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Explicación

Las propiedades siguen valiendo

Las propiedades de las potencias que conoces valen igual cuando los exponentes son enteros (positivos, negativos o cero) y la base es cualquier número distinto de 0, también una fracción:

Propiedad	Regla	Ejemplo
Producto de potencias de igual base	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$3^{-2} \cdot 3^{5} = 3^{3}$
Cociente de potencias de igual base	$a^m : a^n = a^{m-n}$	$5^{4} : 5^{-2} = 5^{4-(-2)} = 5^{6}$
Potencia de una potencia	$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	$(2^{-3})^{-2} = 2^{6}$
Producto de potencias de igual exponente	$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$	$2^{-3} \cdot 5^{-3} = 10^{-3}$
Cociente de potencias de igual exponente	$a^n : b^n = (a : b)^n$	$6^{-2} : 3^{-2} = 2^{-2}$

Al restar exponentes negativos, cuidado con los signos: $m - (-n) = m + n$ .

Bases inversas y bases opuestas

Para usar las propiedades, las bases tienen que ser iguales. Si son inversas u opuestas, se transforma una de ellas:

Inversas: $\left(\dfrac{5}{2}\right)^{3} = \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3}$ (se da la vuelta a la fracción y se cambia el signo del exponente).
Opuestas: $(-2)^4 = 2^4$ (exponente par) y $(-2)^3 = -2^3$ (exponente impar).

Cómo reducir una expresión

Escribe todas las potencias con la misma base.
Aplica las propiedades de dentro hacia fuera (primero paréntesis y corchetes).
Si te piden el valor, calcula al final; si el exponente es negativo, haz el inverso.

No hay propiedad para la suma ni para la resta: $2^3 + 2^{-1}$ no es $2^2$ ; hay que calcular cada potencia por separado.

Puntos clave

Las propiedades de las potencias valen con exponentes enteros y con bases fraccionarias.
Igual base: en el producto se suman los exponentes; en el cociente se restan.
Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes (con su signo).
Bases inversas: $\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}$ .
Igual exponente: se multiplican o dividen las bases y se conserva el exponente.
No hay propiedades para sumar o restar potencias.

Errores frecuentes

ErrorRestar mal los exponentes negativos: $5^{4} : 5^{-2} = 5^{2}$ .
Cómo corregirloEscribe el paréntesis: $5^{4-(-2)} = 5^{4+2} = 5^{6}$ .
ErrorSumar los exponentes en una potencia de potencia: $(2^{-3})^{-2} = 2^{-5}$ .
Cómo corregirloEn la potencia de una potencia se multiplican: $(-3) \cdot (-2) = 6$ , así que $2^{6}$ .
ErrorMultiplicar potencias de bases distintas sumando exponentes: $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2} \cdot \left(\dfrac{4}{3}\right)^{5} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{7}$ .
Cómo corregirloPrimero iguala las bases: $\left(\dfrac{4}{3}\right)^{5} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-5}$ ; el resultado es $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-3}$ .
ErrorAplicar las propiedades a sumas: $2^3 + 2^{-1} = 2^2$ .
Cómo corregirloLas propiedades son solo para productos y cocientes. En una suma calcula cada término: $8 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{2}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿La regla funciona con exponentes negativos? comprobación numérica (descubrir la regla)
Calcula cada expresión de dos formas, primero haciendo las fracciones y después con las propiedades, y comprueba que coinciden: a) $2^{-1} \cdot 2^{-2}$ b) $3^{-2} \cdot 3^{5}$ c) $(2^{-1})^{-3}$

Resolución
a) Con fracciones: $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8}$ . Con la propiedad: $2^{-1+(-2)} = 2^{-3} = \dfrac{1}{8}$ . ✔

b) Con fracciones: $\dfrac{1}{9} \cdot 243 = \dfrac{243}{9} = 27$ . Con la propiedad: $3^{-2+5} = 3^{3} = 27$ . ✔

c) Con fracciones: $2^{-1} = \dfrac{1}{2}$ y $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$ . Con la propiedad: $2^{(-1) \cdot (-3)} = 2^{3} = 8$ . ✔

