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Matemáticas 3.º ESO · Propiedades de los logaritmos

Propiedades de los logaritmos

Objetivo: Al terminar, sabrás aplicar las propiedades de los logaritmos (producto, cociente, potencia y raíz) para calcular logaritmos, desarrollar expresiones logarítmicas y escribirlas como un solo logaritmo.

Explicación

Por qué funcionan

El logaritmo es un exponente, así que sus propiedades salen de las de las potencias. Por ejemplo, $8 \cdot 4 = 2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{3+2}$ , así que $\log_{2} (8 \cdot 4) = 3 + 2 = \log_{2} 8 + \log_{2} 4$

Las cuatro propiedades

Para cualquier base $a$ ( $a > 0$ , $a \neq 1$ ) y números positivos $x$ e $y$ :

Propiedad	Regla
Logaritmo de un producto	$\log_{a} (x \cdot y) = \log_{a} x + \log_{a} y$
Logaritmo de un cociente	$\log_{a} \dfrac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y$
Logaritmo de una potencia	$\log_{a} x^{n} = n \cdot \log_{a} x$
Logaritmo de una raíz	$\log_{a} \sqrt[n]{x} = \dfrac{1}{n} \cdot \log_{a} x$

Recuerda también: $\log_{a} 1 = 0$ , $\log_{a} a = 1$ y, en base 10, $\log 10 = 1$ , $\log 100 = 2$ …

Para qué sirven

Calcular logaritmos sin calculadora: $\log 5 + \log 20 = \log 100 = 2$ .
Calcular unos logaritmos a partir de otros: si sabemos $\log 2$ y $\log 3$ , podemos obtener $\log 6$ , $\log 12$ , $\log 5$ …
Desarrollar una expresión: $\log \dfrac{x^{2}\,y}{z} = 2\log x + \log y - \log z$ .
Agrupar varios logaritmos en uno solo (el camino inverso).

Lo que NO se puede hacer

$\log (x + y) \neq \log x + \log y$ : no hay propiedad para la suma.
$\log (x \cdot y) \neq \log x \cdot \log y$ .
$\log \dfrac{x}{y} \neq \dfrac{\log x}{\log y}$ .

Puntos clave

$\log_{a}(x \cdot y) = \log_{a} x + \log_{a} y$ .
$\log_{a} \dfrac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y$ .
$\log_{a} x^{n} = n \cdot \log_{a} x$ y $\log_{a} \sqrt[n]{x} = \dfrac{1}{n} \cdot \log_{a} x$ .
No hay propiedad para el logaritmo de una suma o de una resta.
Con $\log 2$ y $\log 3$ se calculan los logaritmos de muchos otros números (y $\log 10 = 1$ ).

Errores frecuentes

ErrorRepartir el logaritmo en una suma: $\log (x + y) = \log x + \log y$ .
Cómo corregirloLa propiedad es para el producto. Compruébalo: $\log (10 + 10) = \log 20 \approx 1{,}30$ , pero $\log 10 + \log 10 = 2$ .
ErrorDividir logaritmos en el cociente: $\log \dfrac{8}{2} = \dfrac{\log 8}{\log 2}$ .
Cómo corregirloEl logaritmo de un cociente es una resta: $\log 8 - \log 2 = \log 4$ .
ErrorAplicar el exponente al resultado: $\log x^{3} = (\log x)^{3}$ .
Cómo corregirloEl exponente sale multiplicando: $\log x^{3} = 3 \log x$ .
ErrorOlvidar que $\log 10 = 1$ al calcular $\log 5$ o $\log 0{,}2$ .
Cómo corregirloEscribe $5 = \dfrac{10}{2}$ : $\log 5 = \log 10 - \log 2 = 1 - \log 2$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Comprobamos las propiedades comprobación numérica
Calcula cada logaritmo de dos formas (directamente y con la propiedad) y comprueba que coinciden: a) $\log_{2} (16 \cdot 8)$ b) $\log_{3} \dfrac{729}{27}$ c) $\log_{5} 25^{3}$ d) $\log_{2} \sqrt{256}$

