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Matemáticas 3.º ESO · Logaritmos

Qué es un logaritmo

Objetivo: Al terminar, sabrás qué es el logaritmo de un número como exponente de una potencia, pasar de la forma exponencial a la logarítmica y al revés, y calcular logaritmos sencillos con resultado entero aplicando la definición.

Explicación

El logaritmo es un exponente

¿A qué número hay que elevar 2 para obtener 8? Como $2^{3} = 8$ , la respuesta es 3. Decimos que el logaritmo en base 2 de 8 es 3: $\log_{2} 8 = 3 \quad \text{porque} \quad 2^{3} = 8$

Definición. Si $a > 0$ y $a \neq 1$ , el logaritmo en base $a$ de un número $b > 0$ es el exponente $c$ al que hay que elevar $a$ para obtener $b$ : $\log_{a} b = c \iff a^{c} = b$

$a$ es la base y $b$ , el argumento.
Las dos igualdades dicen lo mismo: una en forma logarítmica y otra en forma exponencial.

Logaritmo decimal

El logaritmo en base 10 se llama logaritmo decimal y se escribe sin la base: $\log 1000 = 3$ porque $10^{3} = 1000$ . Es el que calcula la tecla log de la calculadora.

Logaritmos que salen siempre

$\log_{a} 1 = 0$ , porque $a^{0} = 1$ .
$\log_{a} a = 1$ , porque $a^{1} = a$ .
$\log_{a} a^{n} = n$ : por ejemplo, $\log_{5} 5^{4} = 4$ .

Cómo calcular un logaritmo por la definición

Escribe el argumento como potencia de la base: $\log_{3} 81 = \log_{3} 3^{4} = 4$ .

¿Existe siempre?

Como una potencia de base positiva siempre es positiva, no existe el logaritmo de un número negativo ni el de 0: $\log_{2}(-8)$ no existe.

Logaritmos que no son exactos

Muchas veces el argumento no es una potencia exacta de la base. Entonces podemos decir entre qué dos números enteros está el logaritmo, buscando las dos potencias de la base entre las que queda el argumento: $2^{4} = 16 < 20 < 32 = 2^{5} \;\Rightarrow\; 4 < \log_{2} 20 < 5$ (la calculadora da $\log_{2} 20 \approx 4{,}32$ ). Con el logaritmo decimal es aún más fácil: como $100 < 350 < 1000$ , $\log 350$ está entre 2 y 3.

Para todo esto viene muy bien tener a mano una tabla de potencias:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$2^{n}$	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
$3^{n}$	3	9	27	81	243	729	2187	6561
$5^{n}$	5	25	125	625	3125

Puntos clave

El logaritmo es un exponente: $\log_{a} b = c \iff a^{c} = b$ .
La base es positiva y distinta de 1; el argumento, positivo.
$\log$ sin base es el logaritmo decimal (base 10).
$\log_{a} 1 = 0$ , $\log_{a} a = 1$ y $\log_{a} a^{n} = n$ .
Para calcularlo, escribe el argumento como potencia de la base.
Si el argumento no es una potencia exacta de la base, el logaritmo está entre dos enteros: $4 < \log_{2} 20 < 5$ porque $2^{4} < 20 < 2^{5}$ .

Errores frecuentes

ErrorDividir el argumento entre la base: $\log_{2} 8 = 4$ .
Cómo corregirloEl logaritmo es el exponente, no un cociente: $2^{3} = 8$ , así que $\log_{2} 8 = 3$ .
ErrorPensar que $\log_{5} 1 = 1$ o que $\log_{5} 5 = 0$ .
Cómo corregirloRecuerda $5^{0} = 1$ y $5^{1} = 5$ : $\log_{5} 1 = 0$ y $\log_{5} 5 = 1$ .
ErrorConfundir base y argumento al pasar a forma exponencial: $\log_{2} 32 = 5 \Rightarrow 5^{2} = 32$ .
Cómo corregirloLa base del logaritmo es la base de la potencia: $2^{5} = 32$ .
ErrorCalcular logaritmos de números negativos: $\log_{2}(-8) = -3$ .
Cómo corregirlo $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$ , que es positivo. Ninguna potencia de 2 da un negativo: $\log_{2}(-8)$ no existe.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Calcular logaritmos por la definición numérico
Calcula: a) $\log_{2} 32$ b) $\log_{3} 81$ c) $\log 10\,000$ d) $\log_{5} 1$ e) $\log_{7} 7$ f) $\log_{4} 64$ g) $\log_{2}(-4)$

Resolución
a) $32 = 2^{5}$ → $\log_{2} 32 = 5$

b) $81 = 3^{4}$ → $\log_{3} 81 = 4$

c) $10\,000 = 10^{4}$ → $\log 10\,000 = 4$

d) $5^{0} = 1$ → $\log_{5} 1 = 0$

e) $7^{1} = 7$ → $\log_{7} 7 = 1$

f) $64 = 4^{3}$ → $\log_{4} 64 = 3$

g) No existe: ninguna potencia de 2 es negativa.
Ejemplo 2. Doblar un folio situación real (de la potencia al logaritmo)
Cada vez que doblamos un folio por la mitad, el número de capas se duplica: con 1 doblez hay 2 capas; con 2 dobleces, 4 capas; con $n$ dobleces, $2^{n}$ capas. a) ¿Cuántos dobleces hacen falta para tener 64 capas? Escríbelo con un logaritmo. b) ¿Y para tener 1024 capas?

