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Matemáticas 3.º ESO · Notación científica. Operaciones

Operaciones en notación científica

Objetivo: Al terminar, sabrás multiplicar, dividir, sumar y restar a mano números en notación científica y ajustar el resultado para que quede bien escrito en esta notación.

Explicación

Multiplicar y dividir

Se operan por separado las partes decimales y las potencias de 10 (propiedades de las potencias): (a⋅10m)⋅(b⋅10n)=(a⋅b)⋅10m+n(a⋅10m):(b⋅10n)=(a:b)⋅10m−n(a \cdot 10^{m}) \cdot (b \cdot 10^{n}) = (a \cdot b) \cdot 10^{m+n} \qquad (a \cdot 10^{m}) : (b \cdot 10^{n}) = (a : b) \cdot 10^{m-n}

Ejemplo: (4⋅103)⋅(3⋅10−5)=12⋅10−2(4 \cdot 10^{3}) \cdot (3 \cdot 10^{-5}) = 12 \cdot 10^{-2}.

Ajustar el resultado. 12⋅10−212 \cdot 10^{-2} no está en notación científica (12 tiene dos cifras enteras). Se corrige la parte decimal y se compensa en el exponente:

  • Si la parte decimal es 10 o más: 12⋅10−2=1,2⋅101⋅10−2=1,2⋅10−112 \cdot 10^{-2} = 1{,}2 \cdot 10^{1} \cdot 10^{-2} = 1{,}2 \cdot 10^{-1} (el exponente sube).
  • Si es menor que 1: 0,5⋅106=5⋅10−1⋅106=5⋅1050{,}5 \cdot 10^{6} = 5 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{6} = 5 \cdot 10^{5} (el exponente baja).

Sumar y restar

Solo se pueden sumar directamente si tienen el mismo exponente. Se escribe el de menor exponente con el exponente del otro: 3,2⋅105+4⋅104=3,2⋅105+0,4⋅105=3,6⋅1053{,}2 \cdot 10^{5} + 4 \cdot 10^{4} = 3{,}2 \cdot 10^{5} + 0{,}4 \cdot 10^{5} = 3{,}6 \cdot 10^{5} Al pasar de 10410^{4} a 10510^{5} (exponente una unidad mayor), la coma de 4 se mueve un lugar a la izquierda: 0,4. Al final se ajusta si hace falta.

Potencias

Se eleva cada factor: (a⋅10n)k=ak⋅10n⋅k(a \cdot 10^{n})^{k} = a^{k} \cdot 10^{n \cdot k}. Por ejemplo, (3⋅10−2)2=9⋅10−4(3 \cdot 10^{-2})^{2} = 9 \cdot 10^{-4}.

Puntos clave

  • Producto: se multiplican las partes decimales y se suman los exponentes.
  • Cociente: se dividen las partes decimales y se restan los exponentes.
  • Suma y resta: primero se igualan los exponentes.
  • Al final, ajusta: la parte decimal tiene que estar entre 1 y 10 (sin llegar a 10).
  • Si la parte decimal se hace 10 veces mayor, el exponente baja 1; si se hace 10 veces menor, sube 1.

Errores frecuentes

  • ErrorDejar el resultado sin ajustar: 15⋅10415 \cdot 10^{4} o 0,3⋅10−20{,}3 \cdot 10^{-2}.

    Cómo corregirloComprueba siempre 1≤a<101 \le a < 10: 1,5⋅1051{,}5 \cdot 10^{5} y 3⋅10−33 \cdot 10^{-3}.

  • ErrorAjustar el exponente en el sentido equivocado: 25⋅103=2,5⋅10225 \cdot 10^{3} = 2{,}5 \cdot 10^{2}.

    Cómo corregirloSi 25 pasa a 2,5 (10 veces menor), la potencia tiene que hacerse 10 veces mayor: 2,5⋅1042{,}5 \cdot 10^{4}. Comprueba: ambos valen 25 000.

  • ErrorSumar exponentes al sumar números: 2⋅103+3⋅103=5⋅1062 \cdot 10^{3} + 3 \cdot 10^{3} = 5 \cdot 10^{6}.

    Cómo corregirloAl sumar no se tocan los exponentes iguales: 5⋅1035 \cdot 10^{3} (2 000 + 3 000 = 5 000).

