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Matemáticas 3.º ESO · Notación científica. Operaciones

Recuerda: la notación científica

Objetivo: Al terminar, sabrás cómo se escribe un número en notación científica, pasar de forma decimal a notación científica y al revés, interpretar y comparar cantidades muy grandes y muy pequeñas escritas así, e introducir y leer estos números en la calculadora.

Recuerda

Notación científica

Para escribir cómodamente números muy grandes o muy pequeños se usa la notación científica: $a \cdot 10^{n} \qquad \text{con } 1 \le a < 10 \text{ y } n \text{ entero}$

$a$ es un número con una sola cifra entera distinta de 0 (por ejemplo, 3,7 o 8).
$n$ es el orden de magnitud: positivo si el número es grande (mayor o igual que 10) y negativo si es menor que 1.

¿Por qué funciona?

Multiplicar por $10^{n}$ mueve la coma $n$ lugares a la derecha, y multiplicar por $10^{-n}$ (que es dividir entre $10^{n}$ ) la mueve $n$ lugares a la izquierda: $5{,}23 \cdot 10^{7} = 5{,}23 \cdot 10\,000\,000 = 52\,300\,000 \qquad 4{,}6 \cdot 10^{-4} = 4{,}6 \cdot 0{,}0001 = 0{,}000\,46$

De forma decimal a notación científica

Desplaza la coma hasta que quede una sola cifra entera distinta de 0 y cuenta los lugares:

$52\,300\,000 = 5{,}23 \cdot 10^{7}$ (la coma se mueve 7 lugares a la izquierda: exponente $+7$ ).
$0{,}000\,46 = 4{,}6 \cdot 10^{-4}$ (la coma se mueve 4 lugares a la derecha: exponente $-4$ ).

De notación científica a forma decimal

Se mueve la coma tantos lugares como indica el exponente: hacia la derecha si es positivo y hacia la izquierda si es negativo (rellenando con ceros): $3{,}1 \cdot 10^{5} = 310\,000 \qquad 2{,}05 \cdot 10^{-3} = 0{,}002\,05$

Comparar números en notación científica

Es mayor el que tiene mayor exponente (si los dos son positivos).
Si los exponentes son iguales, se comparan las cifras de delante: $4{,}2 \cdot 10^{6} > 3{,}9 \cdot 10^{6}$ .

Interpretar las cantidades

Cada unidad más en el exponente multiplica por 10: $10^{8}$ es 1 000 veces $10^{5}$ .
Nombres de los números grandes en español: un millón $= 10^{6}$ ; mil millones $= 10^{9}$ ; un billón $= 10^{12}$ (un millón de millones). Cuidado: en inglés, billion son mil millones ( $10^{9}$ ).
Para los pequeños: una milésima $= 10^{-3}$ ; una millonésima $= 10^{-6}$ .

En la calculadora

La calculadora usa punto decimal en vez de coma y, cuando un resultado no cabe, lo muestra en notación científica: en la pantalla puede aparecer «4.5×10⁻⁷» o, en modelos más antiguos, «4.5E-07» o «4.5 -07». Todos significan $4{,}5 \cdot 10^{-7}$ .

Para introducir un número en notación científica se usa la tecla «×10ˣ» (en algunos modelos, «EXP»): $3{,}2 \cdot 10^{-5}$ se teclea «3.2 ×10ˣ (−) 5». No hay que teclear «× 10» antes: la tecla ya incluye el 10.

Puntos clave

Notación científica: $a \cdot 10^{n}$ con $1 \le a < 10$ y $n$ entero.
Números grandes: exponente positivo; números menores que 1: exponente negativo.
El exponente indica cuántos lugares se mueve la coma.
Para comparar, primero el exponente y después la parte decimal.
La calculadora usa punto decimal y muestra la potencia de 10 como «×10ⁿ» o «E».
Un millón $= 10^{6}$ , mil millones $= 10^{9}$ , un billón $= 10^{12}$ .

Errores frecuentes

ErrorEscribir números como $25 \cdot 10^{4}$ o $0{,}6 \cdot 10^{-2}$ .
Cómo corregirloDelante solo puede haber una cifra entera distinta de 0: $2{,}5 \cdot 10^{5}$ y $6 \cdot 10^{-3}$ .
ErrorEquivocarse en el signo del exponente: $0{,}0003 = 3 \cdot 10^{4}$ .
Cómo corregirloSi el número es menor que 1, el exponente es negativo: $3 \cdot 10^{-4}$ .
ErrorMirar el exponente sin su signo: creer que $2 \cdot 10^{-4}$ es mayor que $5 \cdot 10^{-3}$ porque 4 > 3.
Cómo corregirloCompara exponentes con su signo: $-3 > -4$ , así que $5 \cdot 10^{-3} > 2 \cdot 10^{-4}$ (0,005 frente a 0,0002).
ErrorTeclear «3.2 × 10 ×10ˣ (−) 5» para introducir $3{,}2 \cdot 10^{-5}$ .
Cómo corregirloLa tecla «×10ˣ» ya lleva el 10: así se calcula $3{,}2 \cdot 10 \cdot 10^{-5} = 3{,}2 \cdot 10^{-4}$ . Teclea «3.2 ×10ˣ (−) 5».

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. De lo enorme a lo diminuto situación real
Escribe en notación científica estos datos aproximados: a) La distancia media de la Tierra al Sol es de unos 150 000 000 km. b) El diámetro de un glóbulo rojo es de unos 0,000 007 m. c) El tamaño de un átomo es de unos 0,000 000 000 1 m.