Las propiedades funcionan igual que con exponentes naturales.
Ejemplo 2. Reducir a una sola potencia numérico
Reduce a una sola potencia y calcula su valor: a) $7^{-3} \cdot 7^{5}$ b) $4^{-2} : 4^{-5}$ c) $\left[\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}\right]^{2} \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^{5}$ d) $(-3)^{4} \cdot (-3)^{-6}$

Resolución
a) $7^{-3+5} = 7^{2} = 49$

b) $4^{-2-(-5)} = 4^{-2+5} = 4^{3} = 64$

c) Primero el corchete: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-4}$ . Después: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-4+5} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{1} = \dfrac{2}{3}$

d) $(-3)^{4+(-6)} = (-3)^{-2} = \dfrac{1}{(-3)^2} = \dfrac{1}{9}$
Ejemplo 3. Bases inversas e igual exponente transformar antes de operar
Calcula: a) $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{4} \cdot \left(\dfrac{5}{3}\right)^{6} : \left(\dfrac{3}{5}\right)^{-1}$ b) $\left(\dfrac{5}{2}\right)^{-2} \cdot 4^{-2}$

Resolución
a) Las bases son inversas: $\left(\dfrac{5}{3}\right)^{6} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^{-6}$ . Entonces: $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{4} \cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^{-6} : \left(\dfrac{3}{5}\right)^{-1} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^{4-6-(-1)} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^{-1} = \dfrac{5}{3}$

b) Las bases son distintas pero el exponente es el mismo: se multiplican las bases. $\left(\dfrac{5}{2} \cdot 4\right)^{-2} = 10^{-2} = 0{,}01$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Reduce a una sola potencia: a) $6^{-4} \cdot 6^{7}$ b) $9^{2} : 9^{-3}$ c) $(5^{-2})^{3}$ d) $11^{-3} \cdot 11^{-2}$ e) $(-2)^{-5} : (-2)^{-8}$ f) $\left[(-4)^{-1}\right]^{-2}$

Ver solución
a) 6³ b) 9⁵ c) 5⁻⁶ d) 11⁻⁵ e) (−2)³ f) (−4)²
a) $6^{-4+7} = 6^{3}$ b) $9^{2-(-3)} = 9^{5}$ c) $5^{-2 \cdot 3} = 5^{-6}$ d) $11^{-3+(-2)} = 11^{-5}$ e) $(-2)^{-5-(-8)} = (-2)^{3}$ f) $(-4)^{(-1)\cdot(-2)} = (-4)^{2}$
2. Media
Reduce a una sola potencia y calcula el resultado: a) $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-3} \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{5}$ b) $\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-4} : \left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2}$ c) $\left[\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2}\right]^{-2}$ d) $\left(\dfrac{4}{7}\right)^{-1} \cdot \left(\dfrac{7}{4}\right)^{2}$

Ver solución
a) 9/4 b) 25 c) 81/16 d) 343/64
a) $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} = \dfrac{9}{4}$

b) $\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-4-(-2)} = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2 = 25$

c) $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-4} = \left(-\dfrac{3}{2}\right)^{4} = \dfrac{81}{16}$

d) $\left(\dfrac{4}{7}\right)^{-1} = \left(\dfrac{7}{4}\right)^{1}$ , así que $\left(\dfrac{7}{4}\right)^{1+2} = \left(\dfrac{7}{4}\right)^{3} = \dfrac{343}{64}$
3. Media
Calcula usando las propiedades de las potencias de igual exponente: a) $2^{-4} \cdot 5^{-4}$ (en forma decimal) b) $12^{-3} : 4^{-3}$ c) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} \cdot \left(\dfrac{9}{4}\right)^{-2}$

Ver solución
a) 0,0001 b) 1/27 c) 4/9
a) $(2 \cdot 5)^{-4} = 10^{-4} = 0{,}0001$

b) $(12 : 4)^{-3} = 3^{-3} = \dfrac{1}{27}$

c) $\left(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{4}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} = \dfrac{4}{9}$
4. Media
Una hoja de tamaño A0 tiene un área de 1 m². Cada tamaño siguiente tiene la mitad de área que el anterior: el A1 tiene $\dfrac{1}{2}$ m², el A2 la mitad del A1, y así sucesivamente. a) Expresa el área de una hoja A4 como una potencia de 2. b) ¿Cuántas hojas A4 se obtienen de una hoja A0? c) ¿Cuántas hojas A6 caben en una A3?

