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Matemáticas 3.º ESO · Raíces n-ésimas. Radicales

Raíz n-ésima de un número

Objetivo: Al terminar, sabrás qué es la raíz n-ésima de un número, identificar el índice y el radicando de un radical y calcular raíces exactas (también de fracciones y decimales) descomponiendo en factores primos.

Explicación

Qué es la raíz n-ésima

Igual que la raíz cuadrada deshace el cuadrado, la raíz n-ésima deshace la potencia de exponente $n$ : $\sqrt[n]{a} = b \quad \text{si} \quad b^{n} = a$ Por ejemplo, $\sqrt[3]{125} = 5$ porque $5^{3} = 125$ , y $\sqrt[4]{81} = 3$ porque $3^{4} = 81$ .

Elementos de un radical $\sqrt[n]{a}$ :

$n$ es el índice (si es 2, no se escribe: $\sqrt{a}$ );
$a$ es el radicando;
el resultado $b$ es la raíz.

La raíz de índice 3 se llama raíz cúbica; la de índice 4, raíz cuarta; la de índice 5, raíz quinta…

Raíces exactas: factorizar el radicando

Para calcular una raíz exacta, descompón el radicando en factores primos. La raíz es exacta si todos los exponentes son múltiplos del índice; entonces se dividen los exponentes entre el índice: $\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 3^{3}} = 2 \cdot 3 = 6 \qquad \sqrt[4]{2^{8} \cdot 5^{4}} = 2^{2} \cdot 5 = 20$

Raíces de fracciones y decimales

Se calcula la raíz del numerador y la del denominador. Los decimales se pasan antes a fracción: $\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3} \qquad \sqrt[4]{0{,}0016} = \sqrt[4]{\frac{16}{10\,000}} = \frac{2}{10} = 0{,}2$

Raíces no exactas

Si los exponentes no son múltiplos del índice, la raíz no es exacta. Podemos saber entre qué enteros está y calcularla con la calculadora: $\sqrt[3]{10}$ está entre 2 y 3, porque $2^{3} = 8 < 10 < 27 = 3^{3}$ ; la calculadora da $\sqrt[3]{10} \approx 2{,}15$ .

Puntos clave

$\sqrt[n]{a} = b$ significa que $b^{n} = a$ .
En $\sqrt[n]{a}$ , $n$ es el índice y $a$ el radicando.
Para calcular una raíz exacta, factoriza el radicando y divide los exponentes entre el índice.
La raíz de una fracción es la raíz del numerador entre la raíz del denominador.
Si una raíz no es exacta, se puede acotar entre dos enteros y aproximar con la calculadora.

Errores frecuentes

ErrorDividir el radicando entre el índice: $\sqrt[3]{27} = 9$ .
Cómo corregirloLa raíz no es una división. Busca el número que elevado al índice da el radicando: $3^{3} = 27$ , así que $\sqrt[3]{27} = 3$ .
ErrorDividir los exponentes entre el índice cuando no son múltiplos: $\sqrt[3]{2^{4}} = 2$ .
Cómo corregirloSi algún exponente no es múltiplo del índice, la raíz no es exacta: $\sqrt[3]{16} \approx 2{,}52$ .
ErrorEquivocarse al pasar decimales a fracción: $\sqrt[3]{0{,}008} = 0{,}02$ .
Cómo corregirlo $0{,}008 = \dfrac{8}{1000}$ , así que $\sqrt[3]{0{,}008} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2$ . Comprueba: $0{,}2^{3} = 0{,}008$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Raíces exactas factorizando numérico
Calcula: a) $\sqrt[3]{1728}$ b) $\sqrt[4]{1296}$ c) $\sqrt[5]{\dfrac{1}{243}}$ d) $\sqrt[3]{0{,}027}$

Resolución
a) $1728 = 2^{6} \cdot 3^{3}$ . Los exponentes 6 y 3 son múltiplos de 3: $\sqrt[3]{2^{6} \cdot 3^{3}} = 2^{2} \cdot 3 = 12$ .

b) $1296 = 2^{4} \cdot 3^{4}$ : $\sqrt[4]{2^{4} \cdot 3^{4}} = 2 \cdot 3 = 6$ .

c) $243 = 3^{5}$ : $\sqrt[5]{\dfrac{1}{3^{5}}} = \dfrac{1}{3}$ .

d) $0{,}027 = \dfrac{27}{1000} = \dfrac{3^{3}}{10^{3}}$ : $\sqrt[3]{0{,}027} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$ .

Comprobación de a): $12^{3} = 1728$ ✔.
Ejemplo 2. La arista de un depósito situación real (geometría)
a) Un depósito de agua con forma de cubo tiene una capacidad de 3 375 litros, es decir, $3{,}375$ m³. ¿Cuánto mide su arista? b) Una baldosa cuadrada tiene un área de 2 m². ¿Cuánto mide su lado? ¿Es exacto?

