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Explicación

La notación científica en la calculadora

Para introducir un número en notación científica se usa la tecla ×10ˣ (en otros modelos, EXP o EE). Por ejemplo, $3{,}2 \cdot 10^{-5}$ se teclea: $3 \;.\; 2 \;\; [\times 10^{x}] \;\; [(-)] \;\; 5$ La calculadora trata el número entero como un bloque. Si en vez de esa tecla escribes «× 10 ^ 5», tienes que poner paréntesis, porque si no la calculadora respeta la jerarquía y puede dividir solo entre una parte del número.

Para el signo menos del exponente se usa la tecla del número negativo $(-)$ , no la de restar.

Precisión del resultado

La calculadora da muchas cifras, pero los datos de los problemas suelen ser aproximados. El resultado se da redondeado con las mismas cifras significativas que los datos (normalmente 2 o 3): si la pantalla muestra «4.0113792×10¹³», escribimos $4{,}01 \cdot 10^{13}$ .

Órdenes de magnitud

El orden de magnitud de una cantidad es la potencia de 10 de su notación científica. Para saber cuántas veces es mayor una cantidad que otra, se dividen. Si el cociente es cercano a $10^{k}$ , decimos que se diferencian en unos $k$ órdenes de magnitud.

Cómo resolver un problema

Escribe los datos en notación científica y en unidades coherentes.
Plantea la operación antes de teclear y estima el exponente del resultado.
Calcula con la calculadora y redondea.
Comprueba que el exponente coincide con tu estimación e interpreta el resultado.

Puntos clave

En la calculadora, la notación científica se introduce con la tecla ×10ˣ (o EXP).
Si tecleas «× 10 ^», usa paréntesis para no romper la jerarquía.
El exponente negativo se introduce con la tecla (−), no con la de restar.
Redondea el resultado a las cifras significativas de los datos.
Para comparar cantidades, divide: el cociente dice cuántas veces es mayor una que otra.

Errores frecuentes

ErrorTeclear $\dfrac{8{,}4 \cdot 10^{6}}{2 \cdot 10^{3}}$ como «8.4 × 10 ^ 6 ÷ 2 × 10 ^ 3».
Cómo corregirloLa calculadora divide entre 2 y luego multiplica por $10^{3}$ . Usa la tecla ×10ˣ o pon el divisor entre paréntesis: «÷ (2 × 10 ^ 3)».
ErrorCopiar todas las cifras de la pantalla: $4{,}0113792 \cdot 10^{13}$ km.
Cómo corregirloSi los datos tienen 3 cifras significativas, el resultado también: $4{,}01 \cdot 10^{13}$ km.
ErrorNo comprobar el resultado y aceptar un exponente absurdo.
Cómo corregirloEstima antes: si divides un número del orden de $10^{8}$ entre otro del orden de $10^{2}$ , el resultado tiene que salir del orden de $10^{6}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿A qué distancia está la estrella más cercana? situación real (astronomía, con calculadora)
La luz viaja a unos $3 \cdot 10^{5}$ km/s. Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. a) Calcula cuántos kilómetros son un año luz (toma 1 año = 365 días). b) Próxima Centauri, la estrella más cercana al Sol, está a unos 4,24 años luz. ¿A cuántos kilómetros está? c) Una nave espacial viaja a $6 \cdot 10^{4}$ km/h. ¿Cuántos años tardaría en llegar a Próxima Centauri?

Resolución
a) Segundos de un año: $365 \cdot 24 \cdot 3600 = 31\,536\,000 \approx 3{,}15 \cdot 10^{7}$ s. $d = v \cdot t = 3 \cdot 10^{5} \cdot 3{,}1536 \cdot 10^{7} \approx 9{,}46 \cdot 10^{12}\ \text{km}$

b) $4{,}24 \cdot 9{,}46 \cdot 10^{12} \approx 4{,}01 \cdot 10^{13}$ km.

c) Tiempo en horas: $t = \dfrac{4{,}01 \cdot 10^{13}}{6 \cdot 10^{4}} \approx 6{,}68 \cdot 10^{8}$ h. Un año tiene $365 \cdot 24 = 8760$ h: $\frac{6{,}68 \cdot 10^{8}}{8760} \approx 7{,}63 \cdot 10^{4}\ \text{años}$ Unos 76 000 años.
Ejemplo 2. Una bacteria frente a un virus comparación de órdenes de magnitud (biología)
Una bacteria E. coli mide unos $2 \cdot 10^{-6}$ m de largo y un virus de la gripe, unos $10^{-7}$ m. a) ¿Cuántas veces es más larga la bacteria que el virus? b) ¿Cuántas bacterias puestas en fila ocuparían 1 cm?

