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Matemáticas 3.º ESO · Simplificación de expresiones con potencias

Simplificar expresiones con potencias factorizando las bases

Objetivo: Al terminar, sabrás simplificar expresiones con potencias de exponente entero y bases distintas descomponiendo las bases en factores primos, también con decimales, fracciones y letras.

Explicación

Cuando las bases son distintas

En una expresión como $\dfrac{12^{3} \cdot 18^{-2}}{6^{4}}$ las bases son distintas y no podemos sumar ni restar exponentes directamente. Pero 12, 18 y 6 están formados por los mismos factores primos (2 y 3). El método es:

Descompón cada base en factores primos: $12 = 2^2 \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^2$ , $6 = 2 \cdot 3$ .
Eleva cada factor al exponente (potencia de un producto y potencia de una potencia): $(2^2 \cdot 3)^{3} = 2^{6} \cdot 3^{3} \qquad (2 \cdot 3^2)^{-2} = 2^{-2} \cdot 3^{-4}$
Agrupa las potencias del mismo primo: en el producto se suman los exponentes y en el cociente se restan.
Da el resultado como producto de potencias de primos con exponentes positivos (en forma de fracción si hace falta) o calcula su valor.

Recuerda: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ y $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n} = \dfrac{a^n}{b^n}$ , también con $n$ negativo.

Decimales y fracciones

Los decimales se pasan antes a fracción y se escriben como potencias: $0{,}5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} \qquad 0{,}25 = 2^{-2} \qquad 0{,}2 = 5^{-1} \qquad 0{,}04 = \frac{1}{25} = 5^{-2}$ Las fracciones se descomponen arriba y abajo: $\left(\dfrac{4}{27}\right)^{-1} = \dfrac{27}{4} = 3^{3} \cdot 2^{-2}$ .

Expresiones con letras

Las letras se tratan igual que los factores primos (suponemos que valen distinto de 0): $(x^{-2}\,y^{3})^{2} = x^{-4}\,y^{6} = \frac{y^{6}}{x^{4}}$ Al final se suelen dejar todos los exponentes positivos: lo que tiene exponente negativo pasa al otro lado de la fracción.

Puntos clave

Si las bases son distintas, descompón cada una en factores primos.
Al elevar un producto, se eleva cada factor: $(2^2 \cdot 3)^{-2} = 2^{-4} \cdot 3^{-2}$ .
Agrupa por primos: producto → se suman exponentes; cociente → se restan.
Los decimales se pasan a fracción: $0{,}25 = 2^{-2}$ .
Resultado final con exponentes positivos: $x^{-4}y^{6} = \dfrac{y^{6}}{x^{4}}$ .

Errores frecuentes

ErrorElevar solo uno de los factores: $(2^2 \cdot 3)^{3} = 2^{6} \cdot 3$ .
Cómo corregirloEl exponente afecta a todos los factores del paréntesis: $2^{6} \cdot 3^{3}$ .
ErrorSumar exponentes de bases distintas: $2^{4} \cdot 3^{-1} = 6^{3}$ .
Cómo corregirloSolo se suman exponentes de la misma base. Si los primos son distintos, se dejan como producto: $2^{4} \cdot 3^{-1} = \dfrac{16}{3}$ .
ErrorOlvidar el signo del exponente al pasar al denominador: $3^{-5} = \dfrac{1}{3^{-5}}$ .
Cómo corregirloAl pasar al otro lado de la fracción, el exponente cambia de signo: $3^{-5} = \dfrac{1}{3^{5}}$ .
ErrorEscribir $0{,}25 = 2^{-1}$ o $0{,}5 = 5^{-1}$ .
Cómo corregirloPasa primero a fracción: $0{,}25 = \dfrac{1}{4} = 2^{-2}$ y $0{,}5 = \dfrac{1}{2} = 2^{-1}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El clásico de los libros numérico (paso a paso)
Simplifica y calcula: $\dfrac{12^{3} \cdot 18^{-2}}{6^{4}}$

Resolución
1. Descomponemos: $12 = 2^2 \cdot 3$ ; $18 = 2 \cdot 3^2$ ; $6 = 2 \cdot 3$ .

2. Elevamos cada factor: $12^{3} = 2^{6} \cdot 3^{3} \qquad 18^{-2} = 2^{-2} \cdot 3^{-4} \qquad 6^{4} = 2^{4} \cdot 3^{4}$

3. Agrupamos por primos: $\frac{2^{6} \cdot 3^{3} \cdot 2^{-2} \cdot 3^{-4}}{2^{4} \cdot 3^{4}} = \frac{2^{4} \cdot 3^{-1}}{2^{4} \cdot 3^{4}} = 2^{4-4} \cdot 3^{-1-4} = 2^{0} \cdot 3^{-5}$