Resolución
a) Directo: $16 \cdot 8 = 128 = 2^{7}$ → 7. Con la propiedad: $\log_{2} 16 + \log_{2} 8 = 4 + 3 = 7$ ✔

b) Directo: $\dfrac{729}{27} = 27 = 3^{3}$ → 3. Con la propiedad: $\log_{3} 729 - \log_{3} 27 = 6 - 3 = 3$ ✔

c) Directo: $25^{3} = 15\,625 = 5^{6}$ → 6. Con la propiedad: $3 \cdot \log_{5} 25 = 3 \cdot 2 = 6$ ✔

d) Directo: $\sqrt{256} = 16 = 2^{4}$ → 4. Con la propiedad: $\dfrac{1}{2} \cdot \log_{2} 256 = \dfrac{1}{2} \cdot 8 = 4$ ✔
Ejemplo 2. Con log 2 y log 3 numérico (a partir de logaritmos conocidos)
Sabiendo que $\log 2 \approx 0{,}3010$ y $\log 3 \approx 0{,}4771$ , calcula: a) $\log 6$ b) $\log 12$ c) $\log 5$ d) $\log \sqrt{3}$

Resolución
a) $\log 6 = \log (2 \cdot 3) = \log 2 + \log 3 \approx 0{,}3010 + 0{,}4771 = 0{,}7781$

b) $12 = 2^{2} \cdot 3$ : $\log 12 = 2\log 2 + \log 3 \approx 0{,}6020 + 0{,}4771 = 1{,}0791$

c) $5 = \dfrac{10}{2}$ : $\log 5 = \log 10 - \log 2 \approx 1 - 0{,}3010 = 0{,}6990$

d) $\log \sqrt{3} = \dfrac{1}{2}\log 3 \approx \dfrac{0{,}4771}{2} \approx 0{,}2386$

Puedes comprobarlo con la tecla log de la calculadora.
Ejemplo 3. Desarrollar y agrupar algebraico
a) Desarrolla: $\log \dfrac{x^{2}\,y}{z}$ y $\log_{2} \dfrac{\sqrt{a}}{b^{3}}$ b) Escribe como un solo logaritmo: $2\log a + \log b - 3\log c$ c) Calcula sin calculadora: $\log 5 + \log 20$

Resolución
a) $\log \dfrac{x^{2}\,y}{z} = \log x^{2} + \log y - \log z = 2\log x + \log y - \log z$

$\log_{2} \dfrac{\sqrt{a}}{b^{3}} = \log_{2} \sqrt{a} - \log_{2} b^{3} = \dfrac{1}{2}\log_{2} a - 3\log_{2} b$

b) Los coeficientes pasan a exponentes y después se agrupa: $\log a^{2} + \log b - \log c^{3} = \log \dfrac{a^{2}\,b}{c^{3}}$

c) $\log (5 \cdot 20) = \log 100 = 2$
Ejemplo 4. Los granos de trigo del ajedrez situación real (número de cifras)
Cuenta la leyenda que el inventor del ajedrez pidió como premio 1 grano de trigo por la primera casilla, 2 por la segunda, 4 por la tercera, y así doblando hasta la casilla 64, que tendría $2^{63}$ granos. ¿Cuántas cifras tiene $2^{63}$ ? Usa $\log 2 \approx 0{,}30103$ .

Resolución
$\log 2^{63} = 63 \cdot \log 2 \approx 63 \cdot 0{,}30103 \approx 18{,}96$ .

Entonces $2^{63} \approx 10^{18{,}96}$ , que está entre $10^{18}$ y $10^{19}$ . Un número entre $10^{18}$ (que tiene 19 cifras) y $10^{19}$ (el primero con 20 cifras) tiene 19 cifras.

(De hecho, $2^{63} = 9\,223\,372\,036\,854\,775\,808$ : más de 9 trillones de granos.)