Resolución
a) $\dfrac{2 \cdot 10^{-6}}{10^{-7}} = 2 \cdot 10^{-6-(-7)} = 2 \cdot 10^{1} = 20$ veces. Se diferencian en algo más de un orden de magnitud.

b) $1\ \text{cm} = 10^{-2}$ m. $\dfrac{10^{-2}}{2 \cdot 10^{-6}} = 0{,}5 \cdot 10^{4} = 5 \cdot 10^{3}$ , es decir, 5 000 bacterias.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula con la calculadora y da el resultado en notación científica con 3 cifras significativas: a) $(3{,}47 \cdot 10^{12}) \cdot (5{,}9 \cdot 10^{-4})$ b) $\dfrac{7{,}2 \cdot 10^{-8}}{1{,}6 \cdot 10^{5}}$ c) $2{,}3 \cdot 10^{15} + 8{,}9 \cdot 10^{14}$ d) $(4{,}1 \cdot 10^{-3})^{3}$

Ver solución
a) 2,05 · 10⁹ b) 4,50 · 10⁻¹³ c) 3,19 · 10¹⁵ d) 6,89 · 10⁻⁸
a) Pantalla: 2,0473 · 10⁹ → $2{,}05 \cdot 10^{9}$

b) $4{,}5 \cdot 10^{-13}$ (con 3 cifras, $4{,}50 \cdot 10^{-13}$ )

c) $3{,}19 \cdot 10^{15}$

d) Pantalla: 6,8921 · 10⁻⁸ → $6{,}89 \cdot 10^{-8}$
2. Media
Para calcular $\dfrac{8{,}4 \cdot 10^{6}}{2 \cdot 10^{3}}$ , Pablo teclea «8.4 × 10 ^ 6 ÷ 2 × 10 ^ 3» y la calculadora le da 4.2×10⁹. a) ¿Es razonable el resultado? Estima el exponente que debería salir. b) ¿Qué ha calculado en realidad la calculadora? c) ¿Cómo debería haberlo tecleado? ¿Cuál es el resultado correcto?

Ver solución
a) No; debería salir del orden de 10³. b) (8,4 · 10⁶ : 2) · 10³. c) Con la tecla ×10ˣ o con paréntesis; 4,2 · 10³.
a) $10^{6} : 10^{3} = 10^{3}$ , así que el resultado debería ser del orden de $10^{3}$ , no de $10^{9}$ .

b) La calculadora respeta la jerarquía de izquierda a derecha: ha dividido entre 2 y después ha multiplicado por $10^{3}$ : $(8{,}4 \cdot 10^{6} : 2) \cdot 10^{3} = 4{,}2 \cdot 10^{9}$ .

c) «8.4 ×10ˣ 6 ÷ 2 ×10ˣ 3» o bien «8.4 × 10 ^ 6 ÷ (2 × 10 ^ 3)». Resultado: $4{,}2 \cdot 10^{3} = 4200$ .
3. Media
La masa de la Tierra es de unos $5{,}97 \cdot 10^{24}$ kg y la de la Luna, de unos $7{,}35 \cdot 10^{22}$ kg. ¿Cuántas veces es mayor la masa de la Tierra? ¿En cuántos órdenes de magnitud se diferencian aproximadamente?

Ver solución
Unas 81,2 veces; unos 2 órdenes de magnitud.
$\frac{5{,}97 \cdot 10^{24}}{7{,}35 \cdot 10^{22}} = \frac{5{,}97}{7{,}35} \cdot 10^{2} \approx 0{,}812 \cdot 10^{2} \approx 81{,}2$ La Tierra tiene unas 81 veces más masa que la Luna. Como 81 está cerca de 100 $= 10^{2}$ , se diferencian en unos 2 órdenes de magnitud.
4. Difícil
Un superordenador puede hacer unas $1{,}1 \cdot 10^{18}$ operaciones por segundo, y un ordenador portátil, unas $5 \cdot 10^{11}$ (datos aproximados). a) ¿Cuántas operaciones hace el superordenador en una hora? b) ¿Cuánto tiempo tardaría el portátil en hacer esas mismas operaciones? Da el resultado en segundos y en años (1 año ≈ $3{,}15 \cdot 10^{7}$ s).