  • ErrorSumar las partes decimales con exponentes distintos: 6⋅105+3⋅104=9⋅1056 \cdot 10^{5} + 3 \cdot 10^{4} = 9 \cdot 10^{5}.

    Cómo corregirloIguala antes los exponentes: 6⋅105+0,3⋅105=6,3⋅1056 \cdot 10^{5} + 0{,}3 \cdot 10^{5} = 6{,}3 \cdot 10^{5}.

Ejemplos resueltos

  1. Ejemplo 1. Multiplicar, dividir y ajustar numérico

    Calcula y expresa el resultado en notación científica: a) (2,5⋅106)⋅(4⋅10−2)(2{,}5 \cdot 10^{6}) \cdot (4 \cdot 10^{-2}) b) (3,6⋅10−4):(9⋅103)(3{,}6 \cdot 10^{-4}) : (9 \cdot 10^{3})

    Resolución

    a) (2,5⋅4)⋅106+(−2)=10⋅104(2{,}5 \cdot 4) \cdot 10^{6+(-2)} = 10 \cdot 10^{4}. Ajustamos: 10=1⋅10110 = 1 \cdot 10^{1}, así que el resultado es 1⋅1051 \cdot 10^{5}.

    b) (3,6:9)⋅10−4−3=0,4⋅10−7(3{,}6 : 9) \cdot 10^{-4-3} = 0{,}4 \cdot 10^{-7}. Ajustamos: 0,4=4⋅10−10{,}4 = 4 \cdot 10^{-1}, así que el resultado es 4⋅10−84 \cdot 10^{-8}.

  2. Ejemplo 2. Sumar y restar igualando exponentes numérico

    Calcula: a) 6,3⋅107+5⋅1066{,}3 \cdot 10^{7} + 5 \cdot 10^{6} b) 2⋅10−3−7,5⋅10−42 \cdot 10^{-3} - 7{,}5 \cdot 10^{-4}

    Resolución

    a) Pasamos 5⋅1065 \cdot 10^{6} a exponente 7: 0,5⋅1070{,}5 \cdot 10^{7}. 6,3⋅107+0,5⋅107=6,8⋅1076{,}3 \cdot 10^{7} + 0{,}5 \cdot 10^{7} = 6{,}8 \cdot 10^{7}

    b) El mayor exponente es −3-3. Pasamos 7,5⋅10−47{,}5 \cdot 10^{-4} a exponente −3-3: 0,75⋅10−30{,}75 \cdot 10^{-3}. 2⋅10−3−0,75⋅10−3=1,25⋅10−32 \cdot 10^{-3} - 0{,}75 \cdot 10^{-3} = 1{,}25 \cdot 10^{-3}

  3. Ejemplo 3. ¿Cuántas gotas hay en una piscina? situación real (estimación)

    Una piscina olímpica contiene aproximadamente 2,5⋅1062{,}5 \cdot 10^{6} litros de agua, y una gota de agua tiene un volumen de unos 5⋅10−55 \cdot 10^{-5} litros. ¿Cuántas gotas de agua caben, aproximadamente, en la piscina?

    Resolución

    Dividimos el volumen de la piscina entre el de una gota: 2,5⋅1065⋅10−5=(2,5:5)⋅106−(−5)=0,5⋅1011=5⋅1010\frac{2{,}5 \cdot 10^{6}}{5 \cdot 10^{-5}} = (2{,}5 : 5) \cdot 10^{6-(-5)} = 0{,}5 \cdot 10^{11} = 5 \cdot 10^{10} Caben unas 5⋅10105 \cdot 10^{10} gotas, es decir, unos 50 000 millones de gotas.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

  1. 1. Fácil

    Calcula y expresa el resultado en notación científica: a) (3⋅104)⋅(2⋅105)(3 \cdot 10^{4}) \cdot (2 \cdot 10^{5}) b) (8⋅10−3)⋅(5⋅107)(8 \cdot 10^{-3}) \cdot (5 \cdot 10^{7}) c) (9⋅108):(3⋅102)(9 \cdot 10^{8}) : (3 \cdot 10^{2}) d) (1,2⋅10−5):(4⋅103)(1{,}2 \cdot 10^{-5}) : (4 \cdot 10^{3})

