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Matemáticas 3.º ESO · Logaritmos

Logaritmos negativos y fraccionarios. Base o argumento desconocidos

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular logaritmos cuyo resultado es negativo o fraccionario escribiendo la base y el argumento como potencias del mismo número, y hallar la base o el argumento desconocidos de un logaritmo pasando a forma exponencial.

Explicación

Logaritmos con resultado negativo

Si la base es mayor que 1 y el argumento está entre 0 y 1, el logaritmo es negativo, porque hace falta un exponente negativo: $\log_{2} \frac{1}{8} = -3 \text{ porque } 2^{-3} = \frac{1}{8} \qquad \log 0{,}01 = -2 \text{ porque } 10^{-2} = 0{,}01$

Logaritmos con resultado fraccionario

A veces el argumento no es una potencia entera de la base, pero los dos son potencias de un mismo número. Entonces:

Escribe la base y el argumento como potencias de ese número.
Plantea la forma exponencial e iguala los exponentes.

Ejemplo: $\log_{4} 8 = c$ significa $4^{c} = 8$ . Como $4 = 2^{2}$ y $8 = 2^{3}$ : $(2^{2})^{c} = 2^{3} \;\Rightarrow\; 2^{2c} = 2^{3} \;\Rightarrow\; 2c = 3 \;\Rightarrow\; c = \frac{3}{2}$ Recuerda que las raíces son potencias de exponente fraccionario: $\log_{9} 3 = \dfrac{1}{2}$ porque $9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$ .

Base o argumento desconocidos

Se pasa a forma exponencial y se despeja:

Argumento desconocido: $\log_{2} x = -3 \;\Rightarrow\; x = 2^{-3} = \dfrac{1}{8}$ .
Base desconocida: $\log_{x} 27 = 3 \;\Rightarrow\; x^{3} = 27 \;\Rightarrow\; x = 3$ .

La base tiene que ser positiva y distinta de 1: si $x^{2} = 16$ , la base es $x = 4$ (no $-4$ ).

Puntos clave

Si la base es mayor que 1 y el argumento está entre 0 y 1, el logaritmo es negativo.
Para logaritmos fraccionarios, escribe base y argumento como potencias del mismo número e iguala exponentes.
Raíz = exponente fraccionario: $\log_{9} 3 = \dfrac{1}{2}$ .
Base o argumento desconocidos: pasa a forma exponencial y despeja.
La base es siempre positiva y distinta de 1.

Errores frecuentes

ErrorPensar que un logaritmo negativo no existe: « $\log_{2} \frac{1}{8}$ no existe».
Cómo corregirloLo que no existe es el logaritmo de un número negativo. El resultado sí puede ser negativo: $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$ .
ErrorEscribir $\log_{4} 8 = 2$ «porque 8 = 4 · 2».
Cómo corregirloComprueba: $4^{2} = 16 \neq 8$ . Escribe todo como potencias de 2: $2^{2c} = 2^{3}$ , $c = \dfrac{3}{2}$ .
ErrorDar dos bases: $\log_{x} 16 = 2 \Rightarrow x = \pm 4$ .
Cómo corregirloLa base de un logaritmo es positiva: solo vale $x = 4$ .
ErrorAl despejar el argumento, multiplicar: $\log_{2} x = -3 \Rightarrow x = 2 \cdot (-3) = -6$ .
Cómo corregirloPasa a forma exponencial: $x = 2^{-3} = \dfrac{1}{8}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Resultados negativos y fraccionarios numérico
Calcula: a) $\log_{2} \dfrac{1}{8}$ b) $\log 0{,}001$ c) $\log_{4} 8$ d) $\log_{9} \dfrac{1}{3}$ e) $\log_{\frac{1}{2}} 4$

