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Matemáticas 3.º ESO · Potencias de exponente entero. Propiedades

Recuerda: potencias de exponente cero y negativo

Objetivo: Al terminar, sabrás qué significan las potencias de exponente cero y negativo, calcularlas (también con bases fraccionarias y negativas), escribir una fracción como potencia de exponente negativo y descomponer números decimales con potencias de 10.

Recuerda

Potencias de exponente cero y negativo

Una potencia de exponente natural es un producto de factores iguales: $a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$ ( $n$ veces).

¿Y si el exponente es 0 o negativo? Fíjate en lo que pasa al bajar el exponente de uno en uno: cada vez se divide entre la base.

$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$	$2^{-1}$	$2^{-2}$	$2^{-3}$
$8$	$4$	$2$	$1$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{8}$

Si seguimos el patrón, $2^0 = 2 : 2 = 1$ y $2^{-1} = 1 : 2 = \dfrac{1}{2}$ . Lo mismo sale con las propiedades. Calculamos $2^3 : 2^5$ de dos formas: $\frac{2^3}{2^5} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{2^2} \qquad \text{y también} \qquad \frac{2^3}{2^5} = 2^{3-5} = 2^{-2}$ Por eso $2^{-2} = \dfrac{1}{2^2}$ . Del mismo modo, $\dfrac{2^3}{2^3} = 1 = 2^0$ .

Exponente cero y exponente negativo

$a^0 = 1$ (si $a \neq 0$ ).
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ : una potencia de exponente negativo es el inverso de la potencia de exponente positivo.
Con fracciones se da la vuelta a la fracción: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$ .

Potencias de 10 de exponente negativo

$10^{-1} = 0{,}1 \qquad 10^{-2} = 0{,}01 \qquad 10^{-3} = 0{,}001 \qquad 10^{-6} = 0{,}000001$ El exponente negativo indica cuántas cifras decimales tiene el número.

Con ellas se descomponen también los números decimales según el valor de sus cifras (décimas, centésimas, milésimas…): $3{,}407 = 3 + 4 \cdot 10^{-1} + 0 \cdot 10^{-2} + 7 \cdot 10^{-3} = 3 + 4 \cdot 10^{-1} + 7 \cdot 10^{-3}$

El signo

El exponente negativo no cambia el signo: solo indica que hay que hacer el inverso. El signo depende de la base y de si el exponente es par o impar: $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8} \qquad (-2)^{-4} = \frac{1}{16}$ Cuidado con los paréntesis: $(-3)^{-2} = \dfrac{1}{9}$ , pero $-3^{-2} = -\dfrac{1}{9}$ (el signo menos no está dentro de la potencia).

Puntos clave

$a^0 = 1$ para cualquier $a \neq 0$ .
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ : el exponente negativo indica el inverso.
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$ .
$10^{-n}$ es un decimal con $n$ cifras decimales: $10^{-3} = 0{,}001$ .
Base negativa: exponente par → resultado positivo; exponente impar → resultado negativo.
Las décimas, centésimas, milésimas… son $10^{-1}$ , $10^{-2}$ , $10^{-3}$ …: sirven para descomponer números decimales.

Errores frecuentes

ErrorCreer que el exponente negativo hace negativo el resultado: $2^{-3} = -8$ .
Cómo corregirloEl exponente negativo indica el inverso, no el signo: $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$ .
ErrorPensar que $a^0 = 0$ .
Cómo corregirloRecuerda que $\dfrac{a^3}{a^3} = 1$ y también $= a^0$ ; por tanto $a^0 = 1$ .
ErrorDar la vuelta solo al numerador: $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2} = \dfrac{1}{2^2 \cdot 5}$ .
Cómo corregirloCon exponente negativo se invierte la fracción entera y se cambia el signo del exponente: $\left(\dfrac{5}{2}\right)^{2} = \dfrac{25}{4}$ .
ErrorConfundir $-3^{-2}$ con $(-3)^{-2}$ .
Cómo corregirloSin paréntesis, el exponente afecta solo al 3: $-3^{-2} = -\dfrac{1}{9}$ . Con paréntesis, a $-3$ : $(-3)^{-2} = \dfrac{1}{9}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Seis potencias, seis trampas numérico
Calcula: a) $5^{-2}$ b) $(-2)^{-3}$ c) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}$ d) $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-4}$ e) $-3^{-2}$ f) $(-7)^{0}$

Resolución
a) $5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}$

b) $(-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^3} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8}$ (exponente impar: negativo)

c) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\dfrac{4}{3}\right)^{2} = \dfrac{16}{9}$

d) $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-4} = (-2)^{4} = 16$ (exponente par: positivo)

e) $-3^{-2} = -\dfrac{1}{3^2} = -\dfrac{1}{9}$ (el signo menos queda fuera)

f) $(-7)^0 = 1$
Ejemplo 2. Del número a la potencia al revés (escribir como potencia)
Escribe cada número como una potencia de exponente negativo: a) $\dfrac{1}{32}$ b) $\dfrac{1}{49}$ c) $0{,}001$ d) $\dfrac{27}{8}$ e) $0{,}0001$