Ver solución
a) 3,96 · 10²¹ operaciones b) 7,92 · 10⁹ s ≈ 251 años
a) $1{,}1 \cdot 10^{18} \cdot 3600 = 1{,}1 \cdot 10^{18} \cdot 3{,}6 \cdot 10^{3} = 3{,}96 \cdot 10^{21}$ operaciones.

b) $t = \dfrac{3{,}96 \cdot 10^{21}}{5 \cdot 10^{11}} = 7{,}92 \cdot 10^{9}$ s. En años: $\dfrac{7{,}92 \cdot 10^{9}}{3{,}15 \cdot 10^{7}} \approx 251$ años.

Para practicar más

1. Fácil
Calcula con la calculadora y da el resultado en notación científica con 3 cifras significativas: a) $(6{,}02 \cdot 10^{23}) \cdot (3{,}5 \cdot 10^{-2})$ b) $(9{,}1 \cdot 10^{-31}) \cdot (1{,}2 \cdot 10^{6})$ c) $\dfrac{5{,}4 \cdot 10^{9}}{7{,}7 \cdot 10^{-3}}$ d) $4{,}6 \cdot 10^{-5} - 9{,}3 \cdot 10^{-6}$

Ver solución
a) 2,11 · 10²² b) 1,09 · 10⁻²⁴ c) 7,01 · 10¹¹ d) 3,67 · 10⁻⁵
a) $2{,}107 \cdot 10^{22} \approx 2{,}11 \cdot 10^{22}$ b) $1{,}092 \cdot 10^{-24} \approx 1{,}09 \cdot 10^{-24}$ c) $7{,}0129... \cdot 10^{11} \approx 7{,}01 \cdot 10^{11}$ d) $3{,}67 \cdot 10^{-5}$
2. Media
La distancia media de Marte al Sol es de unos $2{,}28 \cdot 10^{8}$ km y la luz viaja a unos $3 \cdot 10^{5}$ km/s. ¿Cuánto tarda la luz del Sol en llegar a Marte? Da el resultado en segundos y en minutos.

Ver solución
760 s ≈ 12,7 min
$t = \frac{d}{v} = \frac{2{,}28 \cdot 10^{8}}{3 \cdot 10^{5}} = 0{,}76 \cdot 10^{3} = 7{,}6 \cdot 10^{2}\ \text{s} = 760\ \text{s}$ En minutos: $760 : 60 \approx 12{,}7$ min.
3. Media
Se estima que el cuerpo de una persona adulta tiene unos $3 \cdot 10^{13}$ células humanas y unas $3{,}8 \cdot 10^{13}$ bacterias. a) ¿Cuántas bacterias hay, aproximadamente, por cada célula humana? b) Si en la Tierra viven unos $8 \cdot 10^{9}$ habitantes, ¿cuántas células humanas hay en total, aproximadamente?

Ver solución
a) Unas 1,3 bacterias por célula. b) Unas 2,4 · 10²³ células.
a) $\dfrac{3{,}8 \cdot 10^{13}}{3 \cdot 10^{13}} \approx 1{,}3$ bacterias por célula.

b) $3 \cdot 10^{13} \cdot 8 \cdot 10^{9} = 24 \cdot 10^{22} = 2{,}4 \cdot 10^{23}$ células.
4. Difícil
La Torre Picasso de Madrid mide unos 157 m de altura; el diámetro de la Tierra es de unos $1{,}27 \cdot 10^{7}$ m y el grosor de un pelo, de unos $8 \cdot 10^{-5}$ m. a) ¿Cuántas veces es mayor el diámetro de la Tierra que la altura de la torre? b) ¿Cuántas veces es mayor la altura de la torre que el grosor de un pelo? Da los resultados en notación científica con 2 cifras significativas.

Ver solución
a) Unas 8,1 · 10⁴ veces b) Unas 2,0 · 10⁶ veces
$157 = 1{,}57 \cdot 10^{2}$ m.

a) $\dfrac{1{,}27 \cdot 10^{7}}{1{,}57 \cdot 10^{2}} \approx 0{,}809 \cdot 10^{5} \approx 8{,}1 \cdot 10^{4}$ veces.

b) $\dfrac{1{,}57 \cdot 10^{2}}{8 \cdot 10^{-5}} \approx 0{,}196 \cdot 10^{7} \approx 2{,}0 \cdot 10^{6}$ veces.

Problemas con notación científica y calculadora