Resolución
a) Buscamos $n$ tal que $2^{n} = 64$ , es decir, $n = \log_{2} 64$ . Como $64 = 2^{6}$ , hacen falta 6 dobleces.

b) $n = \log_{2} 1024$ . Como $1024 = 2^{10}$ , harían falta 10 dobleces (en la práctica, un folio no se puede doblar tantas veces).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Escribe en forma logarítmica: a) $3^{4} = 81$ b) $10^{2} = 100$ c) $5^{3} = 125$ d) $2^{0} = 1$ Escribe en forma exponencial: e) $\log_{6} 36 = 2$ f) $\log_{2} 128 = 7$

Ver solución
a) log₃ 81 = 4 b) log 100 = 2 c) log₅ 125 = 3 d) log₂ 1 = 0 e) 6² = 36 f) 2⁷ = 128
a) $\log_{3} 81 = 4$ b) $\log 100 = 2$ c) $\log_{5} 125 = 3$ d) $\log_{2} 1 = 0$ e) $6^{2} = 36$ f) $2^{7} = 128$
2. Fácil
Calcula: a) $\log_{2} 16$ b) $\log_{3} 27$ c) $\log_{5} 25$ d) $\log 100\,000$ e) $\log_{9} 9$ f) $\log_{8} 1$

Ver solución
a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 1 f) 0
a) $2^{4} = 16$ b) $3^{3} = 27$ c) $5^{2} = 25$ d) $10^{5} = 100\,000$ e) $9^{1} = 9$ f) $8^{0} = 1$
3. Media
Calcula, si existen: a) $\log_{2} 256$ b) $\log_{3} 243$ c) $\log_{4} 256$ d) $\log_{6} 216$ e) $\log 10^{7}$ f) $\log_{2}(-16)$

Ver solución
a) 8 b) 5 c) 4 d) 3 e) 7 f) No existe
a) $256 = 2^{8}$ → 8 b) $243 = 3^{5}$ → 5 c) $256 = 4^{4}$ → 4 d) $216 = 6^{3}$ → 3 e) 7 f) No existe: el argumento es negativo.
4. Media
Una bacteria se divide en dos cada 20 minutos, de modo que tras $n$ divisiones hay $2^{n}$ bacterias. Si empezamos con una bacteria, ¿cuántas divisiones hacen falta para tener 4096 bacterias? ¿Cuánto tiempo pasa?

Ver solución
12 divisiones; 240 min = 4 h
$2^{n} = 4096$ → $n = \log_{2} 4096 = 12$ , porque $4096 = 2^{12}$ .

Tiempo: $12 \cdot 20 = 240$ min $= 4$ h.

Para practicar más

1. Fácil
Escribe en forma logarítmica: a) $7^{2} = 49$ b) $2^{5} = 32$ c) $10^{6} = 1\,000\,000$ Escribe en forma exponencial: d) $\log_{4} 64 = 3$ e) $\log_{11} 121 = 2$

Ver solución
a) log₇ 49 = 2 b) log₂ 32 = 5 c) log 1 000 000 = 6 d) 4³ = 64 e) 11² = 121
a) $\log_{7} 49 = 2$ b) $\log_{2} 32 = 5$ c) $\log 1\,000\,000 = 6$ d) $4^{3} = 64$ e) $11^{2} = 121$
2. Fácil
Calcula: a) $\log_{2} 2$ b) $\log_{3} 729$ c) $\log_{5} 625$ d) $\log 1$ e) $\log_{7} 343$ f) $\log_{12} 144$

Ver solución
a) 1 b) 6 c) 4 d) 0 e) 3 f) 2
a) $2^{1} = 2$ b) $3^{6} = 729$ c) $5^{4} = 625$ d) $10^{0} = 1$ e) $7^{3} = 343$ f) $12^{2} = 144$
3. Media
¿Verdadero o falso? Corrige los falsos. a) $\log_{2} 8 = 4$ b) $\log_{5} 1 = 0$ c) $\log 10\,000 = 4$ d) $\log_{3}(-9) = -2$ e) $\log_{4} 4 = 0$

Ver solución
a) F (3) b) V c) V d) F (no existe) e) F (1)
a) Falso: $2^{3} = 8$ , así que vale 3. b) Verdadero: $5^{0} = 1$ . c) Verdadero: $10^{4} = 10\,000$ . d) Falso: no existe el logaritmo de un número negativo. e) Falso: $4^{1} = 4$ , así que vale 1.
4. Media
Un mensaje se difunde así: en el primer paso lo reciben 3 personas; cada una lo reenvía a 3 personas nuevas, y así sucesivamente. En el paso $n$ lo reciben $3^{n}$ personas nuevas. a) ¿En qué paso lo reciben 2187 personas nuevas? Escríbelo con un logaritmo. b) ¿Y 59 049 personas?

Ver solución
a) En el paso 7 b) En el paso 10
a) $3^{n} = 2187$ → $n = \log_{3} 2187 = 7$ , porque $3^{7} = 2187$ .

b) $n = \log_{3} 59\,049 = 10$ , porque $3^{10} = 59\,049$ .