Resolución
a) $\dfrac{1}{8} = 2^{-3}$ → $-3$

b) $0{,}001 = 10^{-3}$ → $-3$

c) $4^{c} = 8$ → $2^{2c} = 2^{3}$ → $c = \dfrac{3}{2}$

d) $9^{c} = \dfrac{1}{3}$ → $3^{2c} = 3^{-1}$ → $2c = -1$ → $c = -\dfrac{1}{2}$

e) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{c} = 4$ → $2^{-c} = 2^{2}$ → $c = -2$
Ejemplo 2. ¿Quién es x? algebraico (incógnitas)
Halla $x$ : a) $\log_{2} x = -3$ b) $\log_{x} 27 = 3$ c) $\log_{x} \dfrac{1}{16} = -2$ d) $\log_{5} x = \dfrac{1}{2}$

Resolución
a) $x = 2^{-3} = \dfrac{1}{8}$

b) $x^{3} = 27$ → $x = \sqrt[3]{27} = 3$

c) $x^{-2} = \dfrac{1}{16}$ → $\dfrac{1}{x^{2}} = \dfrac{1}{16}$ → $x^{2} = 16$ → $x = 4$ (la base es positiva)

d) $x = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$
Ejemplo 3. Leer logaritmos en una gráfica gráfico
La gráfica representa $y = 2^{x}$ . Úsala para responder: a) ¿Cuánto valen $\log_{2} 4$ , $\log_{2} \dfrac{1}{2}$ y $\log_{2} \dfrac{1}{4}$ ? b) Estima $\log_{2} 3$ . c) ¿Por qué no existe $\log_{2}(-2)$ ?

Resolución
Leer $\log_{2} b$ es buscar en el eje vertical la altura $b$ y mirar qué $x$ le corresponde.

a) La curva pasa por $(2, 4)$ , $(-1, \frac{1}{2})$ y $(-2, \frac{1}{4})$ : $\log_{2} 4 = 2$ , $\log_{2} \dfrac{1}{2} = -1$ , $\log_{2} \dfrac{1}{4} = -2$ .

b) La altura 3 se alcanza para un $x$ entre 1 y 2, algo más cerca de 2: $\log_{2} 3 \approx 1{,}6$ (la calculadora da $1{,}58$ ).

c) La curva está siempre por encima del eje horizontal: $2^{x}$ nunca es negativo, así que ningún exponente da $-2$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula: a) $\log_{3} \dfrac{1}{9}$ b) $\log_{5} \dfrac{1}{125}$ c) $\log 0{,}1$ d) $\log 0{,}0001$ e) $\log_{2} 0{,}5$

Ver solución
a) −2 b) −3 c) −1 d) −4 e) −1
a) $3^{-2} = \dfrac{1}{9}$ b) $5^{-3} = \dfrac{1}{125}$ c) $10^{-1} = 0{,}1$ d) $10^{-4} = 0{,}0001$ e) $0{,}5 = \dfrac{1}{2} = 2^{-1}$
2. Media
Calcula: a) $\log_{8} 2$ b) $\log_{25} 5$ c) $\log_{4} 32$ d) $\log_{27} 9$ e) $\log_{2} \sqrt{2}$ f) $\log_{3} \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Ver solución
a) 1/3 b) 1/2 c) 5/2 d) 2/3 e) 1/2 f) −1/2
a) $2^{3c} = 2^{1}$ → $\dfrac{1}{3}$ b) $5^{2c} = 5^{1}$ → $\dfrac{1}{2}$ c) $2^{2c} = 2^{5}$ → $\dfrac{5}{2}$ d) $3^{3c} = 3^{2}$ → $\dfrac{2}{3}$ e) $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ → $\dfrac{1}{2}$ f) $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = 3^{-\frac{1}{2}}$ → $-\dfrac{1}{2}$
3. Media
Halla $x$ : a) $\log_{3} x = 4$ b) $\log_{5} x = -2$ c) $\log_{x} 64 = 3$ d) $\log_{x} 49 = 2$ e) $\log_{x} \dfrac{1}{8} = -3$ f) $\log_{x} 4 = \dfrac{2}{3}$