Ver solución
a) 2⁻⁴ m² b) 16 c) 8
a) A1: $2^{-1}$ m²; A2: $2^{-2}$ m²; A3: $2^{-3}$ m²; A4: $2^{-4}$ m² $= \dfrac{1}{16}$ m².

b) $1 : 2^{-4} = 2^{0-(-4)} = 2^{4} = 16$ hojas.

c) A6 tiene $2^{-6}$ m²: $2^{-3} : 2^{-6} = 2^{-3+6} = 2^{3} = 8$ hojas.
5. Difícil
Simplifica y da el resultado como fracción: $\dfrac{\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3} \cdot \left(\dfrac{5}{2}\right)^{-1}}{\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-6}}$

Ver solución
16/625
Igualamos las bases: $\left(\dfrac{5}{2}\right)^{-1} = \left(\dfrac{2}{5}\right)^{1}$ .

Numerador: $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3+1} = \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2}$ .

Cociente: $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2-(-6)} = \left(\dfrac{2}{5}\right)^{4} = \dfrac{16}{625}$

Para practicar más

1. Fácil
Reduce a una sola potencia: a) $8^{3} \cdot 8^{-5}$ b) $3^{-1} : 3^{4}$ c) $(7^{-2})^{-2}$ d) $(-5)^{-2} \cdot (-5)^{-1}$ e) $10^{-6} : 10^{-9}$

Ver solución
a) 8⁻² b) 3⁻⁵ c) 7⁴ d) (−5)⁻³ e) 10³
a) $8^{3-5} = 8^{-2}$ b) $3^{-1-4} = 3^{-5}$ c) $7^{(-2)\cdot(-2)} = 7^{4}$ d) $(-5)^{-2+(-1)} = (-5)^{-3}$ e) $10^{-6-(-9)} = 10^{3}$
2. Media
Reduce a una sola potencia y calcula: a) $\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2} \cdot \left(\dfrac{5}{4}\right)^{3}$ b) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1} : \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}$ c) $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-3} \cdot (-2)^{-1}$ d) $\left[\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1}\right]^{-3}$

Ver solución
a) 5/4 b) 27/8 c) 4 d) 27/64
a) $\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2+3} = \dfrac{5}{4}$

b) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1-2} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{3} = \dfrac{27}{8}$

c) $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-3} = (-2)^{3}$ , así que $(-2)^{3} \cdot (-2)^{-1} = (-2)^{2} = 4$

d) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{(-1)\cdot(-3)} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3} = \dfrac{27}{64}$
3. Media
En un laboratorio se prepara una disolución y se diluye varias veces; en cada dilución la concentración se reduce a la décima parte. Si se empieza con 1 g/L: a) Expresa como potencia de 10 la concentración después de 2 diluciones y después de 6 diluciones. b) ¿Cuántas veces más concentrada está la disolución tras 2 diluciones que tras 6?

Ver solución
a) 10⁻² g/L y 10⁻⁶ g/L b) 10⁴ = 10 000 veces
a) Tras 2 diluciones: $1 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-1} = 10^{-2}$ g/L. Tras 6: $10^{-6}$ g/L.

b) $10^{-2} : 10^{-6} = 10^{-2-(-6)} = 10^{4} = 10\,000$ veces.
4. Difícil
Simplifica y expresa el resultado como una sola potencia de exponente positivo: $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{4} \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} : \left[\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-1}\right]^{3}$

Ver solución
(3/2)⁹
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}$ y $\left[\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-1}\right]^{3} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-3}$ .

$\left(\dfrac{3}{2}\right)^{4+2} : \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-3} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{6-(-3)} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{9}$

Propiedades de las potencias de exponente entero