    Ver solución

    a) 6 · 10⁹ b) 4 · 10⁵ c) 3 · 10⁶ d) 3 · 10⁻⁹

    a) 6⋅1096 \cdot 10^{9}

    b) 40⋅104=4⋅10540 \cdot 10^{4} = 4 \cdot 10^{5}

    c) 3⋅1063 \cdot 10^{6}

    d) 0,3⋅10−8=3⋅10−90{,}3 \cdot 10^{-8} = 3 \cdot 10^{-9}

  2. 2. Media

    Calcula y expresa el resultado en notación científica: a) 4,1⋅105+2,3⋅1044{,}1 \cdot 10^{5} + 2{,}3 \cdot 10^{4} b) 7⋅10−6−3⋅10−77 \cdot 10^{-6} - 3 \cdot 10^{-7} c) 1,5⋅108−9⋅1071{,}5 \cdot 10^{8} - 9 \cdot 10^{7}

    Ver solución

    a) 4,33 · 10⁵ b) 6,7 · 10⁻⁶ c) 6 · 10⁷

    a) 4,1⋅105+0,23⋅105=4,33⋅1054{,}1 \cdot 10^{5} + 0{,}23 \cdot 10^{5} = 4{,}33 \cdot 10^{5}

    b) 7⋅10−6−0,3⋅10−6=6,7⋅10−67 \cdot 10^{-6} - 0{,}3 \cdot 10^{-6} = 6{,}7 \cdot 10^{-6}

    c) 1,5⋅108−0,9⋅108=0,6⋅108=6⋅1071{,}5 \cdot 10^{8} - 0{,}9 \cdot 10^{8} = 0{,}6 \cdot 10^{8} = 6 \cdot 10^{7}

  3. 3. Media

    El Metro de Madrid transporta aproximadamente 6,8⋅1086{,}8 \cdot 10^{8} viajeros al año. ¿Cuántos viajeros transporta, de media, cada día? Toma 365 días y da el resultado en notación científica con dos cifras significativas.

    Ver solución

    Unos 1,9 · 10⁶ viajeros al día

    365=3,65⋅102365 = 3{,}65 \cdot 10^{2}. 6,8⋅1083,65⋅102=(6,8:3,65)⋅106≈1,86⋅106≈1,9⋅106\frac{6{,}8 \cdot 10^{8}}{3{,}65 \cdot 10^{2}} = (6{,}8 : 3{,}65) \cdot 10^{6} \approx 1{,}86 \cdot 10^{6} \approx 1{,}9 \cdot 10^{6} Casi 2 millones de viajeros al día.

  4. 4. Media

    Calcula y expresa en notación científica: a) (6⋅105)⋅(2⋅10−3)4⋅10−2\dfrac{(6 \cdot 10^{5}) \cdot (2 \cdot 10^{-3})}{4 \cdot 10^{-2}} b) (2⋅10−3)2(2 \cdot 10^{-3})^{2}

    Ver solución

    a) 3 · 10⁴ b) 4 · 10⁻⁶

    a) Numerador: 12⋅10212 \cdot 10^{2}. Cociente: (12:4)⋅102−(−2)=3⋅104(12 : 4) \cdot 10^{2-(-2)} = 3 \cdot 10^{4}.

    b) 22⋅10−3⋅2=4⋅10−62^{2} \cdot 10^{-3 \cdot 2} = 4 \cdot 10^{-6}

  5. 5. Difícil

    Calcula y expresa en notación científica: (3⋅104+2⋅103)⋅5⋅10−6(3 \cdot 10^{4} + 2 \cdot 10^{3}) \cdot 5 \cdot 10^{-6}

    Ver solución

    1,6 · 10⁻¹

    Paréntesis: 3⋅104+0,2⋅104=3,2⋅1043 \cdot 10^{4} + 0{,}2 \cdot 10^{4} = 3{,}2 \cdot 10^{4}.