4. Resultado: $3^{-5} = \dfrac{1}{3^{5}} = \dfrac{1}{243}$
Ejemplo 2. Con fracciones y decimales numérico (fracciones y decimales)
Simplifica: a) $\dfrac{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} \cdot 9^{-1}}{\left(\dfrac{4}{27}\right)^{-1}}$ b) $\dfrac{(0{,}25)^{-2} \cdot 8^{3}}{16^{2}}$

Resolución
a) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \dfrac{3^2}{2^2} = 2^{-2} \cdot 3^{2}$ ; $9^{-1} = 3^{-2}$ ; $\left(\dfrac{4}{27}\right)^{-1} = \dfrac{27}{4} = 2^{-2} \cdot 3^{3}$ . $\frac{2^{-2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{-2}}{2^{-2} \cdot 3^{3}} = 2^{-2-(-2)} \cdot 3^{0-3} = 3^{-3} = \frac{1}{27}$

b) $0{,}25 = \dfrac{1}{4} = 2^{-2}$ , así que $(0{,}25)^{-2} = 2^{4}$ ; $8^{3} = 2^{9}$ ; $16^{2} = 2^{8}$ . $\frac{2^{4} \cdot 2^{9}}{2^{8}} = 2^{13-8} = 2^{5} = 32$
Ejemplo 3. Ahora con letras algebraico
Simplifica y deja el resultado con exponentes positivos: $\dfrac{(x^{-2}\,y^{3})^{2} \cdot (x\,y^{-1})^{-3}}{x^{-5}\,y^{2}}$

Resolución
Elevamos cada paréntesis: $(x^{-2}\,y^{3})^{2} = x^{-4}\,y^{6}$ y $(x\,y^{-1})^{-3} = x^{-3}\,y^{3}$ .

Numerador: $x^{-4-3}\,y^{6+3} = x^{-7}\,y^{9}$ .

Cociente: $x^{-7-(-5)}\,y^{9-2} = x^{-2}\,y^{7} = \dfrac{y^{7}}{x^{2}}$
Ejemplo 4. ¿Cuántas fotos caben en la tarjeta? situación real (informática)
En informática la memoria se mide con potencias de 2: 1 MiB (mebibyte) son $2^{20}$ bytes y 1 GiB (gibibyte) son $2^{30}$ bytes. Una tarjeta de memoria de 64 GiB se llena con fotos de 4 MiB cada una. ¿Cuántas fotos caben? Resuélvelo con potencias de 2.

Resolución
Capacidad: $64 \cdot 2^{30} = 2^{6} \cdot 2^{30} = 2^{36}$ bytes.

Cada foto: $4 \cdot 2^{20} = 2^{2} \cdot 2^{20} = 2^{22}$ bytes.

Número de fotos: $\dfrac{2^{36}}{2^{22}} = 2^{14} = 16\,384$ fotos.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Escribe como producto de potencias de números primos: a) $12^{-2}$ b) $18^{3}$ c) $\left(\dfrac{10}{9}\right)^{-2}$ d) $(0{,}2)^{-3}$

Ver solución
a) 2⁻⁴ · 3⁻² b) 2³ · 3⁶ c) 2⁻² · 3⁴ · 5⁻² d) 5³
a) $(2^2 \cdot 3)^{-2} = 2^{-4} \cdot 3^{-2}$

b) $(2 \cdot 3^2)^{3} = 2^{3} \cdot 3^{6}$

c) $\left(\dfrac{2 \cdot 5}{3^2}\right)^{-2} = \dfrac{2^{-2} \cdot 5^{-2}}{3^{-4}} = 2^{-2} \cdot 3^{4} \cdot 5^{-2}$

d) $0{,}2 = \dfrac{1}{5} = 5^{-1}$ , así que $(5^{-1})^{-3} = 5^{3}$
2. Media
Simplifica: $\dfrac{6^{-2} \cdot 9^{3}}{2^{-3} \cdot 3^{5}}$

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2/3
$6^{-2} = 2^{-2} \cdot 3^{-2}$ ; $9^{3} = 3^{6}$ . $\frac{2^{-2} \cdot 3^{-2} \cdot 3^{6}}{2^{-3} \cdot 3^{5}} = 2^{-2-(-3)} \cdot 3^{4-5} = 2^{1} \cdot 3^{-1} = \frac{2}{3}$
3. Media
Simplifica: $\dfrac{15^{2} \cdot 5^{-3}}{3^{4} \cdot 25^{-1}}$

Ver solución
5/9
$15^{2} = 3^{2} \cdot 5^{2}$ ; $25^{-1} = 5^{-2}$ . $\frac{3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5^{-3}}{3^{4} \cdot 5^{-2}} = 3^{2-4} \cdot 5^{-1-(-2)} = 3^{-2} \cdot 5^{1} = \frac{5}{9}$
4. Media
Simplifica escribiendo los decimales como potencias de 2: $\dfrac{(0{,}5)^{-3} \cdot 4^{-1}}{(0{,}125)^{2}}$

Ver solución
128
$0{,}5 = 2^{-1}$ → $(0{,}5)^{-3} = 2^{3}$ ; $4^{-1} = 2^{-2}$ ; $0{,}125 = \dfrac{1}{8} = 2^{-3}$ → $(0{,}125)^{2} = 2^{-6}$ . $\frac{2^{3} \cdot 2^{-2}}{2^{-6}} = 2^{1-(-6)} = 2^{7} = 128$
5. Difícil
Simplifica: $\dfrac{24^{-1} \cdot 36^{2}}{8^{2} \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}}$

Ver solución
1/4
$24^{-1} = 2^{-3} \cdot 3^{-1}$ ; $36^{2} = 2^{4} \cdot 3^{4}$ ; $8^{2} = 2^{6}$ ; $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^{3}$ .

