4} = \sqrt[6]{108}$

b) m.c.m. 12: $\sqrt[12]{5^{4}} \cdot \sqrt[12]{2^{3}} = \sqrt[12]{625 \cdot 8} = \sqrt[12]{5000}$

c) $\sqrt[6]{6^{3}} : \sqrt[6]{6^{2}} = \sqrt[6]{6}$

d) $\sqrt[4]{27} : \sqrt[4]{3^{2}} = \sqrt[4]{3}$
2. Media
Calcula y simplifica: a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4}$ b) $\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt{3}$ c) $\sqrt[4]{8} : \sqrt[3]{2}$

Ver solución
a) 2·⁶√2 b) 3·⁶√3 c) ¹²√32
a) $\sqrt[6]{2^{3}} \cdot \sqrt[6]{2^{4}} = \sqrt[6]{2^{7}} = 2\sqrt[6]{2}$

b) $\sqrt[6]{3^{4}} \cdot \sqrt[6]{3^{3}} = \sqrt[6]{3^{7}} = 3\sqrt[6]{3}$

c) m.c.m. 12: $\sqrt[12]{2^{9}} : \sqrt[12]{2^{4}} = \sqrt[12]{2^{5}} = \sqrt[12]{32}$
3. Fácil
Calcula y simplifica: a) $\left(\sqrt{5}\right)^{4}$ b) $\left(\sqrt[3]{3}\right)^{4}$ c) $\left(\sqrt[4]{2}\right)^{6}$ d) $\left(3\sqrt{2}\right)^{2}$

Ver solución
a) 25 b) 3∛3 c) 2√2 d) 18
a) $\sqrt{5^{4}} = 5^{2} = 25$ b) $\sqrt[3]{3^{4}} = 3\sqrt[3]{3}$ c) $\sqrt[4]{2^{6}} = 2\sqrt[4]{2^{2}} = 2\sqrt{2}$ d) $9 \cdot 2 = 18$
4. Media
Expresa como un solo radical: a) $\sqrt{\sqrt{7}}$ b) $\sqrt[3]{\sqrt{2}}$ c) $\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{x}}}$ d) $\sqrt{3\sqrt{3}}$

Ver solución
a) ⁴√7 b) ⁶√2 c) ²⁴√x d) ⁴√27
a) $\sqrt[4]{7}$ b) $\sqrt[6]{2}$ c) $\sqrt[2 \cdot 3 \cdot 4]{x} = \sqrt[24]{x}$ d) $3\sqrt{3} = \sqrt{27}$ , así que $\sqrt{\sqrt{27}} = \sqrt[4]{27}$
5. Media
En la escala musical que usan los pianos, al subir un semitono la frecuencia de la nota se multiplica por $\sqrt[12]{2}$ . a) ¿Por cuánto se multiplica la frecuencia al subir 12 semitonos (una octava)? b) ¿Y al subir 4 semitonos? ¿Y 6? Simplifica los radicales. c) El La central de un piano tiene una frecuencia de 440 Hz. ¿Qué frecuencia tiene el Do sostenido que está 4 semitonos más arriba? Redondea a las centésimas.

Ver solución
a) Por 2 b) Por ∛2 ≈ 1,26; por √2 ≈ 1,41 c) 440·∛2 ≈ 554,37 Hz
a) $\left(\sqrt[12]{2}\right)^{12} = \sqrt[12]{2^{12}} = 2$ : la frecuencia se duplica.

b) $\left(\sqrt[12]{2}\right)^{4} = \sqrt[12]{2^{4}} = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}26$ ; $\left(\sqrt[12]{2}\right)^{6} = \sqrt[12]{2^{6}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ .

c) $440 \cdot \sqrt[3]{2} \approx 554{,}37$ Hz.
6. Difícil
Calcula y simplifica: a) $\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2}\right)^{6}$ b) $\sqrt{2\sqrt[3]{4}}$ c) $\dfrac{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt{8}}{\sqrt[6]{2}}$