Ver solución
a) 81 b) 1/25 c) 4 d) 7 e) 2 f) 8
a) $x = 3^{4} = 81$ b) $x = 5^{-2} = \dfrac{1}{25}$ c) $x^{3} = 64$ → $x = 4$ d) $x^{2} = 49$ → $x = 7$ e) $x^{-3} = \dfrac{1}{8}$ → $x^{3} = 8$ → $x = 2$ f) $x^{\frac{2}{3}} = 4$ → $\sqrt[3]{x^{2}} = 4$ → $x^{2} = 64$ → $x = 8$
4. Media
En química, la acidez de una disolución se mide con el pH: $\text{pH} = -\log c$ , donde $c$ es la concentración de iones hidrógeno en mol/L. a) Calcula el pH del zumo de limón, con $c = 10^{-2}$ mol/L, y el del agua pura, con $c = 10^{-7}$ mol/L. b) Una disolución tiene pH 3. ¿Cuál es su concentración $c$ ? Escríbela también en forma decimal.

Ver solución
a) Limón: pH 2; agua: pH 7 b) c = 10⁻³ = 0,001 mol/L
a) Limón: $\log 10^{-2} = -2$ , así que pH $= 2$ . Agua: $\log 10^{-7} = -7$ , así que pH $= 7$ .

b) $3 = -\log c$ → $\log c = -3$ → $c = 10^{-3} = 0{,}001$ mol/L.

Para practicar más

1. Fácil
Calcula: a) $\log_{2} \dfrac{1}{32}$ b) $\log_{7} \dfrac{1}{49}$ c) $\log 0{,}000\,01$ d) $\log_{\frac{1}{3}} 9$ e) $\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{8}$

Ver solución
a) −5 b) −2 c) −5 d) −2 e) 3
a) $2^{-5} = \dfrac{1}{32}$ b) $7^{-2} = \dfrac{1}{49}$ c) $10^{-5}$ d) $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{c} = 3^{-c} = 3^{2}$ → $c = -2$ e) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} = \dfrac{1}{8}$ → 3
2. Media
Calcula: a) $\log_{16} 4$ b) $\log_{32} 2$ c) $\log_{9} 27$ d) $\log_{8} 4$ e) $\log_{100} 10$

Ver solución
a) 1/2 b) 1/5 c) 3/2 d) 2/3 e) 1/2
a) $2^{4c} = 2^{2}$ → $\dfrac{1}{2}$ b) $2^{5c} = 2$ → $\dfrac{1}{5}$ c) $3^{2c} = 3^{3}$ → $\dfrac{3}{2}$ d) $2^{3c} = 2^{2}$ → $\dfrac{2}{3}$ e) $10^{2c} = 10$ → $\dfrac{1}{2}$
3. Media
Halla $x$ : a) $\log_{2} x = 5$ b) $\log x = -3$ c) $\log_{x} 125 = 3$ d) $\log_{x} 0{,}01 = -2$ e) $\log_{x} 3 = \dfrac{1}{2}$

Ver solución
a) 32 b) 0,001 c) 5 d) 10 e) 9
a) $x = 2^{5} = 32$ b) $x = 10^{-3} = 0{,}001$ c) $x^{3} = 125$ → $x = 5$ d) $x^{-2} = \dfrac{1}{100}$ → $x^{2} = 100$ → $x = 10$ e) $\sqrt{x} = 3$ → $x = 9$
4. Difícil
El nivel de intensidad de un sonido, en decibelios (dB), se calcula con $L = 10 \cdot \log \dfrac{I}{I_0}$ , donde $\dfrac{I}{I_0}$ indica cuántas veces es más intenso el sonido que el más débil que podemos oír. a) Una conversación es $10^{6}$ veces más intensa que ese sonido mínimo. ¿Cuántos decibelios tiene? b) En un concierto, $\dfrac{I}{I_0} = 10^{11}$ . ¿Cuántos decibelios hay? c) Un sonido tiene 30 dB. ¿Cuántas veces es más intenso que el sonido mínimo?

Ver solución
a) 60 dB b) 110 dB c) 1000 veces
a) $L = 10 \cdot \log 10^{6} = 10 \cdot 6 = 60$ dB.

b) $L = 10 \cdot 11 = 110$ dB.

c) $30 = 10 \cdot \log \dfrac{I}{I_0}$ → $\log \dfrac{I}{I_0} = 3$ → $\dfrac{I}{I_0} = 10^{3} = 1000$ veces.