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula sin calculadora usando las propiedades: a) $\log_{6} 4 + \log_{6} 9$ b) $\log_{2} 40 - \log_{2} 5$ c) $\log 25 + \log 4$ d) $\log_{3} 54 - \log_{3} 2$ e) $\log_{2} 8^{5}$ f) $\log_{5} \sqrt[3]{25}$

Ver solución
a) 2 b) 3 c) 2 d) 3 e) 15 f) 2/3
a) $\log_{6} 36 = 2$ b) $\log_{2} 8 = 3$ c) $\log 100 = 2$ d) $\log_{3} 27 = 3$ e) $5 \cdot \log_{2} 8 = 5 \cdot 3 = 15$ f) $\dfrac{1}{3} \cdot \log_{5} 25 = \dfrac{2}{3}$
2. Media
Sabiendo que $\log 2 \approx 0{,}3010$ y $\log 3 \approx 0{,}4771$ , calcula: a) $\log 18$ b) $\log 8$ c) $\log 0{,}2$ d) $\log 1{,}5$ e) $\log 3000$ f) $\log \sqrt[3]{2}$

Ver solución
a) 1,2552 b) 0,9030 c) −0,6990 d) 0,1761 e) 3,4771 f) 0,1003
a) $18 = 2 \cdot 3^{2}$ : $0{,}3010 + 2 \cdot 0{,}4771 = 1{,}2552$

b) $3 \cdot 0{,}3010 = 0{,}9030$

c) $0{,}2 = \dfrac{2}{10}$ : $0{,}3010 - 1 = -0{,}6990$

d) $1{,}5 = \dfrac{3}{2}$ : $0{,}4771 - 0{,}3010 = 0{,}1761$

e) $3000 = 3 \cdot 10^{3}$ : $0{,}4771 + 3 = 3{,}4771$

f) $\dfrac{1}{3} \cdot 0{,}3010 \approx 0{,}1003$
3. Media
Desarrolla aplicando las propiedades: a) $\log (a^{3}\,b)$ b) $\log_{2} \dfrac{x}{y^{2}}$ c) $\log \dfrac{\sqrt{x} \cdot y^{3}}{z^{2}}$ d) $\log (100\,a)$

Ver solución
a) 3 log a + log b b) log₂ x − 2 log₂ y c) ½ log x + 3 log y − 2 log z d) 2 + log a
a) $3\log a + \log b$ b) $\log_{2} x - 2\log_{2} y$ c) $\dfrac{1}{2}\log x + 3\log y - 2\log z$ d) $\log 100 + \log a = 2 + \log a$
4. Media
Escribe como un solo logaritmo: a) $\log x + \log y - \log z$ b) $3\log a - 2\log b$ c) $\dfrac{1}{2}\log x + \log 5$ d) $2\log_{3} x - 1$

Ver solución
a) log(xy/z) b) log(a³/b²) c) log(5√x) d) log₃(x²/3)
a) $\log \dfrac{x\,y}{z}$ b) $\log a^{3} - \log b^{2} = \log \dfrac{a^{3}}{b^{2}}$ c) $\log \sqrt{x} + \log 5 = \log (5\sqrt{x})$ d) $1 = \log_{3} 3$ : $\log_{3} x^{2} - \log_{3} 3 = \log_{3} \dfrac{x^{2}}{3}$
5. Media
¿Verdadero o falso? Corrige los falsos. a) $\log (x + y) = \log x + \log y$ b) $\log (x \cdot y) = \log x \cdot \log y$ c) $\log x^{3} = 3\log x$ d) $\log \dfrac{x}{y} = \dfrac{\log x}{\log y}$ e) $\log \sqrt{x} = \dfrac{1}{2}\log x$

Ver solución
a) F b) F c) V d) F e) V
a) Falso: no hay propiedad para la suma ( $\log x + \log y = \log (x \cdot y)$ ).

b) Falso: $\log (x \cdot y) = \log x + \log y$ .

c) Verdadero.

d) Falso: $\log \dfrac{x}{y} = \log x - \log y$ .

e) Verdadero: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ .
6. Difícil
Usa $\log 2 \approx 0{,}30103$ y $\log 3 \approx 0{,}47712$ para averiguar cuántas cifras tienen $2^{100}$ y $3^{50}$ .

Ver solución
2¹⁰⁰ tiene 31 cifras; 3⁵⁰ tiene 24 cifras.
$\log 2^{100} = 100 \cdot 0{,}30103 = 30{,}103$ : $2^{100}$ está entre $10^{30}$ y $10^{31}$ , así que tiene 31 cifras.