Ver solución
a) 32 b) ⁶√32 c) 4
a) $\left(2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}\right)^{6} = \left(2^{\frac{5}{6}}\right)^{6} = 2^{5} = 32$

b) $2\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 4} = \sqrt[3]{32}$ , así que $\sqrt{\sqrt[3]{32}} = \sqrt[6]{32}$

c) $\dfrac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{1}{6}}} = 2^{\frac{4}{6} + \frac{9}{6} - \frac{1}{6}} = 2^{\frac{12}{6}} = 2^{2} = 4$

Para practicar más

1. Fácil
Reduce a índice común y calcula: a) $\sqrt{5} \cdot \sqrt[3]{2}$ b) $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[4]{3}$ c) $\sqrt{10} : \sqrt[3]{10}$ d) $\sqrt[6]{32} : \sqrt[3]{2}$

Ver solución
a) ⁶√500 b) ¹²√2187 c) ⁶√10 d) √2
a) $\sqrt[6]{5^{3}} \cdot \sqrt[6]{2^{2}} = \sqrt[6]{500}$

b) $\sqrt[12]{3^{4}} \cdot \sqrt[12]{3^{3}} = \sqrt[12]{3^{7}} = \sqrt[12]{2187}$

c) $\sqrt[6]{10^{3}} : \sqrt[6]{10^{2}} = \sqrt[6]{10}$

d) $\sqrt[6]{32} : \sqrt[6]{2^{2}} = \sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{2^{3}} = \sqrt{2}$
2. Media
Calcula y simplifica: a) $\left(\sqrt[3]{5}\right)^{6}$ b) $\left(\sqrt{2}\right)^{5}$ c) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}$ d) $\sqrt{2\sqrt[3]{2}}$

Ver solución
a) 25 b) 4√2 c) ⁹√3 d) ∛4
a) $\sqrt[3]{5^{6}} = 5^{2} = 25$ b) $\sqrt{2^{5}} = 2^{2}\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ c) $\sqrt[9]{3}$ d) $2\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{16}$ , así que $\sqrt{\sqrt[3]{16}} = \sqrt[6]{16} = \sqrt[6]{2^{4}} = \sqrt[3]{2^{2}} = \sqrt[3]{4}$
3. Media
Una caja cúbica tiene un volumen de 9 dm³. Sabiendo que la diagonal de un cubo de arista $a$ mide $a\sqrt{3}$ : a) Expresa la arista como un radical y aproxímala a las centésimas. b) Expresa la diagonal como un solo radical simplificado y aproxímala a las centésimas.

Ver solución
a) ∛9 ≈ 2,08 dm b) 3·⁶√3 ≈ 3,60 dm
a) $a = \sqrt[3]{9} \approx 2{,}08$ dm.

b) $d = \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt{3} = \sqrt[6]{3^{4}} \cdot \sqrt[6]{3^{3}} = \sqrt[6]{3^{7}} = 3\sqrt[6]{3} \approx 3{,}60$ dm.
4. Difícil
Calcula y simplifica: a) $\left(\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{3}\right)^{6}$ b) $\dfrac{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt[3]{2}}$ c) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$

Ver solución
a) 243 b) ¹²√32 c) 2
a) $\left(3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}\right)^{6} = 3^{5} = 243$

b) $2^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = 2^{\frac{3}{12} + \frac{6}{12} - \frac{4}{12}} = 2^{\frac{5}{12}} = \sqrt[12]{32}$

c) $\sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^{6}} = 2$
5. Media
Calcula sin calculadora escribiendo las potencias como radicales: a) $8^{\frac{2}{3}}$ b) $16^{\frac{3}{4}}$ c) $5^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}}$

Ver solución
a) 4 b) 8 c) 5
a) $\sqrt[3]{8^{2}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^{2} = 2^{2} = 4$

b) $\sqrt[4]{16^{3}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^{3} = 2^{3} = 8$

c) $5^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = 5^{1} = 5$