Resolución
a) El volumen de un cubo es $V = a^{3}$ , así que $a = \sqrt[3]{V}$ : $a = \sqrt[3]{3{,}375} = \sqrt[3]{\frac{3375}{1000}} = \sqrt[3]{\frac{3^{3} \cdot 5^{3}}{10^{3}}} = \frac{15}{10} = 1{,}5\ \text{m}$

b) El área de un cuadrado es $A = l^{2}$ , así que $l = \sqrt{2}$ m. No es exacto: $\sqrt{2}$ está entre 1 y 2, y con la calculadora $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ m.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula mentalmente y justifica con una potencia: a) $\sqrt[3]{64}$ b) $\sqrt[4]{16}$ c) $\sqrt[5]{100\,000}$ d) $\sqrt[6]{1}$ e) $\sqrt[3]{1000}$ f) $\sqrt{0{,}49}$

Ver solución
a) 4 b) 2 c) 10 d) 1 e) 10 f) 0,7
a) $4^{3} = 64$ b) $2^{4} = 16$ c) $10^{5} = 100\,000$ d) $1^{6} = 1$ e) $10^{3} = 1000$ f) $0{,}7^{2} = 0{,}49$
2. Fácil
Calcula descomponiendo el radicando en factores primos: a) $\sqrt[3]{2744}$ b) $\sqrt[4]{20\,736}$ c) $\sqrt[5]{3125}$ d) $\sqrt[6]{4096}$

Ver solución
a) 14 b) 12 c) 5 d) 4
a) $2744 = 2^{3} \cdot 7^{3}$ → $2 \cdot 7 = 14$

b) $20\,736 = 2^{8} \cdot 3^{4}$ → $2^{2} \cdot 3 = 12$

c) $3125 = 5^{5}$ → $5$

d) $4096 = 2^{12}$ → $2^{2} = 4$
3. Media
Calcula: a) $\sqrt[3]{\dfrac{27}{64}}$ b) $\sqrt[4]{\dfrac{16}{81}}$ c) $\sqrt[3]{0{,}008}$ d) $\sqrt[4]{0{,}0081}$

Ver solución
a) 3/4 b) 2/3 c) 0,2 d) 0,3
a) $\dfrac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}} = \dfrac{3}{4}$ b) $\dfrac{2}{3}$ c) $\sqrt[3]{\dfrac{8}{1000}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2$ d) $\sqrt[4]{\dfrac{81}{10\,000}} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$
4. Media
Estas raíces no son exactas. Indica entre qué dos números enteros está cada una y después calcúlala con la calculadora, redondeando a las centésimas: a) $\sqrt[3]{50}$ b) $\sqrt[4]{100}$ c) $\sqrt[5]{1000}$

Ver solución
a) Entre 3 y 4; 3,68 b) Entre 3 y 4; 3,16 c) Entre 3 y 4; 3,98
a) $3^{3} = 27 < 50 < 64 = 4^{3}$ ; $\sqrt[3]{50} \approx 3{,}68$

b) $3^{4} = 81 < 100 < 256 = 4^{4}$ ; $\sqrt[4]{100} \approx 3{,}16$

c) $3^{5} = 243 < 1000 < 1024 = 4^{5}$ ; $\sqrt[5]{1000} \approx 3{,}98$ (muy cerca de 4)

Para practicar más

1. Fácil
Calcula y comprueba con una potencia: a) $\sqrt[3]{512}$ b) $\sqrt[4]{256}$ c) $\sqrt[5]{243}$ d) $\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}$ e) $\sqrt{1{,}21}$

Ver solución
a) 8 b) 4 c) 3 d) 1/2 e) 1,1
a) $8^{3} = 512$ b) $4^{4} = 256$ c) $3^{5} = 243$ d) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} = \dfrac{1}{8}$ e) $1{,}1^{2} = 1{,}21$
2. Media
Calcula descomponiendo en factores primos: a) $\sqrt[3]{5832}$ b) $\sqrt[4]{50\,625}$ c) $\sqrt[5]{7776}$

Ver solución
a) 18 b) 15 c) 6
a) $5832 = 2^{3} \cdot 3^{6}$ → $2 \cdot 3^{2} = 18$

b) $50\,625 = 3^{4} \cdot 5^{4}$ → $3 \cdot 5 = 15$

c) $7776 = 2^{5} \cdot 3^{5}$ → $2 \cdot 3 = 6$
3. Media
Una caja con forma de cubo tiene un volumen de $0{,}512$ m³. ¿Cuánto mide su arista? ¿Cuál es el área de una de sus caras?

Ver solución
Arista: 0,8 m. Área de una cara: 0,64 m².
$a = \sqrt[3]{0{,}512} = \sqrt[3]{\dfrac{512}{1000}} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8$ m. Comprobación: $0{,}8^{3} = 0{,}512$ ✔.

Área de una cara: $0{,}8^{2} = 0{,}64$ m².
4. Difícil
a) ¿Entre qué dos enteros está $\sqrt[4]{200}$ ? b) Halla el número $x$ en cada caso: $\sqrt[3]{x} = 1{,}2$ ; $\sqrt[4]{x} = \dfrac{2}{3}$

Ver solución
a) Entre 3 y 4 b) x = 1,728; x = 16/81
a) $3^{4} = 81 < 200 < 256 = 4^{4}$ : está entre 3 y 4.

b) Por la definición, $x$ es la potencia: $x = 1{,}2^{3} = 1{,}728$ ; $x = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{4} = \dfrac{16}{81}$ .