    Producto: (3,2⋅5)⋅104−6=16⋅10−2=1,6⋅10−1(3{,}2 \cdot 5) \cdot 10^{4-6} = 16 \cdot 10^{-2} = 1{,}6 \cdot 10^{-1}

Para practicar más

  1. 1. Fácil

    Calcula y expresa en notación científica: a) (7⋅103)⋅(3⋅10−8)(7 \cdot 10^{3}) \cdot (3 \cdot 10^{-8}) b) (4,8⋅109):(1,2⋅104)(4{,}8 \cdot 10^{9}) : (1{,}2 \cdot 10^{4}) c) (5⋅10−4):(2⋅10−9)(5 \cdot 10^{-4}) : (2 \cdot 10^{-9}) d) (1,5⋅106)⋅(6⋅102)(1{,}5 \cdot 10^{6}) \cdot (6 \cdot 10^{2})

    Ver solución

    a) 2,1 · 10⁻⁴ b) 4 · 10⁵ c) 2,5 · 10⁵ d) 9 · 10⁸

    a) 21⋅10−5=2,1⋅10−421 \cdot 10^{-5} = 2{,}1 \cdot 10^{-4} b) 4⋅1054 \cdot 10^{5} c) 2,5⋅10−4−(−9)=2,5⋅1052{,}5 \cdot 10^{-4-(-9)} = 2{,}5 \cdot 10^{5} d) 9⋅1089 \cdot 10^{8}

  2. 2. Media

    Calcula y expresa en notación científica: a) 8,2⋅106+3⋅1058{,}2 \cdot 10^{6} + 3 \cdot 10^{5} b) 5,4⋅10−3−4⋅10−45{,}4 \cdot 10^{-3} - 4 \cdot 10^{-4} c) 9,7⋅104+6⋅1039{,}7 \cdot 10^{4} + 6 \cdot 10^{3}

    Ver solución

    a) 8,5 · 10⁶ b) 5 · 10⁻³ c) 1,03 · 10⁵

    a) 8,2⋅106+0,3⋅106=8,5⋅1068{,}2 \cdot 10^{6} + 0{,}3 \cdot 10^{6} = 8{,}5 \cdot 10^{6}

    b) 5,4⋅10−3−0,4⋅10−3=5⋅10−35{,}4 \cdot 10^{-3} - 0{,}4 \cdot 10^{-3} = 5 \cdot 10^{-3}

    c) 9,7⋅104+0,6⋅104=10,3⋅104=1,03⋅1059{,}7 \cdot 10^{4} + 0{,}6 \cdot 10^{4} = 10{,}3 \cdot 10^{4} = 1{,}03 \cdot 10^{5}

  3. 3. Media

    El corazón de una persona late, de media, unas 70 veces por minuto. Un año tiene aproximadamente 5,3⋅1055{,}3 \cdot 10^{5} minutos. a) ¿Cuántas veces late el corazón en un año? b) ¿Y en 80 años? Da los resultados en notación científica.

    Ver solución

    a) 3,71 · 10⁷ veces b) unos 3 · 10⁹ veces

    a) 70⋅5,3⋅105=7⋅101⋅5,3⋅105=37,1⋅106=3,71⋅10770 \cdot 5{,}3 \cdot 10^{5} = 7 \cdot 10^{1} \cdot 5{,}3 \cdot 10^{5} = 37{,}1 \cdot 10^{6} = 3{,}71 \cdot 10^{7} latidos.

    b) 80⋅3,71⋅107=8⋅101⋅3,71⋅107=29,68⋅108=2,968⋅109≈3⋅10980 \cdot 3{,}71 \cdot 10^{7} = 8 \cdot 10^{1} \cdot 3{,}71 \cdot 10^{7} = 29{,}68 \cdot 10^{8} = 2{,}968 \cdot 10^{9} \approx 3 \cdot 10^{9} latidos (unos 3 000 millones).

  4. 4. Difícil

    Calcula y expresa en notación científica: 4⋅10−3+6⋅10−42⋅105\dfrac{4 \cdot 10^{-3} + 6 \cdot 10^{-4}}{2 \cdot 10^{5}}

    Ver solución

    2,3 · 10⁻⁸

    Numerador: 4⋅10−3+0,6⋅10−3=4,6⋅10−34 \cdot 10^{-3} + 0{,}6 \cdot 10^{-3} = 4{,}6 \cdot 10^{-3}.

    Cociente: (4,6:2)⋅10−3−5=2,3⋅10−8(4{,}6 : 2) \cdot 10^{-3-5} = 2{,}3 \cdot 10^{-8}

¿Cómo te ha ido con esta lección?