Numerador: $2^{1} \cdot 3^{3}$ . Denominador: $2^{3} \cdot 3^{3}$ . $2^{1-3} \cdot 3^{3-3} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$
6. Difícil
Simplifica y deja el resultado con exponentes positivos: $\dfrac{(a^{3}\,b^{-2})^{-2} \cdot (a^{-1}\,b)^{3}}{a^{-4}\,b^{2}}$

Ver solución
b⁵/a⁵
$(a^{3}\,b^{-2})^{-2} = a^{-6}\,b^{4}$ ; $(a^{-1}\,b)^{3} = a^{-3}\,b^{3}$ . Numerador: $a^{-9}\,b^{7}$ . $a^{-9-(-4)}\,b^{7-2} = a^{-5}\,b^{5} = \frac{b^{5}}{a^{5}}$

Para practicar más

1. Fácil
Escribe como producto de potencias de números primos: a) $20^{-3}$ b) $\left(\dfrac{3}{8}\right)^{-2}$ c) $45^{2}$ d) $(0{,}04)^{-1}$

Ver solución
a) 2⁻⁶ · 5⁻³ b) 2⁶ · 3⁻² c) 3⁴ · 5² d) 5²
a) $(2^2 \cdot 5)^{-3} = 2^{-6} \cdot 5^{-3}$

b) $\left(\dfrac{8}{3}\right)^{2} = \dfrac{2^6}{3^2} = 2^{6} \cdot 3^{-2}$

c) $(3^2 \cdot 5)^{2} = 3^{4} \cdot 5^{2}$

d) $0{,}04 = \dfrac{4}{100} = \dfrac{1}{25} = 5^{-2}$ , así que $(5^{-2})^{-1} = 5^{2}$
2. Media
Simplifica: $\dfrac{10^{-2} \cdot 4^{3}}{5^{-3} \cdot 2^{4}}$

Ver solución
5
$10^{-2} = 2^{-2} \cdot 5^{-2}$ ; $4^{3} = 2^{6}$ . Numerador: $2^{4} \cdot 5^{-2}$ . $\frac{2^{4} \cdot 5^{-2}}{5^{-3} \cdot 2^{4}} = 2^{0} \cdot 5^{-2-(-3)} = 5$
3. Media
Simplifica: $\dfrac{12^{-1} \cdot 27^{2}}{9^{3} \cdot 6^{-2}}$

Ver solución
3
$12^{-1} = 2^{-2} \cdot 3^{-1}$ ; $27^{2} = 3^{6}$ ; $9^{3} = 3^{6}$ ; $6^{-2} = 2^{-2} \cdot 3^{-2}$ .

Numerador: $2^{-2} \cdot 3^{5}$ . Denominador: $2^{-2} \cdot 3^{4}$ . Resultado: $3^{5-4} = 3$
4. Media
En un almacén se guardan cajas cúbicas pequeñas de 0,125 m de arista dentro de cajones cúbicos de 0,5 m de arista. ¿Cuántas cajas pequeñas caben en un cajón? Resuélvelo escribiendo las aristas como potencias de 2.

Ver solución
64 cajas
$0{,}5 = 2^{-1}$ m y $0{,}125 = 2^{-3}$ m.

Volumen del cajón: $(2^{-1})^{3} = 2^{-3}$ m³. Volumen de una caja: $(2^{-3})^{3} = 2^{-9}$ m³.

Número de cajas: $\dfrac{2^{-3}}{2^{-9}} = 2^{6} = 64$
5. Difícil
Simplifica y deja el resultado con exponentes positivos: $\dfrac{(x^{2}\,y^{-3})^{-1} \cdot (x^{-1}\,y^{2})^{2}}{(x\,y^{-1})^{-3}}$

Ver solución
y⁴/x
$(x^{2}\,y^{-3})^{-1} = x^{-2}\,y^{3}$ ; $(x^{-1}\,y^{2})^{2} = x^{-2}\,y^{4}$ . Numerador: $x^{-4}\,y^{7}$ .

Denominador: $(x\,y^{-1})^{-3} = x^{-3}\,y^{3}$ . $x^{-4-(-3)}\,y^{7-3} = x^{-1}\,y^{4} = \frac{y^{4}}{x}$