$\log 3^{50} = 50 \cdot 0{,}47712 = 23{,}856$ : $3^{50}$ está entre $10^{23}$ y $10^{24}$ , así que tiene 24 cifras.

Para practicar más

1. Fácil
Calcula sin calculadora: a) $\log_{4} 2 + \log_{4} 8$ b) $\log 500 + \log 2$ c) $\log_{3} 36 - \log_{3} 4$ d) $\log_{2} 4^{7}$ e) $\log_{7} \sqrt[5]{49}$

Ver solución
a) 2 b) 3 c) 2 d) 14 e) 2/5
a) $\log_{4} 16 = 2$ b) $\log 1000 = 3$ c) $\log_{3} 9 = 2$ d) $7 \cdot \log_{2} 4 = 14$ e) $\dfrac{1}{5} \cdot \log_{7} 49 = \dfrac{2}{5}$
2. Media
Sabiendo que $\log 2 \approx 0{,}3010$ y $\log 3 \approx 0{,}4771$ , calcula: a) $\log 24$ b) $\log 0{,}3$ c) $\log 50$ d) $\log \sqrt{6}$ e) $\log \dfrac{27}{4}$

Ver solución
a) 1,3801 b) −0,5229 c) 1,6990 d) 0,3891 e) 0,8293
a) $24 = 2^{3} \cdot 3$ : $3 \cdot 0{,}3010 + 0{,}4771 = 1{,}3801$

b) $0{,}3 = \dfrac{3}{10}$ : $0{,}4771 - 1 = -0{,}5229$

c) $50 = \dfrac{100}{2}$ : $2 - 0{,}3010 = 1{,}6990$

d) $\dfrac{1}{2}(0{,}3010 + 0{,}4771) = \dfrac{0{,}7781}{2} \approx 0{,}3891$

e) $3 \cdot 0{,}4771 - 2 \cdot 0{,}3010 = 1{,}4313 - 0{,}6020 = 0{,}8293$
3. Media
Desarrolla: a) $\log (x^{4}\,y^{2})$ b) $\log_{3} \dfrac{9a}{b}$ c) $\log \sqrt[3]{\dfrac{x}{y^{2}}}$

Ver solución
a) 4 log x + 2 log y b) 2 + log₃ a − log₃ b c) ⅓(log x − 2 log y)
a) $4\log x + 2\log y$

b) $\log_{3} 9 + \log_{3} a - \log_{3} b = 2 + \log_{3} a - \log_{3} b$

c) $\dfrac{1}{3}\log \dfrac{x}{y^{2}} = \dfrac{1}{3}(\log x - 2\log y) = \dfrac{1}{3}\log x - \dfrac{2}{3}\log y$
4. Media
Escribe como un solo logaritmo: a) $\log a + 2\log b$ b) $\log x - 3\log y + \log z$ c) $2 + \log x$

Ver solución
a) log(ab²) b) log(xz/y³) c) log(100x)
a) $\log a + \log b^{2} = \log (a\,b^{2})$ b) $\log \dfrac{x\,z}{y^{3}}$ c) $2 = \log 100$ , así que $\log 100 + \log x = \log (100\,x)$
5. Difícil
Sabiendo que $\log 2 \approx 0{,}30103$ y $\log 3 \approx 0{,}47712$ , averigua cuántas cifras tienen $5^{40}$ y $6^{30}$ . (Pista: $5 = \dfrac{10}{2}$ .)

Ver solución
5⁴⁰ tiene 28 cifras; 6³⁰ tiene 24 cifras.
$\log 5 = 1 - \log 2 \approx 0{,}69897$ . $\log 5^{40} = 40 \cdot 0{,}69897 \approx 27{,}96$ : entre $10^{27}$ y $10^{28}$ , 28 cifras.

$\log 6 = \log 2 + \log 3 \approx 0{,}77815$ . $\log 6^{30} = 30 \cdot 0{,}77815 \approx 23{,}34$ : entre $10^{23}$ y $10^{24}$ , 24 cifras.