Resolución
a) $150\,000\,000 = 1{,}5 \cdot 10^{8}$ km (la coma se mueve 8 lugares a la izquierda).

b) $0{,}000\,007 = 7 \cdot 10^{-6}$ m (la coma se mueve 6 lugares a la derecha).

c) $0{,}000\,000\,000\,1 = 1 \cdot 10^{-10} = 10^{-10}$ m (10 lugares a la derecha).
Ejemplo 2. Leer la calculadora y ordenar calculadora y comparación
a) Al hacer una división, la calculadora muestra «4.5×10⁻⁷». Escribe el resultado en notación científica y en forma decimal. b) Ordena de menor a mayor: $3{,}2 \cdot 10^{5}$ ; $9{,}8 \cdot 10^{4}$ ; $3{,}02 \cdot 10^{5}$ ; $1{,}5 \cdot 10^{-2}$ ; $8 \cdot 10^{-3}$

Resolución
a) $4{,}5 \cdot 10^{-7} = 0{,}000\,000\,45$

b) Primero miramos los exponentes: $-3 < -2 < 4 < 5$ . Los dos de exponente 5 se ordenan por la parte decimal: $3{,}02 < 3{,}2$ . $8 \cdot 10^{-3} < 1{,}5 \cdot 10^{-2} < 9{,}8 \cdot 10^{4} < 3{,}02 \cdot 10^{5} < 3{,}2 \cdot 10^{5}$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Escribe en notación científica: a) 45 000 000 b) 0,000 32 c) 7 090 000 000 d) 0,000 000 8 e) 123,4 f) 0,05

Ver solución
a) 4,5 · 10⁷ b) 3,2 · 10⁻⁴ c) 7,09 · 10⁹ d) 8 · 10⁻⁷ e) 1,234 · 10² f) 5 · 10⁻²
a) $4{,}5 \cdot 10^{7}$ b) $3{,}2 \cdot 10^{-4}$ c) $7{,}09 \cdot 10^{9}$ d) $8 \cdot 10^{-7}$ e) $1{,}234 \cdot 10^{2}$ f) $5 \cdot 10^{-2}$
2. Fácil
Escribe en forma decimal: a) $2{,}7 \cdot 10^{5}$ b) $6{,}02 \cdot 10^{-3}$ c) $9 \cdot 10^{-6}$ d) $1{,}08 \cdot 10^{8}$

Ver solución
a) 270 000 b) 0,006 02 c) 0,000 009 d) 108 000 000
a) Coma 5 lugares a la derecha: $270\,000$ . b) 3 lugares a la izquierda: $0{,}006\,02$ . c) $0{,}000\,009$ . d) $108\,000\,000$ .
3. Media
Ordena de menor a mayor: $5{,}1 \cdot 10^{-3}$ ; $4{,}9 \cdot 10^{-2}$ ; $6 \cdot 10^{-3}$ ; $1{,}2 \cdot 10^{2}$ ; $9{,}9 \cdot 10^{1}$

Ver solución
5,1 · 10⁻³ < 6 · 10⁻³ < 4,9 · 10⁻² < 9,9 · 10¹ < 1,2 · 10²
Por exponentes: $-3 < -2 < 1 < 2$ . Los dos de exponente $-3$ : $5{,}1 < 6$ . $5{,}1 \cdot 10^{-3} < 6 \cdot 10^{-3} < 4{,}9 \cdot 10^{-2} < 9{,}9 \cdot 10^{1} < 1{,}2 \cdot 10^{2}$

Para practicar más

1. Fácil
Escribe en notación científica estos datos aproximados: a) La Comunidad de Madrid tiene unos 7 000 000 habitantes. b) Su superficie es de unos 8 000 km², es decir, unos 8 000 000 000 m². c) Una hoja de papel tiene un grosor de unos 0,000 1 m. d) Un grano de sal pesa unos 0,000 06 g.

Ver solución
a) 7 · 10⁶ b) 8 · 10⁹ m² c) 10⁻⁴ m d) 6 · 10⁻⁵ g
a) $7 \cdot 10^{6}$ habitantes b) $8 \cdot 10^{9}$ m² c) $1 \cdot 10^{-4} = 10^{-4}$ m d) $6 \cdot 10^{-5}$ g
2. Fácil
Una calculadora muestra estos resultados. Escríbelos en notación científica (con coma decimal) y en forma decimal: a) «1.2×10⁷» b) «5.03×10⁻⁵» c) «8×10⁻¹»

Ver solución
a) 1,2 · 10⁷ = 12 000 000 b) 5,03 · 10⁻⁵ = 0,000 050 3 c) 8 · 10⁻¹ = 0,8
a) $1{,}2 \cdot 10^{7} = 12\,000\,000$ b) $5{,}03 \cdot 10^{-5} = 0{,}000\,050\,3$ c) $8 \cdot 10^{-1} = 0{,}8$
3. Media
¿Están bien escritos en notación científica? Corrige los que no lo estén: a) $12{,}5 \cdot 10^{4}$ b) $0{,}7 \cdot 10^{-3}$ c) $3{,}9 \cdot 10^{-2}$ d) $10 \cdot 10^{6}$

Ver solución
a) No: 1,25 · 10⁵ b) No: 7 · 10⁻⁴ c) Sí d) No: 10⁷
a) 12,5 tiene dos cifras enteras: $12{,}5 \cdot 10^{4} = 1{,}25 \cdot 10 \cdot 10^{4} = 1{,}25 \cdot 10^{5}$ .

b) 0,7 no tiene cifra entera distinta de 0: $0{,}7 \cdot 10^{-3} = 7 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-3} = 7 \cdot 10^{-4}$ .

c) Correcto.

d) $10 \cdot 10^{6} = 10^{7}$ (es decir, $1 \cdot 10^{7}$ ).