Resolución
a) $32 = 2^5$ , así que $\dfrac{1}{32} = \dfrac{1}{2^5} = 2^{-5}$

b) $\dfrac{1}{49} = \dfrac{1}{7^2} = 7^{-2}$

c) $0{,}001 = \dfrac{1}{1000} = \dfrac{1}{10^3} = 10^{-3}$ (tres cifras decimales)

d) $\dfrac{27}{8} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{3} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}$

e) $0{,}0001 = 10^{-4}$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula: a) $4^{-1}$ b) $2^{-5}$ c) $(-3)^{-3}$ d) $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1}$ e) $\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{-2}$ f) $10^{-4}$ (en forma decimal)

Ver solución
a) 1/4 b) 1/32 c) −1/27 d) 5/2 e) 4/9 f) 0,0001
a) $\dfrac{1}{4}$ b) $\dfrac{1}{2^5} = \dfrac{1}{32}$ c) $\dfrac{1}{(-3)^3} = -\dfrac{1}{27}$ d) $\dfrac{5}{2}$ e) $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2} = \dfrac{4}{9}$ f) $\dfrac{1}{10^4} = 0{,}0001$
2. Media
Escribe como potencia de exponente negativo, con la base más pequeña posible: a) $\dfrac{1}{9}$ b) $\dfrac{1}{125}$ c) $\dfrac{1}{64}$ d) $0{,}01$ e) $\dfrac{9}{4}$ f) $-\dfrac{1}{8}$

Ver solución
a) 3⁻² b) 5⁻³ c) 2⁻⁶ d) 10⁻² e) (2/3)⁻² f) (−2)⁻³
a) $\dfrac{1}{3^2} = 3^{-2}$ b) $\dfrac{1}{5^3} = 5^{-3}$ c) $\dfrac{1}{2^6} = 2^{-6}$ d) $\dfrac{1}{10^2} = 10^{-2}$ e) $\dfrac{9}{4} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}$ f) $-\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{(-2)^3} = (-2)^{-3}$
3. Media
¿Verdadero o falso? Corrige los falsos. a) $3^{-2} = -9$ b) $(-5)^{-2} = \dfrac{1}{25}$ c) $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1} = 4$ d) $-2^{-2} = \dfrac{1}{4}$ e) $7^0 = 0$

Ver solución
a) F (1/9) b) V c) V d) F (−1/4) e) F (1)
a) Falso: $3^{-2} = \dfrac{1}{9}$ . b) Verdadero: $\dfrac{1}{(-5)^2} = \dfrac{1}{25}$ . c) Verdadero: $\left(\dfrac{4}{1}\right)^1 = 4$ . d) Falso: $-2^{-2} = -\dfrac{1}{4}$ . e) Falso: $7^0 = 1$ .

Para practicar más

1. Fácil
Calcula: a) $6^{-2}$ b) $(-4)^{-3}$ c) $\left(\dfrac{5}{3}\right)^{-2}$ d) $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-3}$ e) $-10^{-2}$ f) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-5}$

Ver solución
a) 1/36 b) −1/64 c) 9/25 d) −27 e) −1/100 f) 32
a) $\dfrac{1}{36}$ b) $\dfrac{1}{(-4)^3} = -\dfrac{1}{64}$ c) $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25}$ d) $(-3)^3 = -27$ e) $-\dfrac{1}{10^2} = -\dfrac{1}{100}$ f) $2^5 = 32$
2. Fácil
Un decímetro es la décima parte de un metro; un centímetro, la centésima; un milímetro, la milésima; una micra, la millonésima, y un nanómetro, la milmillonésima. Expresa cada una de estas longitudes, en metros, como una potencia de 10.

Ver solución
dm = 10⁻¹ m; cm = 10⁻² m; mm = 10⁻³ m; micra = 10⁻⁶ m; nm = 10⁻⁹ m
1 dm $= \dfrac{1}{10}\ \text{m} = 10^{-1}$ m; 1 cm $= \dfrac{1}{100}\ \text{m} = 10^{-2}$ m; 1 mm $= \dfrac{1}{1000}\ \text{m} = 10^{-3}$ m; 1 micra $= \dfrac{1}{10^6}\ \text{m} = 10^{-6}$ m; 1 nm $= \dfrac{1}{10^9}\ \text{m} = 10^{-9}$ m.
3. Media
Ordena de menor a mayor: $2^{-3}$ , $3^{-2}$ , $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$ , $(-2)^{-1}$ , $5^0$

Ver solución
(−2)⁻¹ < 3⁻² < 2⁻³ < 5⁰ < (1/2)⁻²
Calculamos cada una: $2^{-3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$ ; $3^{-2} = \dfrac{1}{9} \approx 0{,}111$ ; $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$ ; $(-2)^{-1} = -\dfrac{1}{2}$ ; $5^0 = 1$ .

Orden: $(-2)^{-1} < 3^{-2} < 2^{-3} < 5^0 < \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$